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- 2023-11-20 发布
考点一 指数幂的运算
考点清单
考向基础
1.指数幂的概念
(1)根式
如果一个数的
n
次方等于
a
(
n
>1且
n
∈N
*
),那么这个数叫做
a
的
n
次方根.也就
是说,若
x
n
=
a
,则
x
叫做
a
的
n
次方根,其中
n
>1且
n
∈N
*
.式子
叫做根式,这里
n
叫做根指数,
a
叫做被开方数.
(2)根式的性质
①当
n
为奇数时,正数的
n
次方根是一个正数,负数的
n
次方根是一个负数,这
时,
a
的
n
次方根用符号
表示.
②当
n
为偶数时,正数的
n
次方根有两个,它们互为相反数,这时,正数的正的
n
次方根用符号
表示,负的
n
次方根用符号-
表示.正负两个
n
次方根可以
合写为
±
(
a
>0).
③
(
)
n
=
a
(注意
a
必须使
有意义).
④
当
n
为奇数时,
=
a
;
当
n
为偶数时,
=|
a
|=
⑤负数没有偶次方根.
⑥零的任何次方根都是零.
2.有理指数幂
(1)分数指数幂的表示
①正数的正分数指数幂:
=
(
a
>0,
m
,
n
∈N
*
,
n
>1).
②正数的负分数指数幂:
=
=
(
a
>0,
m
,
n
∈N
*
,
n
>1).
③
0的正分数指数幂是0,0的负分数指数幂无意义.
(2)有理指数幂的运算性质
①
a
r
a
s
=
a
r
+
s
(
a
>0,
r
,
s
∈Q).
②(
a
r
)
s
=
a
rs
(
a
>0,
r
,
s
∈Q).
③(
ab
)
r
=
a
r
b
r
(
a
>0,
b
>0,
r
∈Q).
考向 指数幂的运算
考向突破
例1 (2018湖北荆州中学月考,14)化简
·(-3
b
-1
)
÷
(4
b
-3
·
=
.
解析 原式=
·
·
=-
.
答案 -
考点二 指数函数的图象及性质
考向基础
y
=
a
x
(
a
>1)
y
=
a
x
(0<
a
<1)
图象
定义域
R
值域
(0,+
∞
)
性质
过定点(0,1)
当
x
>0时,
y
>1;
当
x
<0时,0<
y
<1
当
x
>0时,0<
y
<1;
当
x
<0时,
y
>1
在(-
∞
,+
∞
)上是单调递增函数
在(-
∞
,+
∞
)上是单调递减函数
【知识拓展】
1.单调性是指数函数的重要性质,特别是函数图象的无限伸展性,
x
轴是函
数图象的渐近线.当0<
a
<1时,
x
→+
∞
,
y
→0;当
a
>1时,
x
→-
∞
,
y
→0;当
a
>1时,
a
的值越大,图象越靠近
y
轴,递增的速度越快;当0<
a
<1时,
a
的值越小,图象越
靠近
y
轴,递减的速度越快.
2.画指数函数
y
=
a
x
(
a
>0且
a
≠
1)的图象,应抓住三个关键点:(1,
a
)、(0,1)、
.
3.熟记指数函数
y
=10
x
,
y
=2
x
,
y
=
,
y
=
在同一坐标系中图象的相对位
置,由此掌握指数函数图象的位置与底数大小的关系.
4.指数函数
y
=
a
x
,
y
=
b
x
,
y
=
c
x
,
y
=
d
x
在同一直角坐标系中的图象如图所示,则0<
c
<
d
<1<
a
<
b
.
在
y
轴右侧,图象从上到下相应的底数由大变小;
在
y
轴左侧,图象从下到上相应的底数由大变小.
(无论是在
y
轴的左侧还是右侧,底数按逆时针方向变大)
5.
指数函数
y
=
a
x
与
y
=
(
a
>0且
a
≠
1)的图象关于
y
轴对称.
考向 比较大小
考向突破
例2 设
x
,
y
,
z
均大于1,且log
x
=log
y
=log
z
,令
a
=
,
b
=
,
c
=
,则
a
,
b
,
c
的
大小关系是
( )
A.
a
>
b
>
c
B.
b
>
c
>
a
C.
c
>
a
>
b
D.
c
>
b
>
a
解析 令log
x
=log
y
=log
z
=
t
(
t
>0),则
x
=(
)
t
,
y
=(
)
t
,
z
=(
)
t
,∴
a
=
,
b
=
,
c
=
.
∵2
3
<3
2
,∴
<
⇒
a
<
b
,
∵3
4
<5
3
,∴
<
⇒
b
<
c
,∴
a
<
b
<
c
,选D.
答案 D
方法总结 比较大小常用的方法:
(1)作差法(作商法);
(2)利用函数单调性比较大小;
(3)借助中间量比较大小.
