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- 2023-11-13 发布
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2013 年上海市奉贤区中考数学一模试卷
（满分 150 分，考试时间 100 分钟） 2013.01
一、选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分）
[每小题只有一个正确选项，在答题纸的相应题号的选项上用 2 B 铅笔填涂]
1．把抛物线 2xy 向右平移 2 个单位后得到的抛物线是（▲）
A． 2)2( xy ； B． 2)2( xy ； C． 22 xy ； D． 22 xy ；
2．在 Rt ABC 中， 90C ，a,b,c 分别是 ,,A B C 的对边，下列等式中正确的是（▲）
A．sin bA c ； B． cos cB a ； C． tan aA b ； D． cot bB a ；
3．等腰直角三角形的腰长为 2 ，该三角形的重心到斜边的距离为（▲）
A．
3
22 ； B．
3
2 ； C．
3
2 ； D．
3
1 ；
4．若两个相似三角形的面积之比为 1:4，则它们的最大边的比是（▲）
A. 1:2； B. 1:4； C. 1:5； D. 1:16；
5．如图，已知直线 a∥b∥c，直线 m、n 与 a、b、c 分别交于点 A、C、E、B、
D、F，AC＝4，CE＝6，BD＝3，则 BF＝（▲）
A． 7； B． 7.5； C． 8； D．8.5；
6．在两个圆中有两条相等的弦，则下列说法正确的是（▲）
A．这两条弦所对的弦心距相等； B．这两条弦所对的圆心角相等；
C．这两条弦所对的弧相等； D．这两条弦都被垂直于弦的半径平分；
二、填空题：（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分）
【请将结果直接填入答题纸的相应位置】
7. 二次函数 32 xy 图像的顶点坐标是 ▲ ；
8．抛物线 2y ax )0( a 的图像一定经过 ▲ 象限；
9．抛物线 )5)(1( xxy 的对称轴是：直线 ▲ ；
10．已知抛物线 322 xxy ，它的图像在对称轴 ▲ （填“左侧”或“右侧”）的部分是下降的；
11．已知 D 、E 分别是 ABC 的边 AB 、AC 的延长线上的点， 若
3
7AB
AD ，则
AE
AC 的值是 ▲ 时，DE
∥ BC ；
a
b
c
A B
C D
E F
m n
第 5 题
A l1
第 20 题
F
G
B C l2
12．已知线段 3a cm ， 6c cm ，若线段c 是线段 a 、b 的比例中项，则b ＝ ▲ cm；
13．已知三角形三边长为 3、4、5，则最小角的正弦是 ▲ ；
14．在高为 100 米的楼顶测得地面上某十字路口的俯角为 ，那么楼底到这十字路口
的水平距离是▲ 米；(用含角 的三角比的代数式表示)
15．在 RtΔ ABC 中，∠C=90º，tanA=
2
1 ，那么 cotB 的值为 ▲ ；
16．若⊙O 的一条弦长为 24，弦心距为 5，则⊙O 的直径长为 ▲ ；
17．如图，AB 是 O⊙ 的直径，点 C、D 在 上， 110BOC°， AD OC∥ ，
则 AOD ▲ 度；
18．在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=5，BC=3，点 D、E 分别在 BC、AC 上，
且 BD=CE，设点 C 关于 DE 的对称点为 F，若 DF∥AB，则 BD 的长为 ▲ ；
三、解答题：（本大题共 7 题，满分 78 分）
19．（本题满分 10 分）
计算：
45tan60sin2
60cot330cos2
2 ；
20．（本题满分 10 分）
如图，已知 21 // ll ，点 A、G、B、C 分别在 1l 和 2l 上， ABAF 5
2 ．
（1）求
BC
AG 的值；
（2）若 AB a ， AC b ，用向量 a 与b 表示 AG ．
A C
B
D
E
第 18 题
第 17 题
21．（本题满分 10 分，每小题满分各 5 分）
如图，已知在四边形 ABCD 中， ABAC ， CDBD ， AC 与 BD 相交于点 E ， 9AEDS ，
25BECS ．
(1) 求证：∠DAC=∠CBD；
(2) 求 AEBcos 的值．
22．（本题满分 10 分，第（1）小题 4 分，第（2）小题 6 分）
通过学习锐角三角比，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值是一一对应的，
因此，两条边长的比值与角的大小之间可以相互转化。类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联
系。我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做底角的邻对（can，如图（1）在△ABC 中，AB=AC，底
角 B 的邻对记作 canB，这时 canB BC
AB底边
腰
，容易知道一个角的大小与这个角的邻对值也是一一对应
的。根据上述角的邻对的定义，解下列问题：
（1）can30°= ；
（2）如图（2），已知在△ABC 中，AB=AC ，canB
5
8 ， 24ABCS ，求△ABC 的周长．
第 21 题
E
D
CB
A
B
A
A
第 22 题（2）
B C C
第 22 题（1）
B
第 23 题
D
E
F C B
A
23．（本题满分 12 分，每小题满分各 6 分）
如图，已知在 ABCRt 中， 90ACB ， ABCD 于 D ，
E 是 AC 的中点， DE 的延长线与 BC 的延长线交于点 F ．
（1）求证：△FDC∽△FBD；
（2）求证：
BC
AC
BF
DF ．
24．（本题满分 12 分，每小题 4 分）
如图，已知直线 xy 与二次函数 2y x bx c 的图像交于点 A、O，(O 是坐标原点)，点 P 为二次函数图
像的顶点，OA=32，AP 的中点为 B．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求线段 OB 的长；
（3）若射线 OB 上存在点 Q，使得△AOQ 与△AOP 相似，
求点 Q 的坐标．
第 24 题
O
A
x
y
P
B
25．（本题满分 14 分，第（1）小题 4 分，第（2）小题 5 分，第（3）小题 5 分）
如图(1)，已知∠MON=90°,点 P 为射线 ON 上一点，且 OP=4，B、C 为射线 OM 和 ON 上的两个动点
（ OPOC ），过点 P 作 PA⊥BC，垂足为点 A，且 PA=2，联结 BP ．
（1）若 1
2
PAC
ABOP
S
S
四边形
时，求 tan∠BPO 的值；
（2）设 ,, yBC
ABxPC 求 y 与 x 之间的函数解析式，并写出定义域；
（3）如图(2)，过点 A 作 BP 的垂线，垂足为点 H，交射线 ON 于点 Q，点 B、C 在射线 OM 和 ON 上运动
时，探索线段 OQ 的长是否发生变化？若不发生变化，求出它的值。若发生变化，试用含 x 的代数式表
示 OQ 的长．
P C
第 25 题 (1)
A
B
M
O P C
第 25 题 (2)
A
B
M
O Q
H
N N
2013 年上海市奉贤区中考数学一模试卷
参考答案 201301
一 、选择题：（本大题共 8 题，满分 24 分）
1．A ； 2．C； 3．D； 4．A； 5．B ； 6．D；
二、填空题：（本大题共 12 题，满分 48 分）
7．（ 0,3）； 8．一、二； 9． 2x ； 10．左侧；
11．
7
3 ； 12．12； 13．
5
3 ； 14． cot100 ；
15．1； 16．26； 17．40； 18．1；
三．（本大题共 7 题，满分 78 分）
19． （本题满分 10 分）
解：原式=
212
32
2
332
32
-------------------------------------------------（每个值得 2 分，共 8 分）
= 33
13
32
---------------------------------------------------------------------（2 分）
20.（本题满分 10 分，4+6）
（1）∵ 21 // ll ∴
BC
AG
BF
AF ------------------------------------------------------------------（2 分）
∵ ABAF 5
2 ∴
3
2BF
AF ∴
3
2BC
AG ---------------------------------------------（2 分）
(2) ∵ AB a ， AC b ∴ abBC --------------------------------------------------（3 分）
∵ ∴ AG = baabBC 3
2
3
2)(3
2
3
2 ---------------------（3 分）
21．（本题满分 10 分，每小题满分各 5 分）
（1）∵ ABAC ， CDBD ∴∠CAB=∠BDC=90°-------------------------------(1 分)
∵∠AEB=∠DEC ∴△AEB∽△DEC------------------------------------------------(1 分)
∴
CE
BE
DE
AE -----------------------------------------------------------------------------------(1 分)
∵∠AED=∠BEC ∴△AED∽△BEC---------------------------------------------------(1 分)
∴∠DAC=∠CBD-------------------------------------------------------------------------------(1 分)
(2) ∵△AED∽△BEC ∴ 2)( BE
AE
S
S
BEC
AED
---------------------------------------------(2 分)
∵ 9AEDS ， 25BECS ∴
5
3BE
AE ----------------------------------------(1 分)
∴RtΔ ABE 中， AEBcos = -----------------------------------------------------------(2 分)
22．（本题满分 10 分，第（1）小题 4 分，第（2）小题 6 分）
（1）can30°= 3 -------------------------------------------------------------------------------------（4 分)
（2）∵在△ABC 中， canB
5
8 ，∴
5
8AB
BC -----------------------------------------------（1 分)
设 kABkBC 5,8
过点 A 作 AH BC 垂足为点 H，
∵AB=AC ∴ kBH 4
∵ 24ABCS ∴ 24482
1 kk 2k ---------------------------------------（2 分)
∴ 28,25 BCACAB ---------------------------------------------------------------------（2 分)
∴△ABC 的周长= 218 ．----------------------------------------------------------------------------（1 分)
23．（本题满分 12 分，每小题满分各 6 分）
（1）∵ 90ACB ， ABCD
∴∠ACD+∠DCB=∠B=∠DCB=90°
∴∠ACD=∠B--------------------------------------------------------------------------------------------(2 分)
∵ E 是 AC 的中点 ∴DE=EC
∴∠ACD=∠FDC
∴∠FCD=∠B-------------------------------------------------------------------------------------------(2 分)
∴△FDC∽△FBD--------------------------------------------------------------------------------------(2 分)
