黑龙江省哈尔滨师范大学青冈实验中学校2018届高三11月份月考数学（理）试题 Word版含答案 12页

哈师大青冈实验中学2017—2018学年度11月份考试 高三学年数学（理科）试题 一． 选择题：本大题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎（1）已知集合，集合，则 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（2）已知复数，则=‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（3）下列命题中的假命题是 ‎（A）, （B）,‎ ‎（C）, （D）,‎ ‎（4）将4名学生分到三个不同的班级，在每个班级至少分到一名学生的条件下，其中甲、乙两名学生不能分到同一个班级的概率为 ‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（5）等比数列的公比为，前项和为，若成等差数列，则公比为 ‎（A）或 （B） （C） （D）或 ‎（6）阅读如图所示的程序框图，若输入，则输出的值是 ‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（7）过双曲线的一个焦点作圆的两条切线，切点分别为，若（为坐标原点），则双曲线的离心率为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（8）已知角的终边在射线上,则 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎2‎ ‎2‎ 正视图 侧视图 俯视图 ‎2‎ ‎2‎ ‎（9）一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎(10)．将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象．若在上为增函数，则的最大值为 ‎ ‎(A)．1 (B)．2 (C)．3 (D)．4‎ ‎（11）．设方程有两个不等的实根和，则 ‎ (A)      (B)．      (C)．      (D)．‎ ‎（12）已知是抛物线上的一个动点，是椭圆上的一个动点， 是一个定点，若∥轴，且，则的周长的取值范围为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分.‎ ‎（13）二项式的常数项为 .(用数字作答) ‎ ‎（14）已知正方体的各顶点都在同一球面上，若四面体的表面积为，则球的体积为____________.‎ ‎（15）已知，,，点在内，且，设，则等于__________.‎ ‎（16）.向平面区域.内随机投入一点，则该点落在曲线下 方 的 概 率 等 于______.‎ 三. 解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎（17）（本小题满分12分）在中，角所对的边分别为，已知.‎ ‎（I）求角；‎ ‎（II）若,求的取值范围. ‎ ‎（18）（本小题满分12分）已知侧棱垂直于底面的三棱柱的所有棱长都相等，为中点，在棱上，且平面.‎ ‎（I）证明：平面平面；‎ ‎（II）求二面角的余弦值.‎ ‎（19）（本小题满分12分）某校有1400名考生参加市模拟考试，现采取分层抽样的方法从文、理考生中分别抽取20份和50份数学试卷，进行成绩分析，得到下面的成绩频数分布表：‎ 分数分组 ‎[0，30）‎ ‎[30，60）‎ ‎[60，90）‎ ‎[90，120）‎ ‎[120，150]‎ 文科频数 ‎2‎ ‎4‎ ‎8‎ ‎3‎ ‎3‎ 理科频数 ‎3‎ ‎7‎ ‎12‎ ‎20‎ ‎8‎ ‎（I）估计文科数学平均分及理科考生的及格人数（90分为及格分数线）；‎ ‎（II）在试卷分析中，发现概念性失分非常严重，统计结果如下：‎ 文理 ‎ 失分 文 理 概念 ‎15‎ ‎30‎ 其它 ‎5‎ ‎20‎ ‎（i）问是否有90%的把握认为概念失分与文、理考生的不同有关？‎ ‎（ii）从文科这20份试卷中随机抽出2份，设为“概念失分”的份数，求的分布列和数学期望.‎ 附：‎ ‎0.150‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎ ‎ ‎（20）（本小题满分12分）‎ 已知抛物线方程为，过点作直线与抛物线交于两点,‎ ‎，过分别作抛物线的切线，两切线的交点为.‎ ‎（I）求的值；‎ ‎（II）求点的纵坐标；‎ ‎（III）求△面积的最小值.‎ ‎（21）（本小题满分12分）‎ 已知函数(为非零常数).‎ ‎（I）当时，求函数的最小值；‎ ‎（II）若恒成立，求的值；‎ 请考生在第（22）(23)二题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎(22).选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线，曲线为参数），‎ ‎ 以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（Ⅰ）求曲线的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若射线分别交于两点， 求的最大值．‎ ‎ (23).