方法1
指数函数的图象及其应用
1.对于指数型复合函数的图象问题,一般从最基本的指数函数的图象入手,
通过平移、伸缩、对称变换而得到.
2.对于图象问题的选择题,可以考虑特殊值法.
3.需特别注意底数
a
>1与0<
a
<1两种不同情况.
方法技巧
例1 (2019湖南师范大学附属中学月考(五),12)设平行于
x
轴的直线
l
分别
与函数
y
=2
x
和
y
=2
x
+1
的图象相交于点
A
,
B
,若在函数
y
=2
x
的图象上存在点
C
,使
得△
ABC
为等边三角形,则这样的直线
l
( )
A.至少有一条 B.至多有一条
C.有且只有一条 D.有无数条
解析 设直线
l
的方程为
y
=
a
(
a
>0),
由2
x
=
a
,得
x
=log
2
a
,所以点
A
的坐标为(log
2
a
,
a
).
由2
x
+1
=
a
,得
x
=log
2
a
-1,所以点
B
的坐标为(log
2
a
-1,
a
),
从而|
AB
|=1.
如图,取
AB
的中点
D
,连接
CD
,因为△
ABC
为等边三角形,
所以
CD
⊥
AB
,且|
AD
|=
,|
CD
|=
,
所以点
C
的坐标为
.
因为点
C
在函数
y
=2
x
的图象上,
所以
a
-
=
=
,解得
a
=
,
所以这样的直线
l
有且只有一条,选C.
答案 C
解题关键 熟记指数函数的图象与性质以及等边三角形的性质,列出关
于实数
a
的方程是解答本题的关键.
方法2
指数函数的性质及其应用
1.与指数函数有关的复合函数的定义域、值域的求法
(1)函数
y
=
a
f
(
x
)
(
a
>0,且
a
≠
1)的定义域与
y
=
f
(
x
)的定义域相同;
(2)先确定
f
(
x
)的值域,再根据指数函数的单调性可确定
y
=
a
f
(
x
)
(
a
>0,且
a
≠
1)的
值域.
2.与指数函数有关的复合函数的单调性问题的解题方法
利用复合函数的单调性判断形如
y
=
a
f
(
x
)
(
a
>0,且
a
≠
1)的函数的单调性.若
a
>
1,则函数
y
=
f
(
x
)的单调增(减)区间即为
y
=
a
f
(
x
)
的单调增(减)区间;若0<
a
<1,则
函数
y
=
f
(
x
)的单调增(减)区间即为函数
y
=
a
f
(
x
)
的单调减(增)区间.
3.与指数函数有关的复合函数的最值问题,往往转化为二次函数的最值问
题.
例2 (1)(2018湖南永州第三次模拟,4)下列函数中,与函数
y
=2
x
-2
-
x
的定义
域、单调性与奇偶性均一致的是
( )
A.
y
=sin
x
B.
y
=
x
3
C.
y
=
D.
y
=log
2
x
(2)函数
f
(
x
)=
x
2
-
bx
+
c
满足
f
(
x
+1)=
f
(1-
x
),且
f
(0)=3,则
f
(
b
x
)与
f
(
c
x
)的大小关系是
( )
A.
f
(
b
x
)
≤
f
(
c
x
) B.
f
(
b
x
)
≥
f
(
c
x
)
C.
f
(
b
x
)>
f
(
c
x
) D.与
x
有关,不确定
解析 (1)
y
=2
x
-2
-
x
是定义域为R的单调递增函数,且是奇函数.
而
y
=sin
x
不是单调递增函数,不符合题意;
y
=
是非奇非偶函数,且为单调减函数,不符合题意;
y
=log
2
x
的定义域是(0,+
∞
),不符合题意;
y
=
x
3
是定义域为R的单调递增函数,且是奇函数,符合题意.故选B.
(2)由
f
(
x
+1)=
f
(1-
x
)知函数
f
(
x
)的图象关于直线
x
=1对称,∴
b
=2.由
f
(0)=3知
c
=
3,
∴
f
(
b
x
)=
f
(2
x
),
f
(
c
x
)=
f
(3
x
).
当
x
>0时,3
x
>2
x
>1,又函数
f
(
x
)在[1,+
∞
)上单调递增,
∴
f
(3
x
)>
f
(2
x
),即
f
(
b
x
)<
f
(
c
x
);
当
x
=0时,3
x
=2
x
=1,∴
f
(3
x
)=
f
(2
x
),即
f
(
b
x
)=
f
(
c
x
);
当
x
<0时,0<3
x
<2
x
<1,又函数
f
(
x
)在(-
∞
,1)上单调递减,
∴
f
(3
x
)>
f
(2
x
),即
f
(
b
x
)<
f
(
c
x
).
综上,
f
(
b
x
)
≤
f
(
c
x
).故选A.
答案 (1)B (2)A