2018届二轮复习（理）专题六　概率与统计第2讲学案（全国通用） 20页

第2讲　概率、随机变量及其分布列 高考定位　1.计数原理、古典概型、几何概型的考查多以选择或填空的形式命题，中低档难度；2.概率模型多考查独立重复试验、相互独立事件、互斥事件及对立事件等；对离散型随机变量的分布列及期望的考查是重点中的“热点”，多在解答题的前三题的位置呈现，常考查独立事件的概率，超几何分布和二项分布的期望等.‎ 真 题 感 悟 ‎1.(2017·山东卷)从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是(　　)‎ A. B. C. D. 解析　由题意得，所求概率p＝＝，故选C.‎ 答案　C ‎2.(2016·全国Ⅰ卷)某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是(　　)‎ A. B. C. D. 解析　如图所示，画出时间轴：‎ 小明到达的时间会随机的落在图中线段AB中，而当他的到达时间落在线段AC或DB时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型得所求概率P＝＝，故选B.‎ 答案　B ‎3.(2017·全国Ⅱ卷)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则D(X)＝________.‎ 解析　有放回地抽取，是一个二项分布模型，其中p＝0.02，n＝100，则D(X)＝‎ np(1－p)＝100×0.02×0.98＝1.96.‎ 答案　1.96‎ ‎4.(2017·全国Ⅲ卷)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：‎ 最高气温 ‎[10，15)‎ ‎[15，20)‎ ‎[20，25)‎ ‎[25，30)‎ ‎[30，35)‎ ‎[35，40)‎ 天数 ‎2‎ ‎16‎ ‎36‎ ‎25‎ ‎7‎ ‎4‎ 以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.‎ ‎(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位：瓶)的分布列；‎ ‎(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位：瓶)为多少时，Y的数学期望达到最大值？‎ 解　(1)由题意知，X所有的可能取值为200，300，500，‎ 由表格数据知 P(X＝200)＝＝0.2，‎ P(X＝300)＝＝0.4，‎ P(X＝500)＝＝0.4.‎ 因此X的分布列为 X ‎200‎ ‎300‎ ‎500‎ P ‎0.2‎ ‎0.4‎ ‎0.4‎ ‎(2)由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑200≤n≤500.‎ 当300≤n≤500时，‎ 若最高气温不低于25，则Y＝6n－4n＝2n，‎ 若最高气温位于区间[20，25)，则Y＝6×300＋2(n－300)－4n＝1 200－2n；‎ 若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n；‎ 因此E(Y)＝2n×0.4＋(1 200－2n)×0.4＋(800－2n)×0.2＝640－0.4n.‎ 当200≤n<300时，‎ 若最高气温不低于20，则Y＝6n－4n＝2n；‎ 若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n；‎ 因此E(Y)＝2n×(0.4＋0.4)＋(800－2n)×0.2＝160＋1.2n.‎ 所以n＝300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元.‎ 考 点 整 合 ‎1.概率模型公式及相关结论 ‎(1)古典概型的概率公式.‎ P(A)＝＝.‎ ‎(2)几何概型的概率公式.‎ P(A)＝.‎ ‎(3)条件概率.‎ 在A发生的条件下B发生的概率：P(B|A)＝.‎ ‎(4)相互独立事件同时发生的概率：若A，B相互独立，则P(AB)＝P(A)·P(B).‎ ‎(5)若事件A，B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，‎ P()＝1－P(A).‎ ‎2.独立重复试验与二项分布 如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为Pn(k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n.用X表示事件A在n次独立重复试验中发生的次数，则X服从二项分布，即X～B(n，p)且P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k.‎ ‎3.超几何分布 在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝‎ ‎ ，k＝0，1，2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，此时称随机变量X服从超几何分布.超几何分布的模型是不放回抽样，超几何分布中的参数是M，N，n.‎ ‎4.离散型随机变量的均值、方差 ‎(1)离散型随机变量ξ的分布列为 ξ x1‎ x2‎ x3‎ ‎…‎ xi ‎…‎ n P p1‎ p2‎ p3‎ ‎…‎ pi ‎…‎ pn 离散型随机变量ξ的分布列具有两个性质：①pi≥0；‎ ‎②p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn＝1(i＝1，2，3，…，n).