(2) ∵△FDC∽△FBD ∴
BD
DC
BF
DF ----------------------------------------------------------------(2 分)
∵在 ABCRt 和 DBCRt 中，
BD
DC
BC
ACB tan ------------------------------------------(2 分)
∴
BC
AC
BF
DF -----------------------------------------------------------------------------------------------(2 分)
24．（本题满分 12 分，每小题各 4 分）
H
M
O N
A
B
P CQ E
∵点 A 在直线 xy 上，且 32OA ∴A(3,3) ------------------------------------------------(1 分)
∵ 点 O(0,0) A(3,3)在 2y x bx c 的图像上，
∴
339
0
cb
c
解得：
0
2
c
b
------------------------------------------------------（2 分）
∴二次函数的解析式为 2 2y x x---------------------------------------------------------------------(1 分)
（2）由题意得顶点 P(1,-1) ---------------------------------------------------------------------------(1 分)
∴ 52,2,23 APPOAO
∴ 222 APPOAO ∴∠AOP=90°---------------------------------------------------------(2 分)
∵∠AOP=90°，B 为 AP 的中点 ∴ 5OB ------------------------------------------------(1 分)
(3) ∵∠AOP=90°，B 为 AP 的中点
∴OB=AB ∴∠AOB=∠OAB
若△AOQ 与△AOP
则①△AOP∽△OQA ∴
OA
AP
OQ
AO ∴ 55
9
1 OQ ---------------------------------------(1 分)
②△AOP∽△OAQ ∴
OQ
AP
AO
AO 522 OQ ----------------------------------------------(1 分)
∵B(2,1) ∴ )2,4(),5
9,5
18( 21 QQ -------------------------------------------------------------------(2 分)
即点 Q 的坐标 时，△AOQ 与△AOP 相似。
25．（本题满分 14 分，第（1）小题 4 分，第（2）小题 5 分，第（3）小题 5 分）
（1）∵∠ACP=∠OCB ∠CAP=∠O=90°
∴△CAP∽△COB-------------------------------------(1 分)
∴ 2()PAC
COB
AP
OB
S
S
-------------------------------(1 分)
∵ 1
2
PAC
ABOP
S
S
四边形
∴ 1
3
PAC
COB
S
S
∴ 2 1()3
AP
OB
∵AP=2 ∴ 23OB -------------------------(1 分)
在 Rt△OBP 中， 3tan 2
OBOPB OP -----------------(1 分)
（2）作 AE⊥PC，垂足为 E，---------------------------------------------------------------------(1 分)
易证△PAE∽△PCA ∴
PA
PE
PC
PA
∴ 22 PE x ∴ 4PE x -------------------------------------------------------------------(1 分)
∵∠MON=∠AEC=90° ∴ AE∥OM
∴ AB OE
BC OC ----------------------------------------------------------------------------------(1 分)
∴
44
4
xy x
整理得 2
44
4
xy xx
(x>2) ------------------------------(2 分)
（3）线段 OQ 的长度不会发生变化-----------------------------------------------------------(1 分)
由△PAH∽△PBA 得
PA
PH
PB
PA 即 2PA PH PB------------------------(1 分)
由△PHQ∽△POB 得
PO
PH
PB
PQ 即 PQ PO PH PB ---------------------(1 分)
∴ 2PA PQ PO
∵PA=2 PO=4 ∴PQ=1 ----------------------------------------------------------------(1 分)
∴OQ=3--------------------------------------------------------------------------------------------------(1 分)
即 OQ 的长度等于 3。
浦东新区 2012 学年度第一学期期末质量测试
初三数学试卷 2013.1.17
（测试时间：100 分钟，满分：150 分）
考生注意：
1.本试卷含三个大题，共 25 题，答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置作答，在草稿纸、本试
卷上
答题一律无效；
2. 除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤；
3.本次测试可使用科学计算器.
一、选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分）
1.如果延长线段 AB 到C ，使得 1
2BC AB ，那么 :AC AB 等于（ ）
A ．2:1； B ．2:3； C ．3:1； D．3:2．
2.已知 Rt ABC 中， 90C ， A ， 2AB ，那么 BC 长（ ）
． 2sin ； ． 2cos ； ． 2
sin
； ． 2
cos
．
3.如果将抛物线 2yx 向左平移 2 个单位，那么所得到的抛物线表达式为（ ）
． 2 2yx； ． 2 2yx； ． 2( 2)yx ； ． 2( 2)yx ．
4.如果抛物线 2y ax bx c 经过点( 1, 0) 和(3, 0) ，那么对称轴是直线（ ）
． =0x ； ． =1x ； ． =2x ； ． =3x ．
5.如果乙船在甲船的北偏东 40 方向上，丙船在甲船的南偏西 40 方向上，那么丙船在乙船的方向是（ ）
．北偏东 40 ； ．北偏西 40 ； ．南偏东 40 ； ．南偏西 40 ．
6.如图，已知在 ABC 中，边 6BC ，高 3AD ，正方形 EFGH 的顶点 FG、 在边 BC 上，顶点 EH、
分别在边 AB 和 AC 上，那么这个正方形的边长等于（ ）
．3；
．2.5；
．2；
．2.5.
二、填空题：（本大题共 12 题，，每题 4 分，满分 48 分）
7. 已知线段b 是线段 a 、c 的比例中项，且 a=1、 =2b 那么 =c .
8.计算： 11( ) (2 )22a b a b .
9.如果抛物线 2(2 )y a x 的开口方向向下，那么 a 的取值范围是 .
10.二次函数 2 3yx的图像的最低点坐标是 .
11.在边长为6 的正方形中间挖去一个边长为 (0 6)xx 的小正方形，如果设剩余部分的面积为 y ，那么
关于 x 的函数解析式为 .
12.已知 是锐角， 2 30tan cos ，那么 度.
13.已知从地面进入地下车库的斜坡的坡度为1: 2.4，地下车库的地坪与地面的垂直距离等于5 米，那么此
斜坡的长度等于 米.
14.小明用自制的直角三角形纸板 DEF 测量树 AB 的高度．测量时，使直角边 DF 保持水平状态，其延长
线交 AB 于点G ；使斜边 DE 与点 A 在同一条直线上．测得边 DF 离地面的高度为1.4m，点 D 到 AB 的距
离等于6m （如图所示）。已知 30DF cm ， 20EF cm ，那么树 AB 的高度等于 m .
15.如图,将△ ABC 沿射线 BC 方向平移得到△ DEF ，边 DE 与 AC 相交于点G ，如果 3BC cm ，
△ 的面积为 29cm ，△ 的面积等于 24cm ，那么 BE cm .
16.相邻两边长的比值是黄金分割数的矩形，叫做黄金矩形，从外形看，它最具美感. 现在想要制作一张“黄
金矩形”的贺年卡，如果较长的一条边长等于 20 厘米，那么相邻一条边的边长等于 厘米.
17.九年级数学课本上，用“描点法”画二次函数 2y ax bx c 的图像时，列出了如下的表格：
x … 0 1 2 3 4 …
… 3 0 1 0 3 …
那么该二次函数在 5x 时， y .
18.已知在 Rt △ ABC 中， 90A ， 5sin 5B ， BC a ，点 D 在边 BC 上，将这个三角形沿直线
AD 折叠，点C 恰好落在边 AB 上，那么 BD .（用 a 的代数式表示）
三、解答题：（本大题共 7 题，满分 78 分）
19.（本题满分 10 分，其中第（1）小题 6 分，第（2）小题 4 分）
已知：抛物线 2y x bx c 经过 (3 0)B ， 、 (0, 3)C 两点，顶点为 A .
求：（1）抛物线的表达式；
（2）顶点 A 的坐标.
20.（本题满分 10 分，其中第（1）小题 6 分，第（2）小题 4 分）
如图，已知在平行四边形 ABCD中， MN、 分别是边 AD DC、 的中点，设 AB a ， AD b .
（1）求向量 MD MN、 （用向量 ab、 表示）；
（2）求作向量 MN 在 AB AD、 方向上的分向量.
（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）
21.（本题满分 10 分）
某条道路上通行车辆限速为60 /千米 时，在离道路50 米的点处建一个监测点 P ，道路 AB 段为检测
区（如图）. 在△ ABP 中，已知 32PAB， 45PBA，那么车辆通过 AB 段的时间在多少秒以内
时，可认定为超速（精确到 0.1秒）？
（参考数据： 32 0.53sin ， 32 0.85cos ， 32 0.62tan ， 32 1.60cot ）
22.（本题满分 10 分）
如图，在平行四边形 ABCD中，点 E 在边 BC 上，连接 AE 并延长，交对角线 BD 于点 F 、 DC 的延
长线于点G ，如果 3
2
BE
EC .求 EF
EG
的值.
23.（本题满分 12 分，每小题各 6 分）
已知：如图，在梯形 ABCD中， AD ∥ BC ， AB BC ，点 M 在边 BC 上，且 MDB ADB ，
2BD AD BC.
（1）求证： BM CM ；
（2）作 BE DM ，垂足为点 E ，并交CD 于点 F . 求证： 2AD DM DF DC .
24.（本题满分 12 分，其中第（1）小题 3 分，第（2）小题 4 分，第（3）小题 5 分）
如图，在直角坐标系 xOy 中，二次函数 22 53y x bx 的图像与 x 轴、 y 轴的公共点分别为
(5 0)A 、 、 B ，点C 在这个二次函数的图像上，且横坐标为3 .
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求 BAC 的正切值；
（3）如果点 D 在这个二次函数的图像上，且 45DAC，求点 D 的坐标.
25.（本题满分 14 分，其中第（1）小题 4 分，第（2）、（3）小题各 5 分）
如图，已知在△ ABC 中， =90A ， = =3 2AB AC ，经过这个三角形重心的直线 DE ∥ BC ，分别
交边 AB 、 AC 于点 D 和点 E ， P 是线段 DE 上的一个动点，过点 P 分别做 PM BC ， PF AB ，
PG AC ，垂足分别为点 M 、 F 、G . 设 BM x ，四边形 AFPG 的面积为 y .
（1）求 PM 的长；
（2）求 y 关于 x 的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）连接 MF 、 MG ，当△ PMF 与△ PMG 相似时，求 BM 的长.
