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- 2023-11-19 发布
广东省梅州市2013届高三上学期第五次联考试题
数学（文）试题
本试卷满分150分，考试时间150分，考试用时120分钟
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
2．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
参考公式：
锥体的体积公式： （其中S是锥体的底面积，h是锥体的高）
球的表面积，体积公式： （R是半径）
一、选择题：本大题8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的。
1．已知集合，集合则为 （ ）
A．{1，2，4} B．{2，3，4} C．{0，2，4} D．{0，2，3，4}
2．复数 （ ）
A． B． C． D．
3．如右图，是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．在△ABC中，则角C= （ ）
A． B．
C． D．或
5．“”是“函数有零点”的（ ）
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件
6．曲线在点处点的切线方程为 （ ）
A．2x+2y+1=0 B．2x+2y－1=0 C．2x－2y－1=0 D．2x－2y－3=0
7．设变量x，y满足约束条件，则目标函数的最小值为 。
A．－5 B．－4 C．－2 D．3
8．已知向量·则是 （ ）
A．最小正周期为的偶函数 B．最小正周期为的奇函数
C．最小正周期为的偶函数 D．最小正周期为的奇函数
9．在等差数列中，有，则此数列的前13项之和为 。
A．24 B39 C．52 D．104
10．设集合，在S上定义运算其中为被4除的余数，
=0，1，2，3，则使关系式成立的有序数（）的组数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题：（本大题共5小题，考生作答4小题，，每小题5分，满分20分）
（一）必做题（第11至13题为必做题，每道试题考生都必须作答。）
11．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图（如图），为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样的方法抽出200人作进一步调查，其中低于1500元的称为低收入者，高3000元的称为高收入者，则应在低收入者和高收入者中抽取的人数一共是 。
12．如图所示的流程图中，输出的结果是 。
13．已知向量，且∥，则 的值为 。
（二）选做题（14～15题为选做题，考生只能选做其中一题，两道题都做的，只计第14题的分。）
14．（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系xOy中，已知曲线为参数）与曲线为参数，）有一个公共点在X轴上，则a= 。
15．（几何证明选讲选做题）如图３，PAB、PCD为⊙0的两条割线，若PA=5，AB=7，CD=11，AC=2，则BD等于 。
三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16．（本小题满分12分）已知函数的最大值是1，其图像经过点。
（1）求的解析式；
（2）已知且求的值
17．（本小题满分13分）某小区在一次对20岁以上居民节能意识的问卷调查中，随机抽取了100份问卷进行统计，得到相关的数据如下表：
节能意识弱
节能意识强
总计
20至50岁
45
9
54
大于50岁
10
36
46
总计
55
45
100
（1）由表中数据直观分析，节能意识强弱是否与人的年龄有关？
（2）据了解到，全小区节能意识强的人共有350人，估计这350人中，年龄大于50岁的有多
少人？
（3）按年龄分层抽样，从节能意识强的居民中抽5人，再是这5人中任取2人，求恰有1人年龄在20至50岁的概率。
18．（本小题满分13分）
如图所示的长方体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，O为AC与BD的交点，
，M是线段B1D1的中点。
（1）求证：∥平面D1AC；
（2）求三棱锥D1－AB1C的体积。
19．（本小题满分14分）已知等比数列的各项均为正数，且
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前n项和。
20．（本小题满分14分）已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为，右项点D（2，0），设点。
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）过原点O的直线交椭圆于点B，C，求△ABC面积的最大值。
21．（本小题满分14分）已知函数
（Ⅰ）当a=1时，试求函数在区间[1，e]上的最大值；
（Ⅱ当时，试求函数的单调区向。
参考答案
一、选择题选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．）
1． C 2． A 3． D 4．B 5．C 6． C 7．B 8．A 9．C 10． A
二、填空题（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．）
11．60人 10．提示：满足条件的（i, j）为（0，0），（2，2），（2，0），（3，2）
12． 120 13． 14． 15． 6
14．【解析】曲线：直角坐标方程为，与轴交点为；
曲线 ：直角坐标方程为，其与轴交点为，
由，曲线与曲线有一个公共点在X轴上，知．
15．【解析】由得又
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16、解：解：（1）依题意知 A=1 ………………………………１分
， 又……………………３分
即 …………………………４分
因此 …………………………５分
（2） ， 且
， …………………………９分
17．解（1）因为20至50岁的54人有9人节能意识强，大于50岁的46人有36人节能意识强，与相差较大……1分，所以节能意识强弱与年龄有关……3分
（2）年龄大于50岁的有（人）……6分（列式2分，结果1分）
（3）抽取节能意识强的5人中，年龄在20至50岁的（人）……7分，
年龄大于50岁的4人……8分，
记这5人分别为A，B1，B2，B3，B4。从这5人中任取2人，共有10种不同取法：…9分
（A，B1），（A，B2），（A，B3），（A，B4），（B1，B2），（B1，B3），（B1，B4），（B2，B3），（B2，B4），
（B3，B4）， 完全正确列举………………10分，
设A表示随机事件“这5人中任取2人，恰有1人年龄在20至50岁”，则A中的基本事件有4种：（A，B1），（A，B2），（A，B3），（A，B4） ………………11分，
故所求概率为……13分
18、解：（1）连结，如图，
∵、分别是、的中点，是矩形，
∴四边形是平行四边形，
∴． --------2分
∵平面，平面，
∴平面．-------------------5分
（2）解法1 连结，∵正方形的边长为2，
，∴，，，则，
∴． --------------------------------------------------------7分
又∵在长方体中，，，且，
∴平面，又平面，
∴，又，
∴平面，即为三棱锥的高． ----------9分
∵，[
∴． -----------------------------13分
解法2： 三棱锥是长方体割去三棱锥、三棱锥、三棱锥、三棱锥后所得，而三棱锥、、、是等底等高，故其体积相等． ----------8分
．
----------13分
19、解：（Ⅰ）设数列{}的公比为q，由得 ，所以 ------2分
由条件可知>0，故 ----------4分
由，所以 ----------5分
故数列{}的通项式为 ----------6分
（Ⅱ ）
----------9分
故 ----------
11分
所以数列的前n项和为 ---------14分
20、解：（1）由已知得椭圆的半长轴a=2,半焦距c=,则半短轴b=1． …………２分
又椭圆的焦点在x轴上, ∴椭圆的标准方程为……………………4分
（2）当直线BC垂直于x轴时,BC=2,因此△ABC的面积S△ABC=1． ………………5分
当直线BC不垂直于x轴时，设该直线方程为y=kx,代入,
解得B（,）,C（－,－）,……………………7分[
则, ……………………8分
又点A到直线BC的距离d=, …………………………9分
∴△ABC的面积S△ABC= ……………………１0分
于是S△ABC=
由≥－1,得S△ABC≤,其中,当k=－时,等号成立……………………１3分
∴S△ABC的最大值是． …………………………１４分
21．解: （Ⅰ）函数的定义域为． ……………1分
当时, ，因为， 3分
所以函数在区间上单调递增，则当时,函数取得最大值
． ……………………5分
（Ⅱ）． ………………6分
当时,因为，所以函数在区间上单调递减；…7分
当时，⑴当时，即时，，所以函数在区间 上单调递增； ………………9分
⑵当时，即时，由解得，
，或． ……………10分
由解得； ………11分
所以当时，函数在区间上单调递增；在
上单调递减，单调递增． …13分
综上所述，当时,函数在区间上单调递减；
当时，所以函数在区间 上单调递增；
当时， 在区间上单调递增；在
上单调递减，单调递增． …14分