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- 2023-11-19 发布
2017-2018 学年湖北省黄石市第三中学高二 10 月月考
数学试卷（理科）
一．选择题（共 12 小题）
1．已知函数 f（x）=x5+2x4+x3﹣x2+3x﹣5，用秦九韶算法计算，当 x=5 时，V3=（ ）
A．27 B．36 C．54 D．179
2．若函数 f（x）=x3+x2﹣2x﹣2 的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据
如下表：
f（1）=﹣2 f（1.5）=0.625
f（1.25）=﹣0.984 f（1.375）=﹣0.260
f（1.438）=0.165 f（1.4065）=﹣0.052
那么方程 x3+x2﹣2x﹣2=0 的一个近似根可以为（精度为 0.1）（ ）
A． 1.2 B．1.3 C．1.43 D．1.5
3．我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米 1524 石，
验得米内夹谷，抽样取米一把，数得 254 粒内夹谷 28 粒，则这批米内夹谷约为（ ）
A．1365 石 B．338 石 C．168 石 D．134 石
4．平行于直线 2x+y+1=0 且与圆 x2+y2=5 相切的直线的方程是（ ）
A．2x+y+5=0 或 2x+y﹣5=0 B．2x+y+ =0 或 2x+y﹣ =0
C．2x﹣y+5=0 或 2x﹣y﹣5=0 D．2x﹣y+ =0 或 2x﹣y﹣ =0
5．总体编号为 01，02，…，19，20 的 20 个个体组成．利用下面的随机数表选取 5 个个体，
选取方法是从随机数表第 1 行的第 5 列数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选出来的
第 5 个个体的编号为（ ）
7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198
3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481
A．08 B．07 C．02 D．01
6．若圆 C1：x2+y2=1 与圆 C2：x2+y2﹣6x﹣8y+m=0 外切，则 m=（ ）
A．21 B．19 C．9 D．﹣11
7．某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一 1000 人、高二 1200 人、高三 n
人中，抽取 81 人进行问卷调查．已知高二被抽取的人数为 30，那么 n=（ ）
A．860 B．720 C．1020 D．1040
8．一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经 y 轴反射后与圆（x+3）2+（y﹣2）2=1 相切，则反射
光线所在直线的斜率为（ ）
A．﹣ 或﹣ B．﹣ 或﹣ C．﹣ 或﹣ D．﹣ 或﹣
9．在圆 x2+y2﹣2x﹣6y=0 内，过点 E（0，1）的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD，则四边形 ABCD
的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．右边程序框图的功能是求出 的值，则框图中①②两处应
分别填写的是（ ）
A．i≥1，a B．i≥1，a﹣6
C．i＞1，a D．i＞1，a﹣6
11．执行如图所示的程序框图，若输入的 x，y∈R，那么输出
的 S 的最大值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
12．函数 y=f（x）的图象如图所示，在区间[a，b]上可找到 n（n≥2）个不同的数 x 1，
x2，…，xn，使得 =…= ，则 n 的取值范围是（ ）
A．{3，4} B．{2，3，4}
C．{3，4，5} D．{2，3}