浦东新区 2012 学年第一学期期末教学质量调研 初中九年级 数学试卷
参考答案及评分标准 2013.1.17
一、选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分）
1．D； 2．A； 3．C； 4．B； 5．D； 6．C．
二、填空题：（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分）
7．4； 8． b ； 9． 2a ； 10．（0，-3）； 11． 2 36yx ； 12．60；
13．13； 14．5.4； 15．1； 16．10 5 10 （或 12.36）； 17．8； 18． 2
3 a ．
三、解答题：（本大题共 7 题，满分 78 分）
19．解：（1）∵ 抛物线 2y x b x c 经过 B（3，0）、C（0，3）两点，
∴ 9 3 0 ,
3.
bc
c
………………………………………………… （2 分)
解得 2,
3.
b
c
…………………………………………………………（2 分）
∴ 抛物线的解析式是 2 23y x x ．……………………………（2 分）
（2）由 222 3 ( 1) 4y x x x ，…………………………………（2 分）
得顶点 A 的坐标为（1，4）． …………………………………………（2 分）
20．解：（1）∵ M 是边 AD 的中点，∴ 11
22MD AD b．……………………（2 分）
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，∴ DC // AB，DC = AB．
∴ DC AB a．……………………………………………………（1 分）
又∵ N 是边 DC 的中点，∴ aDN 2
1 ． …………………………（1 分）
∴ 11
22MN MD DN b a ．……………………………………（2 分）
（2）作图正确，3 分；结论正确，1 分．
21．解：过点 P 作 PC⊥AB，垂足为点 C．…………………………………………（1 分）
根据题意，可知 PC = 50 米．
在 Rt△PBC 中，∠PCB = 90º，∠B = 45º，
∴ cot 50 cot 45 50BC PC B ．……………………………………（3 分）
在 Rt△PAC 中，∠PCA = 90º，∠PAB = 32º，
∴ cot 50 cot32 80AC PC PAB ．………………………………（2 分）
∴ AB = AC +BC ≈ 80 +50 = 130（米）．…………………………………（1 分）
∵ 130 3600 7.860 1000
（秒），…………………………………………（2 分）
∴ 车辆通过 AB 段的时间在 7.8 秒以内时，可认定为超速．…………（1 分）
22．解：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ BC // AD，AB // CD，BC = AD．………………………………………（2 分）
∴ EF BE
AF AD ， AE BE
GE CE ．………………………………………………（2 分）
又∵ 3
2
BE
EC ，∴ 3
5
BE
BC ．……………………………………………（2 分）
即得 3
5
BE EF
AD AF， 3
2
AE
GE ．∴ 3
8
EF
AE ．…………………………（2 分）
∴ 3 3 9
8 2 16
EF AE
AE EG ．
即得 9
16
FE
EG ．……………………………………………………………（2 分）
23．证明：（1）∵ AB⊥BC，∴ ∠ABC = 90º．
∵ AD // BC，∴ ∠CBD =∠ADB，∠BAD +∠ABC = 180º．
即得 ∠BAD = 90º．
∵ 2BD AD BC，∴ AD BD
BD BC ．……………………………（1 分）
又∵ ∠CBD =∠ADB，
∴ △BCD∽△DBA．………………………………………………（1 分）
∴ ∠BDC =∠BAD = 90º．…………………………………………（1 分）
∴ ∠DBC +∠C = 90º．
∵ ∠MDB=∠ADB，∠MBD =∠ADB，
∴ ∠MBD =∠MDB．∴ BM = MD．……………………………（1 分）
又∵ ∠BDM +∠CDM =∠BDC = 90º，
∴ ∠C =∠CDM．…………………………………………………（1 分）
∴ CM = MD．∴ BM = CM．……………………………………（1 分）
（2）∵ BE⊥DM，
∴ ∠DEF =∠BDC = 90º．
∴ ∠FDE +∠DFE = 90º，∠DBF +∠DFE = 90º．
∴ ∠FDE =∠DBF．………………………………………………（1 分）
又∵ ∠FDE =∠C，
∴ ∠DBF =∠C． …………………………………………………（1 分）
于是，由 ∠FDB =∠BDC = 90º，∠DBF =∠C，
得 △FDB∽△BDC．………………………………………………（1 分）
∴ DF BD
BD CD ．即 2BD DF CD．……………………………（1 分）
∵ BM = CM，∠BDC = 90º，∴ BC = 2DM．…………………（1 分）
又∵ ，
∴ 2AD DM DF DC ．…………………………………………（1 分）
24．解：（1）∵ 二次函数 22 53y x b x 的图像经过点 A（5，0），
∴ 22 5 5 5 03 b ． ……………………………………………（1 分）
解得 7
3b ．…………………………………………………………（1 分）
∴ 二次函数的解析式是 227533y x x ．………………………（1 分）
（2）当 x = 0 时，得 y = 5．∴ B（0，5）．……………………………（1 分）
当 x = 3 时，得 2273 3 5 633y ，∴ C（3，6）． ……（1 分）
联结 BC．
∵ 22(5 0) (0 5) 5 2AB ，
22(0 3) (5 6) 10BC ，
22(5 3) (0 6) 2 10AC ，
∴ 2 2 2AB BC AC．
∴ 90ACB ．……………………………………………………（1 分）
∴ 10 1tan 22 10
BCBAC AC ．……………………………………（1 分）
（3）设 D（m，n）．
过点 D 作 DE⊥x 轴，垂足为点 E．则 5AE m ，DE = n．
∵ A（5，0）， B（0，5）， ∴ OA = OB．
又∵ 90AOB ，∴ 45BAO ，……………………………（1 分）
即得 ∠DAE +∠BAD = 45º ．
又∵ ∠DAC = 45º，即 ∠BAD +∠BAC = 45º，
∴ ∠DAE =∠BAC．
又∵ ∠DEA =∠ACB = 90º，
∴ △DAE∽△BAC．…………………………………………………（1 分）
∴ 1
2
DE BC
AE AC．……………………………………………………（1 分）
∴ 1
52
n
m
．即得 1(5 )2nm．
∵ 点 D 在二次函数 227533y x x 的图像上，
∴ 22 7 15 (5 )3 3 2m m m ．
解得 1
3
4m ，m2 = 5（不合题意，舍去）．………………………（1 分）
∴ 1 3 23(5 )2 4 8n ．
∴ 3 23( , )48D ．……………………………………………………（1 分）
25．解：（1）过点 A 作 AH⊥BC，垂足为点 H，交 DE 于点 Q．
∵ ∠BAC = 90°， 32AB AC ，∴ BC = 6．…………………（1 分）
又∵ AH⊥BC，∴ 1 32BH CH BC ，Q 是△ABC 的重心．
∴ 1 13QH AH．…………………………………………………（2 分）
∵ DE // BC，PM⊥BC，AH⊥BC，
∴ PM = QH = 1．……………………………………………………（1 分）
（2）延长 FP，交 BC 于点 N．
∵ ∠BAC = 90°，AB = AC，∴ ∠B = 45°．
于是，由 FN⊥AB，得 ∠PNM = 45°．
又由 PM⊥BC，得 MN = PM = 1， 2PN ．
∴ BN = BM +MN = x +1， 2 ( 1)2FB FN x ．…………………（1 分）
∴ 223 2 ( 1) (5 )22AF AB FB x x ，
22( 1) 2 ( 1)22FP FN PN x x ．…………………（1 分）
∵ PF⊥AB，PG⊥AC，∠BAC = 90°，∴ ∠BAC =∠PFA =∠PGA = 90°．
∴ 四边形 AFPG 是矩形．
∴ 22( 1) (5 )22y FP AF x x ，……………………………（1 分）
即 所求函数解析式为 215322y x x ．…………………………（1 分）
定义域为15x．……………………………………………………（1 分）
（3）∵ 四边形 AFPG 是矩形，∴ )5(2
2 xAFPG ．…………（1 分）
由 ∠FPM =∠GPM = 135°，可知，当△PMF 与△PMG 相似时，有两种
情况：∠PFM =∠PGM 或∠PFM =∠PMG．
（ⅰ）如果 ∠PFM =∠PGM，那么 PF PM
PG PM ．即得 PF = PG．
∴ 22( 1) (5 )22xx ．………………………………………（1 分）
解得 x = 3．即得 BM = 3．………………………………………（1 分）
（ⅱ）如果 ∠PFM =∠PMG，那么 PF PM
PM PG ．即得 2PM PF PG．
∴ 22( 1) (5 ) 122xx ．………………………………………（1 分）
解得 1 32x ， 2 32x ．
即得 32BM 或 32BM ．………………………………（1 分）
∴ 当△PMF 与△PMG 相似时，BM 的长等于32 或 3 或32 ．
2013 年上海市普陀区中考数学一模试卷
（测试时间：100 分钟，满分：150 分） 2013.1 月
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共 25 题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、
本试卷上答题一律无效．
2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．
一、选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分）
1．如果 : 2:3xy ，那么下列各式不成立的是………………………………………（ ）．
（A） 5
3
xy
y
； （B） 1
3
xy
y
； （C） 1
23
x
y ； （D） 13
14
x
y
．
2．某一时刻，身髙 1.6 m 的小明在阳光下的影长是 0.4 m，同一时刻同一地点测得某旗杆的影长是 5m，那
么该旗杆的高度是……………………………………………………（ ）．
（A）1.25m； （B）10m； （C）20 m； （D）8m．
3．如果二次函数 2y x bx c 配方后为 2( 2) 1yx- ，那么b， c 的值分别为…（ ）．
（A） 4 ，5； （B）4，3； （C） 4 ， 3； （D）4，5．
4．如图，已知抛物线 cbxxy 2 的对称轴为 2x ，点 A， B 均在抛物线上，且 AB 与 x 轴平行，其
中点 A 的坐标为（0，3），则点 B 的坐标为……………………（ ）．
（A）（2，3）； （B）（4，3）； （C）（3，3）； （D）（3，2）．
5．如图所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则 sinA 的值为……………………（ ）．
（A） 1
2 ； （B） 5
5
； （C） 25
5
； （D） 10
10
．
6. 已知线段 a、b、c，求作第四比例线段 x，下列作图正确的是……………………（ ）．
O x
y
A
x = 2
B
（第 4 题） （第 5 题）
a
x
b c
a
c
b x
x
c
b a
x
c
a
c
x b
（A） （B） （C） （D）
二、填空题：（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分）