‎ ‎(2)E(ξ)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量ξ的数学期望或均值.‎ D(ξ)＝(x1－E(ξ))2·p1＋(x2－E(ξ))2·p2＋…＋(xi－E(ξ))2·pi＋…＋(xn－E(ξ))2·pn叫做随机变量ξ的方差.‎ ‎(3)数学期望、方差的性质.‎ ‎①E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b，D(aξ＋b)＝a2D(ξ).‎ ‎②X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p).‎ ‎③X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p).‎ 热点一　古典概型与几何概型 ‎【例1】 (1)(2016·北京卷)从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为(　　)‎ A. B. C. D. ‎(2)(2016·山东卷)在[－1，1]上随机地取一个数k，则事件“直线y＝kx与圆(x－5)2＋y2＝9相交”发生的概率为________.‎ 解析　(1)把5名同学依次编号为甲乙丙丁戊，基本事件空间Ω＝{甲乙，甲丙，甲丁，甲戊，乙丙，乙丁，乙戊，丙丁，丙戊，丁戊}，包含基本事件总数n＝10.设A表示事件“甲被选中”，则A＝{甲乙，甲丙，甲丁，甲戊}，包含基本事件数m＝4.所以概率为P＝＝.‎ ‎(2)若直线y＝kx与圆(x－5)2＋y2＝9相交，则有圆心到直线的距离d＝<3，解之得－3.841，‎ 所以有95%的把握认为经常使用手机对学习成绩有影响.‎ ‎(2)依题意，随机变量X的可能取值为0，1，2.‎ 则P(X＝0)＝(1－p1)(1－p2)，P(X＝2)＝p1p2，‎ P(X＝1)＝(1－p1)p2＋p1(1－p2)，‎ ‎∴随机变量X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎(1－p1)(1－p2)‎ ‎(1－p1)p2＋p1(1－p2)‎ p1p2‎ ‎∴E(X)＝(1－p1)p2＋p1(1－p2)＋2p1p2＝p1＋p2＝1.12，所以p1＝1.12－p2＝0.72，‎ 因此p1－p2＝0.72－0.4＝0.32≥0.3，两人适合结为“师徒”.‎ 探究提高　1.本题考查统计与概率的综合应用，意在考查考生的识图能力和数据处理能力.此类问题多涉及相互独立事件、互斥事件的概率，在求解时，要明确基本事件的构成.‎ ‎2.联系高中生使用手机这一生活现象，利用数学中列联表、独立性检验，‎ 予以研究二者的相关性，考查了茎叶图、相互独立事件同时发生、分布列.题目主旨，引导学生正确对待使用手机，切勿玩物丧志，并倡导互帮互助的学习风气.‎ ‎【训练4】 (2017·全国Ⅰ卷改编)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm).根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ，σ2).‎ ‎(1)假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件数，求P(X≥1)及X的数学期望；‎ ‎(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.‎ ‎①试说明上述监控生产过程方法的合理性；‎ ‎②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：‎ 经计算得＝xi＝9.97，s＝＝≈0.212，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i＝1，2，…，16.‎ 用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(－3，＋3)之外的数据，用剩下的数据估计μ(精确到0.01).‎ 附：若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－3σm)＝0.3，‎ 则P(X>8－m)＝(　　)‎ A.0.2 B.0.3‎ C.0.7 D.与σ的值有关 解析　∵随机变量X服从正态分布N(4，σ2)，‎ ‎∴正态曲线的对称轴是x＝4，‎ ‎∵P(X>m)＝0.3，且m与8－m关于x＝4对称，‎ 由正态曲线的对称性，‎ 得P(X>m)＝P(X<8－m)＝0.3，‎ 故P(X>8－m)＝1－0.3＝0.7.‎ 答案　C ‎5.(2017·浙江卷)已知随机变量ξi满足P(ξi＝1)＝pi，P(ξi＝0)＝1－pi，i＝1，2.若0＜p1＜p2＜，则(　　)‎ A.E(ξ1)＜E(ξ2)，D(ξ1)＜D(ξ2)‎ B.E(ξ1)＜E(ξ2)，D(ξ1)＞D(ξ2)‎ C.E(ξ1)＞E(ξ2)，D(ξ1)＜D(ξ2)‎ D.E(ξ1)＞E(ξ2)，D(ξ1)＞D(ξ2)‎ 解析　由题设可知E(ξ1)＝p1，E(ξ2)＝p2，从而E(ξ1)＜E(ξ2)，‎ 又D(ξ1)＝p1(1－p1)，D(ξ2)＝p2(1－p2)，‎ 所以D(ξ1)－D(ξ2)＝(p1－p2)(1－p1－p2)＜0.‎ 故D(ξ1)＜D(ξ2).‎ 答案　A 二、填空题 ‎6.(2017·潍坊三模)在[0，a](a>0)上随机抽取一个实数x，若x满足<0的概率为，则实数a的值为____________.‎ 解析　由<0，得－10)，‎ 因此所求事件的概率P＝＝，则a＝4.‎ 答案　4‎ ‎7.