二．填空题（共 4 小题）
13．在不同的进位制之间的转化中，若 132（k）=42（10），则 k= ．
14．已知△ABC 的三个顶点为 A（1，﹣2，5），B（﹣1，0，1），C（3，﹣4，5），则边 BC 上
的中线长为 ．
15．设直线 y=x+2a 与圆 C：x2+y2﹣2ay﹣2=0 相交于 A，B 两点，若|AB|=2 ，则圆 C 的面积
为 ．
16．设 a＞0，b＞0，若关于 x，y 的方程组 无解，则 a+b 的取值范围为 ．
三．解答题（共 6 小题）
17．设数列{an}满足 a1+3a2+…+（2n﹣1）an=2n．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求数列{ }的前 n 项和．
18．在△ABC 中，a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边，且 =﹣ ．
（Ⅰ）求角 B 的大小；
（Ⅱ）若 b= ，a+c=4，求△ABC 的面积．
19．如图，已知 AB⊥平面 ACD，DE∥AB，AD=AC=DE=2AB=2，且 F 是 CD 的中点．
（1）求证：AF∥平面 BCE；
（2）求证：平面 BCE⊥平面 CDE；
（3）求直线 CE 与面 ADEB 所成的角的正切值．
20．已知直线 l：kx﹣y+1+2k=0（k∈R）．
（1）证明：直线 l 过定点；
（2）若直线 l 不经过第四象限，求 k 的取值范围；
（3）若直线 l 交 x 轴负半轴于点 A，交 y 轴正半轴于点 B，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为
S，求 S 的最小值及此时直线 l 的方程．
21．已知圆 C1：x2+y2+2x+2y﹣8=0 与圆 C2：x2+y2﹣2x+10y﹣24=0 相交于 A、B 两点，
（1）求公共弦 AB 所在的直线方程；
（2）求圆心在直线 y=﹣x 上，且经过 A、B 两点的圆的方程；
（3）求经过 A、B 两点且面积最小的圆的方程．
22．已知圆心在 x 轴上的圆 C 与直线 l：4x+3y﹣6=0 切于点 M（ ， ）．
（1）求圆 C 的标准方程；
（2）已知 N（2，1），经过原点，且斜率为正数的直线 L 与圆 C 交于 P（x1，y1），Q（x2，y2）
两点．
（ⅰ）求证： + 为定值；
（ii）求|PN|2+|QN|2 的最大值．
答案
1．D【解答】解：f（x）=x5+2x4+x3﹣x2+3x﹣5=（（（（x+2）x+1）x﹣1）x+3）x﹣5，则当 x=5
时，V0=1，V1=5+2=7，V2=35+1=36，V3=180﹣1=179．
2．C【解答】解：∵f（1.438）=0.165＞0，f（1.4065）=﹣0.052＜0，∴函数 f（x）在
（1.4065，1.438）内存在零点，又 1.438﹣1.406 5＜0.1，结合选项知 1.43 为方程 f（x）=0
的一个近似根．
3．C【解答】解：由题意，这批米内夹谷约为 1524× =168 石
4．A【解答】解：设所求直线方程为 2x+y+b=0，则 = ，所以 b=±5，所以所求直线方
程为：2x+y+5=0 或 2x+y﹣5=0
5．D【解答】解：从随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由左到右依次选取两个数字
中小于 20 的编号依次为 08，02，14，07，02，01，．其中第二个和第四个都是 02，重复．可
知对应的数值为 08，02，14，07，01，则第 5 个个体的编号为 01．
6 ． C 【 解 答 】 解 ： 由 C1 ： x2+y2=1 ， 得 圆 心 C1 （ 0 ， 0 ），半 径 为 1 ， 由 圆 C2 ：
x2+y2﹣6x﹣8y+m=0，得（x﹣3）2+（y﹣4）2=25﹣m，∴圆心 C2（3，4），半径为 ．∵
圆 C1 与圆 C2 外切，∴ ，解得：m=9．
7．D【解答】解：由已知条件抽样比为 ，从而 ，解得 n=1040.