7．如果在比例尺为 1︰1 000 000 的地图上，A、B 两地的图上距离是 1.6 厘米，那么 A、B 两地的实际距离
是 千米．
8．把长度为 4cm 的线段进行黄金分割，则较长线段的长是__________cm．
9．如果两个相似三角形的对应角平分线比是 1︰4，那么它们的周长比是 ．
10．如果抛物线 21) 2 1y m x mx （ 的图像开口向下，那么 m 的取值范围是__________．
11．将二次函数 22yx 的图像向右平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位，所得图像的解析式
为 ________________．
12．二次函数 2y ax bx c 中，函数 y 与自变量 x 的部分对应值如下表，则 m 的值为__________ ．
2 1 0 1 2 3 4
7 2 2 m 2
13．在 Rt△ABC 中，∠C=90°， B ，AB=2，那么 BC= _____________．（结果用 的锐角三角比表示）
14．如图，点 D、E、F 分别是△ABC 三边的中点，那么与 DF 相等的向量是__________ ．
15．如图，点 G 是△ABC 的重心，AG⊥GC，AC=4，那么 BG 的长为 ___________．
16．如图，△ABC 中，∠C=90°，BC=6cm，cot
2
3A ，那么△ABC 的面积是____________ cm2．
17．如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为 18cm，深为 30cm，为方便残疾人士，拟将台阶改为
斜坡，设台阶的起点为 A，斜坡的起始点为 C，现设计斜坡 BC 的坡度 1:5i ，那么 AC 的长度是 cm．
18. 如图，在△ABC 中，∠C＝90°，将△ABC 沿直线 MN 翻折后，顶点 C 恰好落在 AB 边上的点 D 处，已
知 MN∥AB，MC＝6，NC＝ 23，那么四边形 MABN 的面积是______________．
（第 14 题） （第 15 题） （第 16 题）
（
（第 17 题） （第 18 题）
三、解答题：（本大题共 7 题，满分 78 分）
19．（本题满分 10 分）
计算：
2 cot 30cos30 (sin 60 )
2 cos45
．
20．（本题满分 10 分）
如图，已知两个不平行的向量 a 、b ．
先化简，再求作： 13( 3 ) ( )22a b a b ．
（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）
21．（本题满分 10 分）
已知：在直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠C=90°，AB=AD=25，BC=32．连接 BD，AE⊥BD，垂足为点 E．
（1）求证：△ABE∽△DBC；
（2）求线段 AE 的长．
b
a
（第 20 题图）
（
（第 21 题）
（
（第 22 题）
22．（本题满分 10 分）
21.3 , 0
63.5
9 2 9 sin21.3 , tan 21.3 ,sin 63.5 , tan 63.5 2)25 5 10
AC
BC
C
一艘轮船自西向东航行，在 处测得东偏北 方向有一座小岛 继续向东航行8
海里到达 处，测得小岛 此时在轮船的东偏北 方向上。之后，轮船继续向东航
行多少海里，距离小岛 最近？
（参考数据：
C
A B
23．（本题满分 12 分，其中第（1）小题 3 分，第（2）小题 4 分, 第（3）小题 5 分）
如图，点 E 是矩形 ABCD 的边 BC 上一点，EF⊥AE，
EF 分别交 AC、CD 于点 M、F，BG⊥AC，垂足为点 G，
BG 交 AE 于点 H．
（1）求证：△ABE∽△ECF；
（2）找出与△ABH 相似的三角形，并证明；
（3）若 E 是 BC 中点，BC=2AB，AB=2，求 EM 的长．
（第 23 题）
24．（本题满分 12 分，其中第（1）小题 2 分，第（2）小题 5 分，第（3）小题 5 分）
如图，点 A 在 x 轴上，OA=4，将线段 OA 绕
点 O 顺时针旋转 120°至 OB 的位置．
（1）求点 B 的坐标；
（2）求经过点 A、O、B 的抛物线的解析式；
（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点 P，
使得以点 P、O、B 为顶点的三角形是等腰三角形？
若存在，求点 P 的坐标；若不存在，说明理由．
25．（本题满分 14 分，其中第（1）小题 3 分，第（2）小题 5 分，第（3）小题 6 分）
将△ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转 θ 度，并使各边长变为原来的 n 倍，得△AB′C′，即如图①，我们
将这种变换记为[θ，n]．
（1）如图①，对△ABC 作变换[60°， 3 ]得△AB′C′，那么 AB C
ABC
S
S
= ；
直线 BC 与直线 B′C′所夹的锐角为 度．
（2）如图②，△ABC 中，∠BAC=30°，∠ACB=90°，对△ABC 作变换[θ，n]得△AB'C'，
使点 B、C、C′在同一直线上，且四边形 ABB'C'为矩形，求 θ 和 n 的值．
（3）如图③，△ABC 中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=l，对△ABC 作变换[θ，n]得△AB′C′，使点 B、C、B′
在同一直线上，且四边形 ABB'C'为平行四边形，求 θ 和 n 的值．
（
（第 24 题）
2013 年上海市普陀区中考数学一模试卷
参考答案及评分说明
一、选择题（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分）
1．(D)； 2． (C)； 3．(A)； 4．(B)； 5．(B)； 6．(D)．
二、填空题（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分）
7．16； 8．( 2 5 2 )； 9．1︰4； 10． 1m ； 11． 22( 1) 2yx ；
12． 1 ； 13． 2cos ； 14． EA 和 CE ； 15．4； 16．12； 17．210 ； 18．18 3 ．
三、解答题：（本大题共 7 题，满分 78 分）
19.解：原式 23 3 3()22 22 2
……………………………………………………（4 分）
33 324 ………………………………………………………………（4 分）
53
8 ． …………………………………………………… ……………（2 分）
20. 解： 13( 3 ) ( )22a b a b
13322a b a b ………………………………………………………（1 分）
2ab …………………………………………………………………（4 分）
画图正确 4 分（方法不限），结论 1 分．
21.（1）证明：∵AB=AD=25，∴∠1 =∠2.……………… (1 分)
∵AD∥BC，∴∠1=∠3.……………………(1 分)
∴∠2=∠3. …………………………………(1 分)
∵AE⊥BD，
∴∠AEB=∠C=90°. ………………………(1 分)
∴△ABE∽△DBC. ………………………(1 分)
（2）解：∵AB=AD，又 AE⊥BD，∴BE=DE.
1
2 3
∴BD=2BE.…………………………………………………………………(1 分)
由△ABE∽△DBC，得 AB BE
BD BC . ……………………………………(1 分)
∵AB=AD=25，BC=32，∴ 25
2 32
BE
BE .
∴BE=20． ………………………………………………………………(2 分)
∴ 22AE AB BE 2225 20 (25 20) (25 20)
=15． ……………………………………………………………………(1 分)
22．解：过点 C 作 CD⊥AE，垂足为点 D，
此时轮船离小岛最近，BD 即为所求．………(1 分)
由题意可知：
∠A=21.3°，AB=80 海里，∠CBE=63.5°．…(1 分)
在 Rt△ACD 中，tan∠A= CD
AD 2
5
，……………………………………………(1 分)
2(80 )5CD BD；………………………………………………………(1 分)
同理： 2CD BD ；………………………………………………………………(2 分)
∴ 22 (80 )5BD BD，…………………………………………………………(2 分)
解得： 20BD ．…………………………………………………………(1 分)
C 答：轮船继续向东航行20海里，距离小岛 最近. ……………………………………(1 分)
23．
（1）证明：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴∠ABE=∠ECF=90°．………………(1 分)
∵AE⊥EF，∴∠1+∠2=90°．
又∵∠1+∠3=90°，
∴∠3=∠2， …………………………(1 分)
∴△ABE∽△ECF． …………………(1 分)
（2）答：△ABH∽△ECM．………………………(1 分)
证明：∵BG⊥AC，∠ABE=90°，
∴∠4+∠BAG=∠5+∠BAG= 90°．
∴∠4=∠5．………………………………………………………………………(1 分)
由（1）知，∠3=∠2，…………………………………………………………(1 分)
∴△ABH∽△ECM．………………………………………………………………(1 分)
（3）解：过点 M 作 MR⊥BC，垂足为 R．…………………………………………………(1 分)
∵AB=BE=EC=2，
∴AB∶BC=MR∶RC=1∶2，…………………………………………………… (1 分)
∠1=45°，CR=2MR，
1 2
3
4
5
C
A B D E
∴∠2=45°，………………………………………………………………………(1 分)
∴ER=MR， ………………………………………………………………………(1 分)
∴MR= 2
3
，∴ 2 2 2233EM ．……………………………………………(1 分)
24. 解：
（1）如图，过点 B 作 BC⊥ x 轴，垂足为的点 C．
……………………………………………(1 分)
∵∠AOB=120°，∴∠BOC=60°．又∵OA=OB=4，
∴ =2OC ， =2 3BC ．
∴点 B 的坐标为（﹣2，﹣ 23）．…………………………………………………(2 分)
（2）∵抛物线过原点 O 和点 A、B，
∴可设抛物线的解析式为 2 ( 0)y ax bx a ，……………………………………(1 分)
将 A（4，0）， B（﹣2，﹣ 23）代入，得
16 4 0,
4 2 2 3.
ab
ab
……………………………………………………………………(2 分)
解得
3 ,6
23.3
a
b
∴此抛物线的解析式为 3 2 3
63yx ．………………………………………………(2 分)
（3）存在．……………………………………………………………………………………(1 分)
解：如图，抛物线的对称轴是 =2，直线 =2 与 轴的交点为 D，
设点 P 的坐标为（2，y）．
①若 OB=OP，则 22+|y|2=42，解得 y=±23，
当 y= 时，在 Rt△POD 中，∠PDO=90°，
sin∠POD= PD
OP
3
2 ，∴∠POD=60°．
∴∠POB=∠POD+∠AOB=60°+120°=180°，
即 P、O、B 三点在同一直线上．∴y= 23不符合题意，舍去．
∴点 P 的坐标为（2，﹣ ）．………………………………………………………(1 分)
②若 BO=BP，则 42+|y+ |2=42，解得 y=﹣ ．
∴点 P 的坐标为（2，﹣ ）．……………………………………………………………(1 分)
③若 PO=PB，则 22+|y|2=42+|y+ |2，解得 y=﹣ ．
∴点 P 的坐标为（2，﹣ ）．……………………………………………………………(1 分)
综上所述，符合条件的点 P 只有一个，其坐标为（2，﹣ ）．…………………(1 分)
25.
