数学（文）卷·2019届四川省树德中学高二10月月考（2017-10）x 6页

高 2016 级高二上期 10 月阶段性测试数学试题（文科）‎ 一：选择题（60 分）‎ ‎积为 3 , 则 PF1 × PF2 = ( )‎ A.2 B. 3 C. -2‎ ‎‎ D. - 3‎ x2‎ ‎1. 已知双曲线方程为 ‎y2‎ - = 1 , 则该双曲线的渐近线方程为( ) 2‎ ‎16 9‎ ‎5 4 3 7‎ ‎8. 已知椭圆C : x ‎2‎ ‎+ y2 = 1 , 若一组斜率为 1 的平行直线被椭圆C 所截得线段的中点均在直线l 上, 则 ‎4‎ A. y =± x ‎3‎ ‎B. y =± x ‎3‎ ‎C. y =± x ‎4‎ p ‎D. y =± x ‎4‎ ‎l 的斜率为( )‎ A. -2‎ ‎‎ ‎1 1‎ B.2 C. - D.‎ ‎2 2‎ ‎2.两条不同的直线与同一平面所成角的和为 ‎2‎ ‎，则这两条直线位置关系( )‎ ‎‎ ‎9.如图，已知三棱柱 的侧棱与底面边长都相等， 在底面 上的射影为 B A. 相交或异面 B. 平行或异面 C. 相交或平行 D. 以上都有可能 ‎2‎ ‎‎ 的中点，则异面直线与 所成的角的余弦值为( ) A C ‎3.中心在坐标原点的椭圆, 焦点在 x 轴上, 焦距为 4, 离心率为 ‎2‎ ‎, 则该椭圆的方程为( )‎ x2 y2‎ A. + = 1‎ ‎‎ x2 y2‎ B. + = 1‎ ‎‎ x2 y2‎ C. + = 1‎ ‎‎ x2 y2‎ D. + = 1‎ ‎A. B. C. D.‎ B ‎16 12‎ ‎12 8‎ ‎12 4 8 4 A C ‎4.a ， b 为两个不同的平面， m, n 为两条不同的直线，下列命题中正确的是（ ）‎ ‎①若a ∥ b ， m Ì a ，则 m ∥ b ； ②若 n ⊥a ， n ⊥ b ， m ⊥a ，则 m ⊥ b ．‎ ‎‎ ‎10. 已知椭圆 C :‎ ‎‎ x2 y2‎ ‎+‎ ‎‎ = 1 与双曲线 C ‎‎ x2 y2‎ ‎: - ‎‎ = 1有相同的焦点, 则椭圆 C 的离心率 e 的取值 ‎③若a ⊥ b ，a ∩ b ＝ n ， m ⊥ n ，则 m ⊥ b ； ④若 m ∥a ， n Ì a ，则 m ∥ n ；‎ A.①②③ B.①② C.①②④ D.①③‎ ‎1‎ 范围为( )‎ ‎2‎ ‎m + 2 n ‎2‎ ‎2 m n 1‎ ‎1‎ ‎5.在棱长为 2 的正方体 ABCD - A B C D 中， E 为棱 CD 的中点，则三棱锥 A - BED 体积为（ ）‎ ‎A. ( ,1)‎ ‎B. (0, )‎ ‎C. (0,1) D.‎ ‎(0, )‎ ‎1 1 1 1‎ ‎1 2 2 2‎ ‎16 8‎ A． B．‎ ‎3 3‎ ‎‎ ‎4 2‎ C． D．‎ ‎3 3‎ ‎‎ D E C A B ‎‎ ‎11.已知三棱锥 S - ABC 中，底面 ABC 为边长为 2 的等边三角形，SA 垂直于平面 ABC ，SA=2 那么直 线 AB 与平面 SBC 所成角的正弦值为( )‎ D1 C1‎ A1 B1‎ ‎2 3 2‎ A. B.‎ ‎3 3‎ ‎ 21 3‎ C. D.‎ ‎7 2‎ ‎6.在菱形 ABCD 中， AB = 2, ÐABC= p ，PA ^ 平面 ABCD, PA = 3, 那么二面角的正切值是（ ）‎ ‎12. 