8．D【解答】解：点 A（﹣2，﹣3）关于 y 轴的对称点为 A′（2，﹣3），故可设反射光线所
在直线的方程为：y+3=k（x﹣2），化为kx﹣y﹣2k﹣3=0．∵反射光线与圆（x+3）2+（y﹣2）
2=1 相切，∴圆心（﹣3，2）到直线的距离 d= =1，化为
24k2+50k+24=0，∴k= 或﹣ ．
9．B【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x﹣1）2+（y﹣3）
2=10，则圆心坐标为（1，3），半径为 ，
根据题意画出图象，如图所示；由图象可知：过点 E 最长的弦为直径
AC，最短的弦为过 E 与直径 AC 垂直的弦，则 AC=2 ，MB= ，ME=
= ，所以 BD=2BE=2 =2 ，又 AC⊥BD，所以四边形 ABCD 的面积 S=
AC•BD= ×2 ×2 =10 ．
10．D【解答】解：程序框图是计算 的值，则利用
累积加，则第一个处理框应为 i＞1，然后计算 i 是增加 1 个，
i=i+1，第二空输出结果 a﹣6．
11．C 【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求可行域
内，目标还是 S=2x+y 的最大值，画出可行域如图：
当 时，S=2x+y 的值最大，且最大值为 2．
12．B 【解答】解：令 y=f（x），y=kx，作直线 y=kx，可以得出 2，3，4 个交点，故 k=
（x＞0）可分别有 2，3，4 个解．故 n 的取值范围为 2，3，4．
13．5【解答】解：∵132（k）=42（10），∴k2+3k+2=42，解得：k=5，或 k=﹣8（舍去）
14．2【解答】解：∵A（1，﹣2，5），B（﹣1，0，1），C（3，﹣4，5），∴BC 的中点为 D
（1，﹣2，3），
∴|AD|= =2．
15．4π【解答】解：圆 C：x2+y2﹣2ay﹣2=0 的圆心坐标为（0，a），半径为 ，∵直线
y=x+2a 与圆 C：x2+y2﹣2ay﹣2=0 相交于 A，B 两点，且|AB|=2 ，∴圆心（0，a）到直线 y=x+2a
的距离 d= ，即 +3=a2+2，解得：a2=2，故圆的半径 r=2．故圆的面积 S=4π，
16．（2，+∞）．【解答】解：∵关于 x，y 的方程组 无解，∴直线 ax+y=1 与 x+by=1
平行，∵a＞0，b＞0，∴ ≠ ，即 a≠1，b≠1，且 ab=1，则 b= ，由基本不等式有：a+b=a+
≥2 =2，当且仅当 a=1 时取等，而 a 的范围为 a＞0 且 a≠1，不满足取等条件，∴a+b
＞2，
17．【解答】解：（1）数列{a n}满足 a 1+3a2+…+（2n﹣1）a n=2n．n≥2 时，a 1+3a2+…+
（2n﹣3）an﹣1=2（n﹣1）．∴（2n﹣1）an=2．∴an= ．当 n=1 时，a1=2，上式也成立．∴
an= ．
（2） = = ﹣ ．
∴数列{ }的前 n 项和= + +…+ =1﹣ = ．
18．【解答】解：（1）由正弦定理 得：a=2RsinA，b=2RsinB，
c=2RsinC ， 将 上 式 代 入 已 知 ， 即
2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=0，即 2sinAcosB+sin（B+C）=0，∵A+B+C=π，∴sin（B+C）
=sinA，∴2sinAcosB+sinA=0，即 sinA（2cosB+1）=0，∵sinA≠0，∴ ，∵B 为三
角形的内角，∴ ；
（ II ） 将 代 入 余 弦 定 理 b2=a2+c2﹣2accosB 得 ： b2= （ a+c ）
2﹣2ac﹣2accosB，即 ，∴ac=3，∴ ．