解：（1） 3；60． …………………………………………………………………………(2 分)
（2）∵四边形 ABB′C′是矩形，∴∠BAC′=90°．………………………………………(1 分)
∴θ=∠CAC′=∠BAC′﹣∠BAC=90°﹣30°=60°．……………………………………(1 分)
在 Rt△AB B' 中，∠ABB'=90°，∠BAB′=60°，∴∠AB′B=30°．…………………（1 分）
∴AB′=2 AB，即 2ABn AB
．……………………………………………………（1 分）
（3）∵四边形 ABB′C′是平行四边形，∴AC′∥BB′．
又∵∠BAC=36°，∴θ=∠CAC′=∠ACB=72°． …………………………………（1 分）
∴∠C′AB′=∠BAC=36°． …………………………………………………………（1 分）
而∠B=∠B，∴△ABC∽△B′BA． ………………………………………………（1 分）
∴AB∶BB′=CB∶AB． ……………………………………………………………（1 分）
∴AB2=CB•BB′=CB（BC+CB′）． …………………………………………………（1 分）
而 CB′=AC=AB=B′C′，BC=1，∴AB2=1（1+AB）， ………………………………（1 分）
解得，AB
15
2
．…………………………………………………………………（1 分）
∵AB＞0，∴
51
2
BCn BC
．…………………………………………………（1 分）
（以上各题，若有其他解法，请参照评分标准酌情给分）
2012 学年第一学期徐汇区初三年级数学学科
期终学习能力诊断卷 2013、1
（时间 100 分钟 满分 150 分）
考生注意∶
1．本试卷含三个大题，共 25 题；答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、
本试卷上答题一律无效；
2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．
一．选择题（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分）
【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的】
1．在 ABCRt 中， 90C ， 5AC ， 13AB ，那么 Atan 等于…………（ ）
Ａ．
13
5 ； Ｂ．
12
5 ．； Ｃ．
5
12 ； Ｄ．
5
13 ．
2．将抛物线 2xy 沿 y 轴向上平移 1 个单位后所得抛物线的解析式是 …………（ ）
Ａ． 12 xy ； Ｂ． 12 xy ； Ｃ． 2)1( xy ； Ｄ． 2)1( xy ．
3．坡比等于 1∶ 3 的斜坡的坡角等于 ………………………………………………（ ）
Ａ． 30 ； Ｂ． 45 ； Ｃ． 50 ； Ｄ． 60 ．
4．关于二次函数 2)2( xy 的图像，下列说法正确的是…………………………（ ）．
Ａ．开口向下； Ｂ．最低点是 )0,2( ；
Ｃ．对称轴是直线 2x ； Ｄ．对称轴的右侧部分是上升的．
5．如图 1， BDAC、 相交于点O ，下列条件中能判定CD ∥ AB 的是 …………（ ）
Ａ．
CO
BO
DO
AO ； Ｂ．
CD
AB
CO
AO ；
Ｃ．
AO
CO
DO
BO ； Ｄ．
BD
BO
AC
AO ．
6．如图 2，在 中， 90ACB ， ABCD 垂足为 D ，那么下列结论中错误的
是………………………………………………………………………………………（ ）
Ａ． ADBCBDAC 22 ； Ｂ． ABCDBDBC 22 ；
Ｃ． CDACBCAD ； Ｄ． BDACBCCD ．
二．填空题（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分）
7．计算： 45tan60sin2 ．
8．计算： )2(2
1 baba
．
9．抛物线 342 2 xxy 与 y 轴的交点坐标是 ．
A
C
D
B
（图 2）
A B
C D
E F
（图 3）
B
C D
A
O
（图 1）
10．如果两个相似三角形对应角平分线的比是 3:2 ，那么它们对应高的比是 ．
11．如图 3，已知 AB ∥CD ∥ EF ， 3:2: CEAC ， 15BF ，那么 BD ．
12．点C 是线段 AB 上一点， ACBC 2 ，点 NM、 分别是线段 BCAC、 的中点，那么
BCMN : 等于 ．
13．抛物线 cbxaxy 2 过 )0,1( 和 )0,5( 两点 ，那么该抛物线的对称轴是 ．
14．在以 O 为坐标原点的直角坐标平面内有一点 A（2，4）， 如果 AO 与 x 轴正半轴的夹角
为 ，那么 αcos = ．
15．小明同学身高 1.5 米，经太阳光照射，在地面的影长为 2 米，他此时测得旗杆在同一地
面的影长为 12 米，那么旗杆高为 __ 米．
16．抛物 线 32 bxaxy 与 x 轴交于 点 BA、 （点 A 在点 B 的 左侧 ），与 y 轴交 于点 C ，且
3:1: OBOA ， OCOB ，那么 a 的值是 ．
17．两个等腰直角三角形 ACB 和 DCE 的位置如图 4 所示，
点 ECA 、、 和点 DCB 、、 分别在一直线上， 90ACB ，
24AE ， DEAB 3 ，点 HG、 分别是 ACB 、
DCE 的重心，联结GH ，那么 GH ．
18．在 ABCRt 中， 90C ， 5AB ， 4AC ，点 D 是斜边 AB 的中点，把 ABC 绕点C 旋转，
使得点 B 落在射线CD 上，点 A 落在点 A ．那么 AA 的长是_____________．
三．（本大题共 7 题，第 19—22 题每题 10 分；第 23、24 题每题 12 分；第 25 题 14 分；
满分 78 分）
19．（本题满分 10 分）
抛物线 cxaxy 22 经过点 )0,3(B 、 )3,0(C 两点．
（1）求抛物线顶点 D 的坐标； （5 分）
（2）抛物线与 x 轴的另一交点为 A ，求 ABC 的面积． （5 分）
20.（本题满分 10 分）
如图 5，在 ABC 中，点 D 是边 AB 的中点， ACAB 2 ， 4BC .
（1）求CD 的长； （5 分）
（2）设 AB a ， AC =b
，求向量CD （用向量 a 、 b 表示）. （5 分）
G
C
A B
D E
H
（图 4）
A
B C
D
（图 5）
21.（本题满分 10 分）
如图 6，在 ABC 中， BE 平分 ABC 交 AC 于点 E ，过点 E 作 ED ∥ BC 交 AB 于
点 D .
（1）求证： ACBDBCAE ； （5 分）
（2）如果 3ADES ， 2BDES ， 6DE ，求 BC 的长. （5 分）
22.（本题满分 10 分）
如图 7，小岛 B 正好在深水港口 A 的东南方向，一艘集装箱货船从港口 出发，沿正东方向以每小时
30 千米的速度行驶，40 分钟后在C 处测得小岛 在它的南偏东 15 方向，求小岛 离开深水港口 的
距离.（精确到 1.0 千米）
参考数据： 41.12 ， 45.26 ， 26.015sin ， 97.015cos ， 27.015tan .
A
B C
D E
（图 6）
A
B
C
北
北
（图 7）
23.（本题满分 12 分）
“数学迷”小楠通过从“特殊到一般”的过程，对倍角三角形（一个内角是另一个内角的 2 倍的三角形）
进行研究.得出结论：如图 8，在 ABC 中， CBA 、、 的对边分别是 cba 、、 ，如果 BA 2 ，
那么 bcba 22 .
下面给出小楠对其中一种特殊情形的一种证明方法.
已知：如图 9，在 中， 90A , 45B .
求证： .
证明：如图 9，延长CA 到 D ，使得 ABAD .
∴ ABDD ，
∵ DABDDCAB 2 ， 90CAB
∴ 45D ，∵ 45ABC ，
∴ ABCD ，又 CC
∴ ABC ∽ BCD
∴
BC
AC
CD
BC ，即
a
b
cb
a
∴ bcba 22
根据上述材料提供的信息，请你完成下列情形的证明（用不同于材料中的方法也可以）：
已知：如图 8，在 中， .
求证： .
b
C
A
B a
c
（图 8）
A
C
B
a b
c
（图 9）
D
24.（本题满分 12 分）
抛物线 nmxmxy 52 与 y 轴正半轴交于点C ,与 x 轴分别交于点 A 和点 )0,1(B ，
且 OBOAOC 2 .
（1）求抛物线的解析式； （6 分）
（2）点 P 是 轴上一点，当 PBC 和 ABC 相似时，求点 的坐标. （6 分）
25.（本题满分 14 分）
梯形 ABCD 中， AB ∥CD ， 10CD ， 50AB ，
5
4cos A ， 90BA ，
点 M 是边 的中点，点 N 是边 AD 上的动点.
