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- 2023-11-20 发布
2017年高三学年寒假检测 数学文科试题
一、选择题（每小题5分，满分60分）
1、设全集，集合，，则图中的阴影部分表示的集合为( )
A． B． C． D．
2、已知复数，则=（ ）
A． B． C． D．
3、下列说法正确的是（ ）
A．，，若，则且
B．，“”是“”的必要不充分条件
C．命题“，使得”的否定是“，都有”
D．“若则”的逆命题为真命题;
4、在个有机会中奖的号码（编号为）中，在公证部门监督下按照随机抽取的方法确定后两位数为的号码为88中奖号码，该抽样运用的抽样方法是( )
A．简单随机抽样 B．系统抽样 C．分层抽样 D．以上均不对
5、已知公差不为0的等差数列满足成等比数列，为的前项和，则的值为（ ）
A．2 B．3 C． D．4
6、在我刚明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中，有一道数学命题叫“宝塔装灯”，内容为“远望魏巍塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？”（“倍加增”指灯的数量从塔的顶层到底层按公比为的等比数列递增），根据此诗，可以得出塔的顶层和底层共有（ ）
A．盏灯 B．盏灯 C．盏灯 D．盏灯
7、已知函数，则的解集为（ ）
A． B． C. D．
1
2
俯视图
正视图
侧视图
1
8、某四棱锥的三视图如图所示，其俯视图为等腰直角
三角形，则该四棱锥的体积为( )
A． B．
C． D．
9、已知数列是正项等比数列，是等差数列，且，则（ ）
A． B． www C． D．
10、若是正数，直线被圆截得的弦长为，则 取得最大值时的值为 （ ）
A． B． C. D．
11、已知向量，，且不超过5，则函数有零点的概率是（ ）
A、 B、 C、 D、
12、已知函数是定义在上的偶函数，且，当时，．则关于的方程在上的所有实数解之和为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：（每小题5分，共20分）
13、利用如图所示的程序框图在直角坐标平面上打印一系列的点，
则打印的点落在坐标轴上的个数是
14、关于有以下命题：
① 若则；
②图象与图象相同；
③在区间上是减函数； ④图象关于点对称。
其中正确的命题是________ .
15、已知三棱锥内接与球，且，若三棱锥体积的最大值为，则球的表面积为
16.已知为双曲线的右焦点，过原点的直线与双曲线交于 两点，且的面积为，则该双曲线的离心率为 ．
三、解答题：
17. （本小题满分10分）
在中，角所对的边分别为，且．
（1）求角；
（2）若的面积为为的中点，求．
18、某校高三数学竞赛初赛考试后，对考生的成绩进行统计（考生成绩均不低于90分，满分150分），将成绩按如下方式分成六组，第一组、第二组…第六组. （1）为其频率分布直方图的一部分，若第四、五、六组的人数依次成等差数列，且第六组有4人.
（1）请补充完整频率分布直方图，
并估计这组数据的平均数M;
（2）若不低于120分的同学进入决赛，不低于140分的同学为种子选手，完成下面
列联表（即填写空格处的数据），并判断是否有99﹪的把握认为“进入决赛的同学
成为种子选手与专家培训有关”.
合计
参加培训
5
8
未参加培训
合计
4
附：
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
P
N
M
A
D
C
B
19、如图：在四棱锥中，底面是菱形，，
平面，点为、的中点，且．
（1）证明：面； （2）求三棱锥的体积
（3）在线段上是否存在一点，使得∥平面；
若存在，求出的长；若不存在，说明理由．
20、焦点在轴上的椭圆，其两个焦点为,,过左焦点作直线交椭圆于两点. 且⊿周长为若⊿的三边的比为
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线过圆：的圆心，交椭圆于两点，为坐标原点若，求直线的方程。
21．已知函数，曲线在点处的切线与直线垂直（其中为自然对数的底数）.
（1）求的解析式及单调递减区间；
（2）是否存在常数，使得对于定义域内的任意，恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
四、选考题：（本小题满分10分）
请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.
22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线：（参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，点的极坐标为．
（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，并求出点的直角坐标；
（2）设为曲线上的点，求中点到曲线上的点的距离的最小值．
23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数，．
（1）解不等式；
（2）若存在，也存在，使得成立，求实数的取值范围．
2017年高三学年寒假检测 数学文科试题
一、选择题：
BCBBA CBDBD DA
二、填空题
13、1 14、②③④ 15、 16、
三、解答题
17、解：（1）由，得，
由正弦定理可得，
因为，所以，因为，
所以． 5分
（2）因为，故为等腰三角形，且顶角， 6分
故， 7分
所以，在中，由余弦定理得，
所以，
在中，由正弦定理可得，即，
所以． 12分
18、 解：（Ⅰ）设第四，五组的频率分别为，则
②由①②解得， (2分)
从而得出直方图（如图所示）
(4分)
(6分)
（Ⅱ）依题意，进入决赛人数为，进而填写列联表如下：
合计
参加培训
5
3
8
未参加培训
15
1
16
合计
20
4
24
(9分)
又由，故没有99﹪的把握认为“进入决赛的同学成为种子选手与专家培训有关。 (12分)
19解：（1）因为为菱形，所以，又，所以，又为中点，所以，而平面，平面，所以，又，所以面
（2）因为，又底面，，所以，所以，三棱锥的体积
（3）存在，取中点，连结,,，因为分别为中点，所以且，又在菱形中，，，所以，，即是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，即在上存在一点，使得平面，此时．
20、解：(1) ⊿周长为12即所以
得出又经过焦点所以，⊿的三边的比为得出解得，所以椭圆的方程为
(2)设的坐标分别为.圆心的坐标为. 从而可设直线的方程为代入椭圆的方程得.
所以为的中点 解得， 所以直线的方程为即 (经检验，所求直线方程符合题意)
21、解析：（1），又由题意有：，故.此时，，由或，
所以函数的单调减区间为和.
（2）要恒成立，即.①当
时，，则要：恒成立，令，再令，所以在内递减，所以当时，，故，所以在内递增，.②当时，，则要：恒成立，由①可知，当时，，所以在内递增，
所以当时，，故，所以在内递增，.综合①②可得：，即存在常数满足题意.
22.解：（1），得，
故曲线的直角坐标方程为，
点的直角坐标为．
（2）设，故中点，
的直线方程为，
点到的距离
，
中点到曲线上的点的距离的最小值是．
23.解：（1）由题意可得
因为，
由函数图象可得不等式的解为，
所以不等式的解集为．
（2）因为存在，存在，使得成立，
所以，
又，
由（1）可知，所以，解得，
所以实数的取值范围为．