19 ．【解答】解：（1 ）取 CE 中点 P ，连接 FP ，BP ，∵F 为 CD
的中点，∴FP ∥DE ，且 FP= ．又 AB∥DE，且 AB= ．∴AB
∥FP，且 AB=FP，∴ABPF 为平行四边形，∴AF∥BP． 又∵AF⊄平
面 BCE，BP⊂平面 BCE，∴AF∥平面 BCE
（2）∵AF= ∴CD=2，所以△ACD 为正三角形，∴AF⊥CD∵AB⊥
平面 ACD，DE∥AB
∴DE⊥平面 ACD 又 AF⊂平面 ACD∴DE⊥AF 又 AF⊥CD，CD∩DE=D∴AF⊥平面 CDE 又 BP∥AF∴BP
⊥平面 CDE，又∵BP⊂平面 BCE∴平面 BCE⊥平面 CDE
（3）过 C 作 CG⊥AD 于 G，连接 EG，则 G 为 AD 中点．∵AB⊥平面 ACD，CG⊂面 ACD∴AB⊥CG∵
CG⊥AD
CG∩AD=G∴CG⊥面 ADEB∴CG⊥EG，∠CEG 为直线 CE 与面 ADEB 所成的角．在 Rt△EDG 中，
，
20．【解答】解：（1）直线 l 的方程可化为 y=k（x+2）+1，故无论 k 取何值，直线 l 总过定
点（﹣2，1）．
（2）直线 l 的方程可化为 y=kx+2k+1，则直线 l 在 y 轴上的截距为 2k+1，要使直线 l 不经过
第四象限，则 ，解得 k 的取值范围是 k≥0．
（3）依题意，直线 l 在 x 轴上的截距为﹣ ，在 y 轴上的截距为 1+2k，∴A（﹣ ，
0），B（0，1+2k），
又﹣ ＜0 且 1+2k＞0，∴k＞0，故 S= |OA||OB|= × （1+2k）= （4k+ +4）≥
（4+4）=4，当且仅当 4k= ，即 k= 时，取等号，故 S 的最小值为 4，此时直线 l 的方程为
x﹣2y+4=0．
21．【解答】解：（1）由 ⇒x﹣2y+4=0．∴圆 C1：x2+y2+2x+2y﹣8=0
与圆 C2：x2+y2﹣2x+10y﹣24=0 的公共弦 AB 所在的直线方程为 x﹣2y+4=0；
（2）由（1）得 x=2y﹣4，代入 x2+y2+2x+2y﹣8=0 中得，y2﹣2y=0，
∴ 或 ，即 A（﹣4，0），B（0，2），
又圆心在直线 y=﹣x 上，
设圆心为 M（x，﹣x），则|MA|=|MB|，|MA|2=|MB|2，即（x+4）2+（﹣x）2=x2+（﹣x﹣2）2，
解得 x=﹣3．∴圆心 M（﹣3，3），半径|MA|= ．∴圆心在直线 y=﹣x 上，且经过 A、B 两点
的圆的方程为（x+3）2+（y﹣3）2=10．
（ 3 ） 由 A （ ﹣4 ， 0 ）， B （ 0 ， 2 ）， 则 AB 中 点 为 （ ﹣2 ， 1 ），
．
∴经过 A、B 两点且面积最小的圆的方程为（x+2）2+（y﹣1）2=5．
22．【解答】解：（1）由圆心在 x 轴上的圆 C 与直线 l：4x+3y﹣6=0 切于点 M（ ， ）．设 C
（a，0），则 kCM= ，∴ •（﹣ ）=﹣1，∴a=﹣1，∴C（﹣1，0），|CM|=2，即 r=2，∴
圆 C 的标准方程为（x+1）2+y2=4．
（2）设直线 l 的方程为 y=kx（k＞0），与圆的方程联立，可得（1+k2）x2+2x﹣3=0，△=4+12
（1+k2）＞0，
x1+x2=﹣ ，x1x2=﹣ ．
（i）证明： + = = 为定值；
（ii）|PN|2+|QN|2=（x1﹣2）2+（y1﹣1）2+（x2﹣2）2+（y2﹣1）2=（x1﹣2）2+（kx1﹣1）2+
（x2﹣2）2+（kx2﹣1）2=（1+k2）（x1+x2）2﹣2（1+k2）x1x2﹣（4+2k）（x 1+x2）+10=
+16，令 3+k=t（t＞3），则 k=t﹣3，上式即为 +16= +16≤ +16=2
+22．当且仅当 t= ，即 k= ﹣3 时，取得最大值 2 +22．