（1）如图 10，求梯形 的周长； （4 分）
（2）如图 11，联结 MN ，设 xAN ， yNMAMN cos （ 0 ＜ NMA ＜ 90 ），求 关于 的关系
式及定义域； （4 分）
（3）如果直线 与直线 BC 交于点 P ，当 AP 时，求 AN 的长. （6 分）
B
C D
A
（图 10）
N
M B
C D
A
（图 11）
B
C D
A
（备用图）
M
2012 学年第一学期徐汇区初三年级数学学科
期终学习能力诊断卷参考答案和评分标准
一、选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分）
1．C； 2．B； 3．A； 4．D； 5．D； 6．B．
二．填空题：（本大题共 12 题，满分 48 分）
7． 3 ； 8． b
2
3 ； 9． )3,0( ； 10． 3:2 ； 11．6 ； 12． 4:3 （或
4
3 ）；
13．直线 2x ； 14．
5
5 ； 15．9 ； 16．1或 1 ； 17．
3
22 （或
3
8 ）； 18．
5
58 ．
三、（本大题共 7 题，第 19、20、21、22 题每题 10 分，第 23、24 题每题 12 分，第 25 题 14 分，满分 78
分）
19. 解：（1）由题意，得
;3
,069
c
ca ………………………………………（1 分）
解得
;3
,1
c
a ………………………………………………………（1 分）
∴ 322 xxy ………………………………………………（1 分）
∴ )4,1(D ……………………………………………………………（2 分）
（2）由题意，得 0322 xx ，解得 3,1 21 xx ；
∴ )0,1(A …………………………………………………………（2 分）
又 )0,3(B 、 )3,0(C
∴ 6342
1 ABCS …………………………………………（3 分）
20．解：（1）∵点 D 是边 AB 的中点， ACAB 2 ，∴ ACABAD 2
2
2
1 （1 分）
∴
2
2AC
AD ，
2
2
2
1 AB
AC ………………………………（1 分）
∴
AB
AC
AC
AD ，又 AA ．∴ ADC ∽ ACB ……………（1 分）
∴
AB
AC
BC
CD ，即
2
2
4 CD ，∴ 22CD …………………（2 分）
（2）∵点 D 是边 AB 的中点，∴ AD aAB
2
1
2
1 …………………（2 分）
∴ CD AD baAC
2
1 ．…………………………………（3 分）
21．（1）证明：∵ BE 平分 ABC ，∴ CBEABE ．……………………（1 分）
∵DE∥BC ，∴ CBEDEB ……………………………（1 分）
∴ DEBABE ．∴ DEBD ……………………………（1 分）
∵DE∥BC ，∴
BC
DE
AC
AE ……………………………………（1 分）
∴
BC
BD
AC
AE ，∴ ACBDBCAE ………………………（1 分）
（2）解：设 ABE 中边 AB 上的高为 h ．
∴
2
3
2
1
2
1
BD
AD
hBD
hAD
S
S
BDE
ADE ，…………………………………（2 分）
∵DE∥BC，∴
AB
AD
BC
DE ． ………………………………………（1 分）
∴
5
36 BC
，∴ 10BC ． …………………………………………（2 分）
22．解： 由题意，得 203
230 AC ． ……………………………………（2 分）
【方法一】过点C 作 ABCD ，垂足为 D ．……………………………………（1 分）
在 ADCRt 中， 90ADC ， 45CAD
∴ 21045cos ACAD ， 21045sin ACCD ……（2 分）
在 BDCRt 中， 90BDC ， 30154590B …（1 分）
∴ 61030cot CDBD …………………………………………（2 分）
∴ )62(10 BDADAB ≈ 6.38)45.241.1(10 ．…（2 分）
【方法二】过点 B 作 ACBD ，交 AC 延长线于 ． ………………………（1 分）
在 BDCRt 中， 90BDC ， 15CBD
设 xBD ，∴ xBDCD 27.015tan ． ………………………（2 分）
∵ DABDABABD 45459090 ……………（1 分）
∴ BDAD ，∴ xx 27.020 ，得
73.0
20x ……………………（2 分）
∴ 6.3873.0
2041.173.0
2022 BDAB …………………（2 分）
答：小岛 B 离开深水港口 A 的距离是 6.38 千米．
23．证明： 延长CA 到 D ，使得 ABAD .……………………………………（2 分）
∴ ABDD ，……………………………………………………（2 分）
∵ DABDDCAB 2 ，………………………………（2 分）
∵ ABCCAB 2 ，∴ ABCD ，又 CC
∴ ABC ∽ BCD …………………………………………………（2 分）
∴
BC
AC
CD
BC ，即
a
b
cb
a
………………………………………（2 分）
∴ bcba 22 ………………………………………………………（2 分）
24．解：（1）由题意，得抛物线对称轴是直线
2
5x ，……………………………（1 分）
∵点 A 和点 B 关于直线 对称，点 )0,1(B ，∴ )0,4(A ………（1 分）
∵ 4142 OBOAOC ，∴ 2OC …………………………（1 分）
∵点C 在 y 轴正半轴上，∴ )2,0(C ………………………………（1 分）
∴ 22
5
2
1 2 xxy ………………………………………………（2 分）
（2）由题意，可得 3AB ， 5BC ， 52AC …………………（1 分）
∵ OBOAOC 2 ，∴
OA
OC
OC
OB ，又 COABOC
∴ BOC ∽ COA ，∴ OACOCB ………………………（1 分）
∴ PBC 和 ABC 相似时，分下列两种情况：
1 当
AC
AB
BC
CP 时，得
52
3
5
CP ，∴
2
3CP ，
∴
2
1
2
32 CPOCOP ，∴ )2
1,0(P ．………………………（2 分）
2 当
AB
AC
BC
CP 时，得
3
52
5
CP ，∴
3
10CP ，
∴
3
423
10 OCCPOP ，∴ )3
4,0( P ．………………（2 分）
综合 21 、 ，当 和 相似时 或 ．
25．解：（1）过点C 作CF ∥ AD ，交 AB 于点 F ．………………………………（1 分）
∴ ACFB ，∵ 90BA ，
∴ 90BCFB ，∴ 90FCB
∵ AB ∥CD ，∴四边形CDAF 是平行四边形；
∴ ADCF ， 10 CDAF ，∴ 40 AFABBF
在 BCFRt 中， 90FCB ，∴
BF
CFCFB cos ，
∴ ADCFBBFCF 325
440cos ………………………（1 分）
∴ 243240 2222 CFBFBC …………………………（1 分）
∴ 11624503210 ABCDC ．…………………………………（1 分）
（2）过点 N 作 ABNQ ，垂足为Q ．∴ 90NQMNQA ，…（1 分）
∴
AN
AQA cos ，∴ xAANAQ 5
4cos ，
∴
MN
MQNMA cos ，∴ yNMAMNMQ cos ，
∵点 M 是边 AB 的中点，∴ 252
1 ABAM ，
∴ xy 5
425 ；…………………………………………………………（2 分）
定义域是0 ＜ x ＜
4
125 ．…………………………………………………（1 分）
（3）分别延长 BCAD、 交于点 E ，联结 EM ．
∵ 90BA ，∴ 90AEB ， 25 BMEMAM ；
∴ 405
450cos AABAE ．
直线 MN 与直线 BC 交于点 P ，当 AP 时，分两种情况：
1 当点 P 在CB 的延长线上时，
∵ EMBM ，∴ EBMBEM ；∵ 90ABEA ，
∴ 90MEBP ，∴ 90EMNEMP ；
∵ EMAM ，∴ AAEM ；∴
EN
EMAEM cos ，
∴
4
125
5
4
25
cos A
EMEN ；∴
4
35
4
12540 ENAEAN .…（3 分）
2 当点 在 BC 的延长线上时，
∵ 90PNEP ， PNEANM ，∴ 90ANMA ，
∴ 90AMN ，∴
AN
AMA cos ，∴
4
125
5
4
25
cos A
AMAN .…（3 分）
综合 、 2 ，当 时，
4
35AN 或
4
125 ．
2013 年上海市闸北区中考数学一模试卷
（2013 年 1 月）
（考试时间：100 分钟，满分：150 分）
考生注意：
1、本试卷含三个大题，共 25 题；
2、答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；
3、除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要
步骤．
一、 选择题（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分）
【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位
置上．】
1．抛物线 y＝－x2 向左平移 2 个单位后所得的抛物线解析式是………………（ ）
（A）y＝－x2－2； （B）y＝－（x－2）2；
（C）y＝－（x＋2）2； （D）y＝－x2＋2．
2．已知 D、E 分别在△ ABC 的 BA、CA 的延长线上，下列给出的条件中能判定 ED∥BC 的
是………………………………………………………………………………………（ ）
（A）
AD
AE ＝
AC
AB ； （B）
BD
AB ＝
CE
AC ；
（C）
BC
DE ＝
AB
AD ； （D）
BC
DE ＝
CE
BD ．
3．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝α，AC＝b，那么 AB 等于……………（ ）
（A）
cos
b
； （B）
sin
b
； （C）
tan
b
； （D）
cot
b
．
4．如果四条线段 a、b、c、d 构成
b
a ＝
d
c ，m＞0，则下列式子中，成立的是……（ ）
（A）
a
b ＝
d
c ； （B）
b
a ＝
md
mc
；
（C）
b
ba ＝
d
cd ； （D）
db
ca
＝ ．
5．在△ABC 中，中线 AD、BE 相交于点 O，且 S△ BOD＝5，则△ ABC 的面积是（ ）
（A）30； （B）20； （C）15； （D）5．
6．根据二次函数 y＝－x2＋2x＋3 的图像，判断下列说法中，错误．．的是………（ ）
（A）二次函数图像的对称轴是直线 x＝1；
（B）当 x＞0 时，y＜4；
（C）当 x≤1 时，函数值 y 是随着 x 的增大而增大；
（D）当 y≥0 时，x 的取值范围是－1≤x≤3 时．
二、填空题（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分）
7．钓鱼岛列岛是我国最早发现、命名，并行使主权的．在一幅比例尺是 1︰100000 的地图上，测得钓
鱼岛的东西走向长为 3.5 厘米，那么它的东西走向实际长大约为 ▲ 米．
8．已知点 D 是线段 AB 的黄金分割点，且线段 AD 的长为 2 厘米，则最短线段 BD 的长是 ▲ 厘
米．
9．如果 a ＋b ＝2（ －3 ），那么用 表示 ，得 ＝ ▲ ．
10．抛物线 y＝ 4x2＋2x－1 有最 ▲ 点（填“高”、“低”）．
11．某印刷厂一月份印书 50 万册，如果从二月份起，每月印书量的增长率都为 x，那么三月份的印书
量 y（万册）与 x 的函数解析式是 ▲ ．
12．在坡度为 i＝1︰2.4 的斜坡上每走 26 米就上升了 ▲ 米．
13．如图一，已知点 D、E 分别在△ ABC 的边 AB
和 AC 上，且 DE∥BC，S△AED︰S 梯形 EDBC＝1︰2，则
AE︰AC 的比值是 ▲ ．
14．若二次函数 y＝mx2－（2m－1）x＋m 的图像
顶点在 y 轴上，则 m＝ ▲ ．
15．如图二，在 Rt△ ABC 中，∠C＝90°，点 D
在边 BC 上，且∠ADC＋∠B＝90°，DC＝3，BD＝6，
则 cosB＝ ▲ ．
16．如图三，在边长相同的小正方形组成的网格
中，点 A、B、C 都在这些小正方形的顶点上，则
∠ABC 的正切值是 ▲ ．
17．如图四，在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝36°，
BD 平分∠ABC 交 AC 于点 D，DE 平分∠BDC 交 BC
于点 E，则
AD
EC ＝ ▲ ．
18．如图五，在 Rt△ ABC 中，AB＝6cm，BC＝
4cm，点 D 是斜边 AB 上的中点，把△ ADC 沿着 AB