选修4—5：不等式选讲 ‎ 已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a|，a>0.‎ ‎（Ⅰ）当a=1时，求不等式f(x)>1的解集；‎ ‎（Ⅱ）若f(x)的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围.‎ 数学试题参考答案及评分标准（理科）‎ 一．选择题 ‎ ‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C A B A C C A D ‎ B B D C 二．填空题 ‎（13）； （14）； （15）； （16）‎ 三. 解答题 ‎（17）（本小题满分12分）‎ 解：（I）由已知得, ……………………………………2分 ‎∴，∵，∴. …………………………………4分 ‎（II）法一：由余弦定理得， ……………………………6分 ‎∴（当且仅当时取等号），…………9分 ‎ 解得. ………………………………11分 又，∴，‎ ‎∴的取值范围是. …………………………………12分 法二：由正弦定理得， ……………………………6分 又，∴， ………7分 ‎， ……………8分 ‎. ………………………………………10分 ‎∵，∴，∴‎ ‎∴的取值范围是. …………………………………………………12分 ‎ ‎ ‎ ‎（18）（本小题满分12分）‎ 解法1：‎ ‎（I）证明：取中点为,连结.‎ ‎∵∥,∥，∴∥，且确定平面.‎ ‎∵平面，平面，‎ 平面平面，‎ ‎∴， …………………………2分 ‎∴四边形为平行四边形.‎ ‎∵，∴为的中点. ……3分 连结，可知.为中点，∴，∵平面，‎ ‎∴∵，∴平面. …………………5分 ‎∴平面，∵平面，‎ ‎∴平面平面. ………………………………………6分 ‎（II）如图,以为坐标原点建立空间直角坐标系,设棱长为.‎ ‎,.‎ ‎, ………………8分 设平面的法向量为,‎ 由即 ‎ ‎ 取，得平面的一个法向量. …………10分 同理设平面的法向量为,‎ 由得平面的一个法向量为 ， ………11分 设所求二面角为，则. …………………………12分 解法2：‎ ‎（I）设线段的中点为，连接. 以所在的直线为轴，所在的直线为轴，‎ 过点平行于的直线为轴建立空间直角坐标系. …1分 设棱柱的棱长为, 则由已知可得：,,,,‎ ‎,,,，‎ ‎∴, …………………4分 ‎ 设平面的法向量为，则有 ‎ 即 取,则，∴.………………………………………6分 连接, 则由已知条件可知. ∴平面的法向量为. ,‎ ‎ ∴， ∴平面平面. ………………………………………8分 ‎(II) 设平面的法向量为. ∵,,‎ ‎∴ 即 取，则，∴.…………………………………………10分 设二面角的大小为,则由图形可知为锐角,且 ‎.‎ ‎∴二面角的余弦值为. ……………………………………………12分 ‎ ‎ ‎（19）（本小题满分12分）‎ 解: （I）∵‎ ‎∴估计文科数学平均分为. ………………………………………………2分 ‎∵ ， ，‎ ‎∴理科考生有人及格. …………………………………………………4分 ‎（II）（i），………………………………5分 故没有90%的把握认为概念失分与文、理考生的不同有关. …………………………6分 ‎（ii）， ………………………………………………7分 ‎,,. ………10分 的分布列为 ‎ ……………………………11分 的数学期望为. ………………………12分 ‎ ‎ ‎（20）（本小题满分12分）‎ 解：（I）由已知直线的方程为，代入得，，∴，. …………………………2分 由导数的几何意义知过点的切线斜率为， …………………………3分 ‎∴切线方程为，化简得 ① ………………4分 同理过点的切线方程为 ② …………………6分 由，得， ③‎ 将③代入①得，∴点的纵坐标为. ………………………7分 ‎（III）解法1：设直线的方程为，‎ 由（I）知，，‎ ‎∵点到直线的距离为， ………………………………………8分 线段的长度为 ‎. …………………………………………9分 ‎， ………………11分 当且仅当时取等号，∴△面积的最小值为. …………………12分 解法2：取中点，则点的坐标为， ………………8分 ‎，………9分 ‎， ……………………………………………………11分 ‎△的面积（当且仅当时取等号），‎ ‎∴△面积的最小值为. ………………………………………………12分 ‎（21）（本小题满分12分）‎ 解：（I）由，得， …………………………………2分 令，得. 当，知在单调递减；‎ 当，知在单调递增；‎ 故的最小值为. …………………………………………4分 ‎（II），当时，恒小于零，单调递减.‎ 当时，，不符合题意. ……………………………………6分 对于，由得 当时，，∴在单调递减；‎ 当时，，∴在单调递增；‎ 于是的最小值为. ………………………………8分 只需成立即可，构造函数.‎ ‎∵，∴在上单调递增，在上单调递减，‎ 则，仅当时取得最大值，故，即. …………12分 ‎ ‎ ‎（22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 ‎ ‎ ‎23.（Ⅰ）当a=1时，不等式f(x)>1化为|x+1|-2|x-1|＞1，‎ 等价于或或，解得，‎ 所以不等式f(x)>1的解集为. ……5分 ‎（Ⅱ）由题设可得，，‎ ‎ 所以函数的图像与轴围成的三角形的三个顶点分别为，，，所以△ABC的面积为.‎ 由题设得＞6，解得.----------10分 ‎ ‎