2021高考数学一轮复习课后限时集训68绝对值不等式文北师大版2 3页

课后限时集训68‎ 绝对值不等式 建议用时：45分钟 ‎1．已知函数f(x)＝2|x－3|－|x＋2|.‎ ‎(1)求不等式f(x)＜2的解集；‎ ‎(2)若对任意的实数x，不等式t2－4t＋f(x)＞0恒成立，求实数t的取值范围．‎ ‎[解](1)由题意，得 f(x)＝ 即f(x)＝ 故①当x＜－2时，不等式可化为8－x＜2，解得x＞6，这与x＜－2矛盾，故此时不等式无解；‎ ‎②当－2≤x≤3时，不等式可化为4－3x＜2，解得x＞，故此时不等式的解为＜x≤3；‎ ‎③当x＞3时，不等式可化为x－8＜2，解得x＜10，故此时不等式的解为3＜x＜10.‎ 综上，不等式f(x)＜2的解集为.‎ ‎(2)由(1)知f(x)＝ 所以函数f(x)在(－∞，3]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增，‎ 所以函数f(x)的最小值为f(3)＝－5.‎ 由不等式t2－4t＋f(x)＞0，即f(x)＞－t2＋4t恒成立可得－5＞－t2＋4t，‎ 即(t＋1)(t－5)＞0，解得t＞5或t＜－1.‎ 所以实数t的取值范围为(－∞，－1)∪(5，＋∞)．‎ ‎2．(2016·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－3|.‎ ‎(1)画出y＝f(x)的图像；‎ ‎(2)求不等式|f(x)|>1的解集．‎ ‎[解](1)由题意得f(x)＝ 故y＝f(x)的图像如图所示．‎ - 3 -‎ ‎(2)由f(x)的函数表达式及图像可知，‎ 当f(x)＝1时，可得x＝1或x＝3；‎ 当f(x)＝－1时，可得x＝或x＝5.‎ 故f(x)＞1的解集为{x|1＜x＜3}，‎ f(x)＜－1的解集为.‎ 所以|f(x)|＞1的解集为.‎ ‎3．已知函数f(x)＝|x－a|＋3x，其中a∈R.‎ ‎(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥3x＋|2x＋1|的解集；‎ ‎(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，求a的值．‎ ‎[解](1)当a＝1时，f(x)＝|x－1|＋3x.‎ 法一：由f(x)≥3x＋|2x＋1|，得|x－1|－|2x＋1|≥0，‎ 当x＞1时，x－1－(2x＋1)≥0，得x≤－2，无解；‎ 当－≤x≤1时，1－x－(2x＋1)≥0，‎ 得－≤x≤0；‎ 当x＜－时，1－x－(－2x－1)≥0，‎ 得－2≤x＜－.‎ ‎∴不等式的解集为{x|－2≤x≤0}．‎ 法二：由f(x)≥3x＋|2x＋1|，得|x－1|≥|2x＋1|，‎ 两边平方，化简整理得x2＋2x≤0，解得－2≤x≤0，‎ ‎∴不等式的解集为{x|－2≤x≤0}．‎ ‎(2)由|x－a|＋3x≤0，‎ 可得或 即或 当a＞0时，不等式的解集为.‎ - 3 -‎ 由－＝－1，得a＝2.‎ 当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤0}，不合题意．‎ 当a＜0时，不等式的解集为.‎ 由＝－1，得a＝－4.‎ 综上，a＝2或a＝－4.‎ ‎4．已知函数f(x)＝|x－1|.‎ ‎(1)求不等式|2x－3|－f(x)≥3的解集；‎ ‎(2)若任意x∈R，f(x)＋5＞|x－a|，求实数a的取值范围．‎ ‎[解](1)依题意，|2x－3|－|x－1|≥3.‎ 若x＜1，则3－2x＋x－1≥3，解得x≤－1，故x≤－1；‎ 若1≤x＜，则3－2x－x＋1≥3，解得x≤，故无解；‎ 若x≥，则2x－3－x＋1≥3，解得x≥5，故x≥5.‎ 综上所述，不等式|2x－3|－f(x)≥3的解集为(－∞，－1]∪[5，＋∞)．‎ ‎(2)依题意，|x－1|＋5＞|x－a|，即5＞|x－a|－|x－1|，即(|x－a|－|x－1|)max＜5.‎ 因为||x－a|－|x－1||≤|(x－a)－(x－1)|＝|a－1|，所以|x－a|－|x－1|≤|a－1|，则|a－1|＜5，解之得－4＜a＜6.‎ 故实数a的取值范围为(－4,6)．‎ - 3 -‎