如图, 等腰梯形 ABCD 中,‎ ‎AB // CD 且 AB = 2 AD , 设 ÐDAB = q ,q Î (0, p ) , 以 A, B 为焦点,‎ ‎2‎ ‎3 且过点 D 的双曲线的离心率为 e ; 以 C, D 为焦点, 且过点 A 的椭圆的离心率为 e , 则( )‎ A. 1 B.3 C. 3 D. 3‎ ‎3 3‎ ‎‎ P A. 当q 增大时,‎ A D C. 当q 增大时,‎ ‎‎ e1 增大,‎ e1 增大,‎ ‎1‎ e1 × e2 为定值 B. 当q 增大时,‎ e1 × e2 为增大 D. 当q 增大时,‎ ‎‎ e1 减小,‎ e1 减小,‎ ‎2‎ e1 × e2 为定值 ‎ e1 × e2 为减小 x2‎ ‎7. 已知双曲线 ‎B C - y2 = 1 的两个焦点为 F , F , P 为双曲线上一点, 且 ‎‎ F PF 的面 ‎ ‎‎ 二：填空题（20 分）‎ ‎4 1 2 1 2‎ ‎13. 椭圆 x2 + my2 = 1(m > 1) 的离心率为 3 , 则实数 m = ‎ ‎2‎ ‎14.已知菱形 ABCD 中，AB = 2, ÐA = 120 沿对角线 BD 将 DABD 折起，使二面角 A - BD - C 为120 ，‎ ‎19.（12 分） 已知焦点在坐标轴上的双曲线 C 过点 M (2 3, - 4 3 )‎ ‎3‎ ‎(1)求双曲线 C 的标准方程;‎ ‎‎ ‎,它的渐近线方程为 4x ± 3y = 0 ,‎ 则点 A 到 DBCD 所在平面的距离等于 .‎ ‎(2)若直线 ‎x - y +1 = 0‎ ‎与 C 交于 A,B 两点,求| AB |‎ A A B D B D C C ‎‎ ‎20．（12 分）如图, DP ^ x 轴,点 M 在 DP 的延长线上,且 | DM | = 3 ,当点 P 在圆 x2 + y2 = 4‎ ‎| DP | 2‎ ‎‎ 上运动 ‎15.15.若一个四面体的四个面中，有两个面都是直角边为 1 的等腰直角三角形，另两个面都是直角边分 别为 1 和 2 的直角三角形，则该四面体外接球的体积为 ‎16 设 e1 , e2 分别是具有公共焦点 F1 , F2 的椭圆和双曲线的离心率, P 是两曲线的一个公共点, O 是 F1F2‎ ‎时,点 M 形成的轨迹为 C.‎ ‎(1) 求轨迹 C 的方程;‎ ‎(2) 直线l : 5x - 2 y + 4 5 = 0‎ HAB 面积的最大值.‎ ‎‎ 与坐标轴交于 A,B 两点，H 为曲线 C 上的动点，求 的中点且| PO |=| OF2 | , 则 三解答题（70 分）‎ ‎e1e2 ‎ ‎1 2‎ e2 + e2‎ ‎‎ = .‎ ‎17.（10 分 AB 是⊙O 的直径,点 C 是⊙O 上的动点,过动点 C 的直线 VC 垂直于⊙O 所在的平面,D,E 分别是 VA,VC 的中点.‎ ‎(1) 试判断直线 DE 与平面 VBC 是否垂直,并说明理由;‎ ‎21.（12 分）如图，DABC 中，O 是 BC 的中点，AB = AC ，AO = 2OC = 2 ．将 DBAO 沿 AO 折起，‎ 使 B 点与图中 B¢ 点重合．‎ ‎(2) 若VA = VB = ‎‎ ‎2VC , 求异面直线 VB 与 OC 所成角的余弦值.‎ ‎（1）求证： AO ^ 平面 B¢OC ；‎ ‎（2）当三棱锥 B¢ - AOC 的体积取最大时， 试问在线段 B¢A 上是否存在一点 P，‎ 使 CR 与平面 B¢OA 所成角的正弦值为 2 ？证明你的结论．