方向平移 1cm 得△ EFP，EP 与 FP 分别交边 BC 于
点 H 和点 G，则 GH＝ ▲ ．
三、解答题（本大题共 7 题，满分 78 分）
19．（本题满分 10 分）
计算：
145sin2
1
－2 2)30cot1( ＋sin260°＋cos260°．
（
图
一
）
D
A
B C
E
（
图
三
）
A
B
C
（
图
二
）
D
A B
C
（
图
四
）
E
D
A
B C
（
图
五
）
H
F
G
E D A B
C P
（
图
六
）
H F E
D A B
C
（
图
七
）
N
O
M
D A
B C
20．（本题满分 10 分 第（1）小题 4 分，第（2）小题 6 分）
已知：二次函数 2 (y ax bx c a ≠0) 的图像经过点（3，5）、（2，8）、（0，8）．
（1）求这个二次函数的解析式；
（ 2 ） 已 知 抛 物 线 2
1 1 1 1 1(y a x b x c a ≠ 0 ， 2
2 2 2 2 2(y a x b x c a ≠ 0 ， 且 满 足
111
222
(a b c kka b c ≠0，1 ，则我们称抛物线 12yy与 互为“友好抛物线”，请写出当 1
2k 时第（1）小
题中的抛物线的友好抛物线，并求出这友好抛物线的顶点坐标．
21．（本题满分 10 分）
已知：如图六，九年级某班同学要测量校园内旗杆
CH 的高度，在地面的点 E 处用测角器测得旗杆顶点 C
的仰角∠CAD＝45°，再沿直线 EF 向着旗杆方向行走
10 米到点 F 处，在点 F 又用测角器测得旗杆顶点 C 的
仰角∠CBA＝60°；已知测角器的高度为 1.6 米，求旗
杆 CH 的高度（结果保留根号）．
22．（本题满分 10 分）
已知：如图七，在平行四边形 ABCD 中，对角线
AC、BD 相交于点 O，点 M、N 分别在边 AO 和边 OD
上，且 AM＝
3
2 AO，ON＝
3
1 OD，设 AB ＝ a ， BC
＝b ，试用 、 的线性组合表示向量OM 和向量 MN ．
23．（本题满分 12 分 第（1）小题 6 分，第（2）小题 6 分）
已知：如图八，在△ ABC 中，BD⊥AC 于点 D，
CE⊥AB 于点 E，EC 和 BD 相交于点 O，联接 DE．
（1）求证：△ EOD∽△BOC；
（2）若 S△ EOD＝16，S△ BOC＝36，求 AE
AC
的值．
24．（本题满分 12 分 第（1）小题 6 分，第（2）小题 6 分）
已知：如图九，二次函数 2
3y x2 4
3 x 16
3 的图
像与 x 轴交于点 A、B（点 A 在点 B 的左侧），抛物线的
顶点为 Q，直线 QB 与 y 轴交于点 E．
（1）求点 E 的坐标；
（2）在 x 轴上方找一点 C，使以点 C、O、B 为顶点
的三角形与△ BOE 相似，请直接写出点 C 的坐标．
（
图
八
）
E
O
D
A
B C
（
图
九
）
E
O
Q
x
B A
y
25．（本题满分 14 分 第（1）小题 4 分，第（2）小题 4 分，第（3）小题 6 分）
已知：如图十，在△ ABC 中，AB＝AC＝15，
cos∠A＝
5
4 ．点 M 在 AB 边上，AM＝2MB，点 P 是
边 AC 上的一个动点，设 PA＝x．
（1）求底边 BC 的长；
（2）若点 O 是 BC 的中点，联接 MP、MO、OP，
设四边形 AMOP 的面积是 y，求 y 关于 x 的函数关系
式，并出写出 x 的取值范围；
（3）把△ MPA 沿着直线 MP 翻折后得到△ MPN，
是否可能使△ MPN 的一条边（折痕边 PM 除外）与 AC
垂直？若存在，请求出 x 的值；若不存在，请说明
理由．
（
图
十
）
C O
P
B
A
M
（
备
用
图
）
·
C B
A
M
（
备
用
图
）
·
C B
A
M
2013 年上海市闸北区中考数学一模试卷
答案及评分参考
（考试时间：100 分钟，满分：150 分）
一、选择题（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分）
题号 1 2 3 4 5 6
答案 C B B D A B
二、填空题（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分）
7、3500． 8、 5 －1． 9、 1
7 a ．
10、低． 11、 250( 1)yx或 250 100 50y x x 12、10．
13、 3
3
． 14、 1
2
． 15、 3
2
．
16、2． 17、 35
2
． 18、 2
3
．
三、解答题（本大题共 12 题，满分 78 分）
19、（本题满分 10 分）
解： 2 2 21 2 (1 cot 30 ) sin 60 cos 602sin 45 1
=
2
221 3 12 (1 3) ( )222212
……………………………………（4 分）
= 1 3 12( 3 1) 4421
………………………………………………………（4 分）
= 2 1 2 3 2 1 ………………………………………………………………（1 分）
= 2 2 3 4………………………………………………………………………（1 分）
20、（本题满分 10 分第（1）小题 4 分，第（2）小题 6 分）
（1）根据题意，得
8
4 2 8
9 3 5
c
a b c
a b c
可以解得
1
2
8
a
b
c
…………………………（3 分）
∴这个抛物线的解析式是 2 28y x x ．……………………………………（1 分）
（2）根据题意，得
2 2 2
1 2 8 1
2a b c
或 1 1 1 1
1 2 8 2
a b c
解得 2 2 22, 4, 16a b c 或 1 1 1
1 , 1, 42a b c ……………………（2 分）
友好抛物线的解析式是： 22 4 16y x x 或 21 42y x x ……………（2 分）
∴它的顶点坐标是（1, 18 ）或（ 91, 2 ）……………………………………（2 分）
（
图
六
）
H F E
D A B
C
（
图
七
）
N
O
M
D A
B C
21、（本题满分 10 分）
根据题意，设 DB= x 米在 Rt△CBD 中，∠CBD=60°
∴CD=DB·tan60°= 3x 米……………（2 分）
在 Rt△ACD 中，∠CAD=45°
∴CD=AD= 米………………………（2 分）
∴ + =10…………………………………………………………………………（2 分）
解得 (5 3 5)x 米…………………………………………………………………（1 分）
CD= 3 (5 3 5) (15 5 3) 米…………………………………………………（1 分）
∴CH=15 5 3 1.6 (16.6 5 3) 米……………………………………………（1 分）
答：旗杆 CH 的高度是(16.6 5 3) 米．……………………………………………（1 分）
22、（本题满分 10 分）
∵ AC AB BC= ab ……………………………（1 分）
∵平行四边形 ABCD
∴ 1
2AO AC …………………………………………（1 分）
∴ 11()22AO AC a b ……………………………（1 分）
∵ 2
3AM OA 即 1
3OM AO
∴ 1
3OM AO ………………………………………………………………………（1 分）
∴ 1 1 1()6 6 6OM a b a b …………………………………………………（1 分）
∵AM＝ 2
3 AO，ON＝ 1
3 OD
∴ 1
3
OM ON
OA OD……………………………………………………………………（1 分）
∴MN∥AD ………………………………………………………………………（1 分）
∴ 1
3
MN OM
AD AO……………………………………………………………………（1 分）
∴ 1
3MN AD ………………………………………………………………………（1 分）
又∵平行四边形 ABCD
∴ AD BC b
∴ 1
3MN b …………………………………………………………………………（1 分）
23．（本题满分 12 分 第（1）小题 6 分，第（2）小题 6 分）
（1）证明：在△BOE 与△DOC 中
∵∠BEO＝∠CDO，∠BOE＝∠COD
∴△BOE∽△COD………………………………………（2 分）
∴ OE OB
OD OC ……………………………………………（1 分）
即 OE OD
OB OC ……………………………………………（1 分）
又∵∠EOD＝∠BOC……………………………………（1 分）
∴△EOD∽△BOC………………………………………（1 分）
(2) ∵△EOD∽△BOC
∴ 2()EOD
BOC
S OD
S OC
………………………………………………………………（1 分）
∵S△EOD＝16，S△BOC＝36
∴ 2
3
OD
OC ………………………………………………………………………（1 分）
在△ODC 与△EAC 中
∵∠AEC＝∠ODC，∠OCD＝∠ACE
∴△ODC∽△AEC………………………………………………………………（1 分）
∴ OD OC
AE AC ……………………………………………………………………（1 分）
即 OD AE
OC AC ……………………………………………………………………（1 分）
∴ 2
3
AE
AC ………………………………………………………………………（1 分）
24．（本题满分 12 分第（1）小题 6 分，第（2）小题 6 分）
（1）令 y=0，得 22 4 16 03 3 3xx …………………（1 分）
解方程得 122, 4xx
(4,0)B …………………（1 分）
又 22 ( 1) 63yx
∴ (1, 6)Q …………………（1 分）
设直线 BQ： ( 0)y kx b k
40
6
kb
kb
解得 28yx………………………………………………………………（1+1 分）
(0, 8)E……………………………………………………………………（1 分）
（2） 1 2 3 4 5 6
16 8 4 8(0,2) , (0,8) , (4,2) , (4,8) , ( , ) , ( , )5 5 5 5C C C C C C （6 分）
（
图
八
）
E
O
D
A
B C
25．（本题满分 14 分第（1）小题 4 分，第（2）小题 4 分，第（2）小题 6 分）
解：（1）作 BH⊥AC 于点 H（如图一），
∵在 Rt△ABH 中，cos∠A＝
5
4 ，AB＝15，
∴AH＝12………………………………………………（1 分）
∴BH＝9．………………………………………………（1 分）
∵AC＝15
∴CH＝3．………………………………………………（1 分）
∵BC2＝BH2＋CH2，∴BC2＝92＋32＝90，∴BC＝3 10 ．…（1 分）
（2）作 OE⊥AB 于点 E，OF⊥AC 于点 F（如图一），
∵点 O 是 BC 的中点，∴OE＝OF＝
2
1 BH＝
2
9 ．
∵AM＝2MB，AB＝AC＝15，∴AM＝10，BM＝5．
∵PA＝x，∴PC＝15－x，
∴y ＝ S△ABC－S△BOM－S△COP＝ BH·AC― OE·BM― OF·PC
＝ ×9×15－ × ×5－ × ×（15－x）…………………（1+1 分）
＝
4
9 x＋ 45
2
．…………………………………（1 分）
定义域：（0＜x≤15）． …………………………… （1 分）
（3）①当 PN⊥AC 时（如图二），作 MG⊥AC 于点 G，
∵在 Rt△AMG 中，cos∠A＝ ，AM＝10
∴AG＝8，∴MG＝6．
①若点 P1 在 AG 上，由折叠知：∠AP1M＝135°，∴∠MP1G＝45°．
∵MG⊥AC，∴P1G＝MG＝6，………（1 分）∴AP1＝AG－P1G＝2．…………（1 分）
②若点 P2 在 CG 上，由折叠知：∠AP2M＝45°．
∵MG⊥AC，∴P2G＝MG＝6，∴AP2＝AG＋P2G＝14．…………（2 分）
③当 MN⊥AC 时（如图三），
由折叠知：∠AMP3＝∠NMP3，P3N3＝AP3＝x，MN3＝MA＝10，
∴P3G＝8－x，GN3＝4．
∵P3N3
2＝P3G2＋GN3
2，∴x2＝（8－x）2＋42，∴x＝5．……（2 分）
综上所述，x＝2 或 5 或 14 时满足△MPN 的一条边与 AC 垂直．
E
H
F
（
图
一
）
C O
P
B
A
M
（
图
二
）
G
N1
C
P1
B
A
M
P2
N2
（
图
三
）
N3
C
P3
B
A
M G
2012 学年嘉定区九年级第一次质量调研
数学试卷
一、选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分）
1. 对于线段 a 、b ，如果 3:2: ba ，那么下列四个选项一定正确的是（ ）
（A） ba 32 ； （B） 1 ab ； （C）
3
2
3
2
b
a ； （D）
2
5
b
ba .