(2017·天津卷)用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有________个(用数字作答).‎ 解析　当不含偶数时，有A＝120个，‎ 当含有一个偶数时，有CCA＝960个，‎ 所以这样的四位数共有1 080个.‎ 答案　1 080‎ ‎8.(2016·四川卷)同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是________.‎ 解析　由题可知，在一次试验中，试验成功(即至少有一枚硬币正面向上)的概率为P＝1－×＝，依题意X～B，则E(X)＝2×＝.‎ 答案　 三、解答题 ‎9.(2017·成都二诊)甲乙两名同学参加定点投篮测试，已知两人投中的概率分别是和，假设两人投篮结果相互没有影响，每人各次投球是否投中也没有影响.‎ ‎(1)若每人投球3次(必须投完)，投中2次或2次以上，记为达标，求甲达标的概率；‎ ‎(2)若每人有4次投球机会，如果连续两次投中，则记为达标.达标或能断定不达标，则终止投篮.记乙本次测试投球的次数为X，求X的分布列和数学期望E(X).‎ 解　(1)记“甲达标”为事件A，则P(A)＝C××＋＝.‎ ‎(2)X的所有可能的值为2，3，4.‎ P(X＝2)＝＝，‎ P(X＝3)＝××＋××＋＋××＝，‎ P(X＝4)＝××＋××＝.‎ 所以X的分布列为：‎ X ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎∴E(X)＝2×＋3×＋4×＝.‎ ‎10.(2017·北京卷)为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药.一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“＋”表示未服药者.‎ ‎(1)从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；‎ ‎(2)从图中A，B，C，D四人中随机选出两人，记ξ为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求ξ的分布列和数学期望E(ξ)；‎ ‎(3)试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小.(只需写出结论)‎ 解　(1)由题图知，在服药的50名患者中，指标y的值小于60的有15人，‎ 所以从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标y的值小于60的概率为＝0.3.‎ ‎(2)由题图知，A，B，C，D四人中，指标x的值大于1.7的有2人：A和C.‎ 所以ξ的所有可能取值为0，1，2.‎ P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝.‎ 所以ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝1.‎ ‎(3)由图知100名患者中服药者指标y数据的方差比未服药者指标y数据的方差大.‎ ‎11.(2017·新乡三模)为推行“新课堂”教学法，某化学老师分别用传统教学和“新课堂”两种不同的教学方式，在甲、乙两个平行班级进行教学实验.为了比较教学效果，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，结果如下表：记成绩不低于70分者为“成绩优良”.‎ 分数 ‎[50，60)‎ ‎[60，70)‎ ‎[70，80)‎ ‎[80，90)‎ ‎[90，100]‎ 甲班频数 ‎5‎ ‎6‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎1‎ 乙班频数 ‎1‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎(1)由以上统计数据填写下面2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”？‎ 甲班 乙班 总计 成绩优良 成绩不优良 总计 附：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.‎ 临界值表 P(K2≥k0)‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ k0‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎(2)现从上述40人中，学校按成绩是否优良采用分层抽样的方法抽取8人进行考核.在这8人中，记成绩不优良的乙班人数为X，求X的分布列及数学期望.‎ 解　(1)由统计数据得2×2列联表：‎ 甲班 乙班 总计 成绩优良 ‎9‎ ‎16‎ ‎25‎ 成绩不优良 ‎11‎ ‎4‎ ‎15‎ 总计 ‎20‎ ‎20‎ ‎40‎ 根据2×2列联表中的数据，得K2的观测值为k＝≈5.227>5.024，‎ ‎∴能在犯错概率不超过0.025的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”.‎ ‎(2)由表可知在8人中成绩不优良的人数为×8＝3，则X的可能取值为0，1，2，3.‎ P(X＝0)＝＝；P(X＝1)＝＝；‎ P(X＝2)＝＝；P(X＝3)＝＝.‎ ‎∴X的分布列为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎∴E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.‎