‎ ‎3‎ ‎18．（12 分）如图，边长为 2 的正方形 ABCD 中，点 E 是 AB 的中点，点 F 是 BC 的中点，将△AED，△DCF 分别沿 DE，DF 折起，使 A，C 两点重合于点 A′．‎ ‎(1)求证：A′D⊥EF；‎ ‎‎ ‎22．（12 分）在同一平面内，设点 A1 , A2‎ ‎1‎ ‎‎ 的坐标分别为 (-4, 0), (4, 0)‎ ‎‎ ‎,动点 P ‎(2)求三棱锥 A′-EFD 体积．‎ ‎到点 A1 , A2‎ ‎的斜率之积是 - ，记动点 P 的轨迹为曲线 C ‎4‎ ‎(1) 求曲线 C 的方程 ‎(2) 若曲线 C 的下顶点为 E，过坐标原点O 且不与坐标轴重合的直线交圆 x2 + y2 = 4‎ ‎‎ 于 A，B 两点，直 线 EA 和直线 EB 分别交椭圆于另外的 M 和 N，设直线 AB 和 MN 的斜率分别为 k1 , k2 ,‎ 求证：直线 MN 过定点，并求出该点的坐标.‎ 高 2016 级高二上期 10 月阶段性测试数学文科答案 ‎1-12CDDBCB, AADACB ‎‎ D = 182 + 4 ´ 7 ´153‎ = 4 ´ 9 ´ 9 + 4 ´ 9 ´ 7 ´17‎ = 4 ´（9 9 + 119）‎ ‎3 3p 2‎ ‎= 36 ´128 = 36 ´ 64 ´ 2‎ ‎13.m = 4‎ ‎14. 2‎ ‎15.‎ ‎2‎ ‎16.‎ ‎2‎ ‎‎ AB = ‎‎ ‎2 × 6 ´ 8 ´ 2 = 96‎ ‎17.（1）由题，知 AC⊥BC 7 7‎ 又 VC⊥面 ABC，AC Ì 面 ABC 3‎ ‎∴VC⊥AC AC VC = C ü 又VC Ì 面VBC ï Þ AC ^ 面VBC ‎‎ ‎（书写不规范扣 1-2 分）‎ ‎20.（1）设 M (x, y),‎ ‎0 0‎ 又 x2 + y2 = 4‎ ‎P(x0 , y0 )‎ ‎则 y = ‎2 y0‎ ‎x = x0‎ ý 2 2 2‎ BC Ì 面VBC ï ‎ x2 + æ 2 y ö ‎= 4 Þ y + x ‎‎ = 1 ( y ¹ 0)‎ þ ç 3 ÷ 9 4‎ 又 DE//AC ∴DE⊥VBC ‎2 2‎ ‎（2）当 VB=VA=VC 时， ∴CB=CA= 2 AB, CD= 1 VA ‎è ø ‎（2）由题知 A(-4, 0)‎ ‎‎ B(0, 2 5)‎ ‎‎ AB = ‎‎ ‎16 + 20 = 6‎ ìï 设l¢ : í ‎5x - 2 y + m = 0‎ ‎∠COD 即为所求， cos ÐCOD = 1‎ ‎ïî9x2 + 4 y2 - 36 = 0‎ ‎2‎ ‎2‎ A¢D ^ A¢E ü ‎ (-m - ‎5x ) ‎+ 9x2 - 36 = 0‎ ‎18.（文）（1）‎ ‎ý Þ A¢D ^ 面AEF A¢D ^ A¢F þ ‎14x2 + 2 5mx + m2 - 36 = 0‎ D = 20m2 - 4 ´14 (m2 - 36) = 0‎ ‎‎ 即m = ±2 14‎ ‎（2） BE = BF = 1‎ ‎‎ EF = ‎‎ ‎2 SDA¢EF ‎= 1 A¢E × A¢F = 1‎ ‎2 2‎ ‎‎ 当 m = -2 14时 ‎‎ l¢与l 距离最大 又 A¢D = 2‎ ‎1‎ VA¢- EFD = ‎3‎ ‎‎ ‎1 - 2 14 - 4 5 4 5 + 2 14‎ ‎19.（1）16x2 - 9 y2 = l ‎dmax = ‎= ‎5 + 4 3‎ ‎16 ´ ‎2 æ 4‎ ‎2 3 - 9 ´ - ‎2‎ ‎3 ö = l ‎‎ Þ l = 16 ´12 -16 ´ 3 = 16 ´ 9‎ ‎S = 1 ´ 6 ´ 4 5 + 2 14 = 4 5 + 2 14‎ 又 ( ) ç ÷ ‎DHAB x2 y2‎ ‎è 3 ø ‎max ‎21.（1）‎ ‎2 3‎ AB = AC 且 O 是 BC 中点， AO ^ BC 即 AO ^ OB¢ ， AO ^ OC ，‎ - = 1‎ ‎9 16‎ ‎‎ 又 OB¢ ‎‎ OC = O ， AO ^ 平面 B¢OC ．‎ ì16x ‎（2） í ‎2 - 9 y2‎ ‎-144 = 0‎ ‎‎ Þ 7 x2 -18x -153 = 0‎ ‎（2）在平面 B¢OC 内，作 B¢D ^ OC 于点 D ，则由（1）可知 B¢D ^ OA î y = x +1‎ ‎又 OC ‎OA = O ， B¢D ^ 平面 OAC ，即 B¢D 是三棱锥 B¢ - AOC 的高，‎ 又 B¢D £ B¢O ，所以当 D 与 O 重合时，三棱锥 B¢ - AOC 的体积最大。‎ 存在，且为线段 AB¢ 的中点。CO ^ B¢O, CO ^ AO Þ CO ^ 平面AB¢O ‎2 5‎ ‎6‎ MN : y = k2 x + t 过定点（ 0， ）‎ 连接OP，则ÐCPO为CP和平面B¢OA所成角。 sin ÐCPO = 3 Þ OP= 2‎ ‎P为AB的中点。 5‎ ‎22.（1）设 P(x, y)‎ kPA1‎ ‎= y ,‎ x + 4‎ ‎‎ kPA2‎ ‎= y x - 4‎ ‎又kPA1‎ ‎‎ × kPA2‎ ‎= - 1‎ ‎4‎ ‎2 2 2‎ y = - 1‎ ‎即 x2 -16 + 4 y2 = 0 即 x + y ‎‎ = 1 ( y ¹ 0)‎ x2 -16 4 16 4‎ PF Î (4 - 2 3, 4 + 2 3)‎ ‎（2）设 AB :‎ ‎y = k1x,‎ ‎MN : y = k2 x + t ‎4‎ 设 A(x1 , y1 ), B(x2 , y2 )‎ ‎则 x1 + x2 = 0,‎ ‎x1 × x2 = - 2‎ k +1‎ ì y = k2 x + t 由 ‎‎ ( 2 ) 2 2‎ í Þ îx2 + 4 y2 -16 = 0‎ ‎1 + 4k2‎ ‎x + 8k2tx + 4t ‎-16 = 0‎ 设 M (x3 , y3 )‎ ‎N (x4 , y4 )‎ x + x ‎= -8k2t ,‎ ‎‎ x × x ‎4t 2 -16‎ = ‎3 4 1 + 4k 2‎ ‎3 4 1 + 4k 2‎ ‎2 2‎ 由 kAE = kME ,‎ ‎kBE = kNE 又由 k × k = k ‎× k Þ -1 = y3 + 2 × y4 + 2‎ AE BE ME NE ‎x3 x4‎ 即 y3 y4 + 2( y3 + y4 ) + 4 + x3 x4 = 0‎ Û (k 2 + 1) x x ‎‎ + k (t + 2)(x ‎‎ + x ) + (t + 2)2 = 0‎ ‎2 3 4 2 3 4‎ ‎2‎ Û (k 2 + 1) × 4t ‎-16 + k ‎‎ ‎(t + 2) × ‎-8k2t + (t + 2)2 = 0‎ ‎2 1 + 4k 2 2‎ ‎1 + 4k 2‎ ‎2 2‎ 即5t 2 + 4t -12 = 0‎ t = -（2‎ ‎舍）或 t = 6‎ ‎5‎