2. 如图 1，在直角坐标平面内有一点 )4,3(P ,那么射线OP 与 x 轴正半轴的
夹角 的余弦值是（ ）
（A）
3
4 ； （B）
3
5 ； （C）
5
3 ； （D）
5
4 .
3. 已知抛物线 cbxxy 2 如图 2 所示，那么b 、c 的取值范围是（ ）
（A） 0b ， 0c ； （B） ， 0c ；
（C） 0b ， ； （D） ， 0c .
4.下列四个命题中，真命题的个数为（ ）
①面积相等的两个直角三角形相似；
②周长相等的两个直角三角形相似；
③有一个锐角相等的两个直角三角形相似；
④斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似．
（A） 4 ； （B）3 ； （C） 2 ； （D）1.
5．正多边形的一个内角的度数不可能是（ ）
（A） 80 ； （B） 135 ； （C） 144 ； （D） 150 .
6. 已知⊙ 1O 的半径长为 2 ，若⊙ 2O （ 与 不重合）上的点 P 满足 21 PO ，则下列位置关系中，⊙
1O 与⊙ 2O 不可能存在的位置关系是（ ）
(A)相交； （B）内切； （C）外切； （D）外离.
二、填空题（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分）
7. 如图 3，在△ABC 中， DE ∥ BC ， DE 与边 AB 相交于点 D ，与边 AC
相交于点 E ，如果 6AD ， 8BD ， 4AE ，那么CE 的长为 .
8. 已知 2a ， 4b
，且b
与 a 反向，如果用向量b
表示向量 a ，那么 = ．
9. 如图 4，飞机 P 在目标 A 的正上方1000米处.如果飞行员测得目标 B 的俯角
为 30 ，那么地面目标 、 之间的距离为 米（结果保留根号）.
图 1
y
x O
P
x
y
O
图 2
A
B C 图 3
D E
A B
P
图 4
图 5
10.如果二次函数 13 2 mxxy 的图像经过原点，那么 m 的值为 ．
11.二次函数 cxy 22 的图像在 y 轴左侧的部分是 的.（从“上升”或“下降”中选择）．
12.二次函数 xxy 42 图像的对称轴是直线 ．
13.把抛物线 2( 1) 4yx 先向右平移 3 个单位，再向下平移 2 个单位，所得抛物线的顶点坐标是 ．
14.已知⊙O 的半径长为 2 ，点 P 满足 2PO ，那么过点 的直线l 与⊙
不可能存在的位置关系是 （从“相交”、“相切”、“相离”中选择）.
15.正六边形的边心距与半径长的比值为 ．
16.对于平面图形 A ，如果存在一个圆，使图形 A 上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称
图形 被这个圆“覆盖”．例如图 5 中的三角形被一个圆“覆盖”.如果边长为1的正六边形被一个半径
长为 R 的圆“覆盖”，那么 R 的取值范围为 ．
17.如图 6，已知⊙ 1O 与⊙ 2O 相交于点 A 、 B ， 8AB ， 121 OO ，⊙ 1O 的半径长为5 ，那么⊙ 2O 的
半径长为 ．
18.如图 7，弧 EF 所在的⊙O 的半径长为5 ，正三角形 ABC 的顶点 A 、B 分别在半径OE 、OF 上，点C
在弧 上， 60EOF .如果 OFAB ，那么这个正三角形的边长为 ．
三、简答题（本大题共 7 题，满分 78 分）
19.（本题满分 10 分）
计算：
tan45cos452
60cos45sin30cos60cot .
A
B
C
O F
图 7
E
图 6
A
B
1O 2O
20.（本题满分 10 分）
如图 8，已知△ABC 中， 10 ACAB ， 16BC ，矩形
DEFG 的边 EF 在△ABC 的边 BC 上，顶点 D 、G 分别在
边 AB 、 AC 上，设 DE 的长为 x ，矩形 的面积为 y .
求 y 关于 的函数关系式，并写出这个函数的定义域.
21.（本题满分 10 分，第（1）小题 5 分，第（2）小题 5 分）
如图 9，已知点 D 、 E 分别在△ABC 的边 AB 和 AC 上， DE ∥ BC ， DBAD 2
1 ，四边形 DBCE
的面积等于16.
（1）求△ABC 的面积；
（2）如果向量 aAD ，向量 bAE
，请用 a 、b
表示向量 BC .
22.（本题满分 10 分，第（1）小题 6 分，第（2）小题 4 分）
如图 10，一条细绳系着一个小球在平面内摆动.已知细绳从悬挂点O 到球心的长度OG 为50 厘米，小
球在左、右两个最高位置时（不考虑阻力等其他因素），细绳相应所成的角为 90 .
（1）求小球在最高位置和最低位置时的高度差；
（2）联结 EG ，求 OGE 的余切值.
A
B C
D
E F
G
图 8
A
B C
D E
图 9
O
E F
G
图 10
23.（本题满分 12 分，第（1）小题 6 分，第（2）小题 6 分）
已知：点 D 是 Rt ABC△ 的 BC 边的一个动点（如图 11），过点 作 ABDE ，垂足为 E ，点 F 在 AB
边上（点 与点 B 不重合），且满足 BEFE ，联结CF 、 DF .
（1）当 DF 平分 CFB 时，求证：
FB
BD
CB
CF ；
（2）若 10AB ，
4
3tan B .当 CFDF 时，求 BD 的长.
24．（ 本题满分 12 分，每小题满分 4 分）
在平面直角坐标系 xOy 中（图 12），已知抛物线 caxaxy 42 （ 0a ）经过 )4,0(A 、 (-3,1)B 两
点，顶点为C .
（1）求该抛物线的表达式及点 的坐标；
（2）将（1）中求得的抛物线沿 y 轴向上平移 m（ 0m ）个单位，所得新抛物线与 y 轴的交点记为点 D .
当△ ACD 是 等腰三角形时，求点 的坐标；
（3）若点 P 在（1）中求得的抛物线的对称轴上，联结 PO ，将线段 绕点 P 逆时针旋转 90 得到线段
OP ，若点O恰好落在（1）中求得的抛物线上，求点 的坐标.
A B
C
D
E F 图 11 A B
C
备用图
O
y
1 x 2 4 3 5 6 -6 -5 -3 -4
3
-2
5
-1
4
5
6
7
8
9
-1
-2
5 图 12
3
2
1
10
25.（本题满分 14 分，第（1）小题 4 分，第（2）、（ 3）小题各 5 分）
已知点 A 、B 、C 是半径长为 2 的半圆O 上的三个点，其中点 A 是弧 BC 的中点（如图 13），联结 AB 、
AC ，点 D 、 E 分别在弦 AB 、 AC 上，且满足 CEAD ，联结OD、OE .
（1）求证： OEOD ；
（2）联结 BC ，当 22BC 时，求 DOE 的度数；
（3）若 120BAC ，当点 在弦 AB 上运动时，四边形 ADOE 的面积是否变化？若变化，请简述理由；
若不变化，请求出四边形 的面积.
B
O
A
D
E
图 13
C
O
备用图
O
备用图
2012 学年嘉定区九年级第一次质量调研
数学试卷答案要点与评分标准
说 明：
1.解答只列出试题的一种或几种解法.如果学生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准相应评分；
2.第一、二大题若无特殊说明，每题评分只有满分或零分；答案若为分数，需要化成最简分数.
3.第三大题中各题右端所注分数，表示学生正确解答到这一步应得分数；
4.评阅试卷，要坚持每题评阅到底，不能因学生解答中出现错误而中断对本题的评阅.如果学生的解答在某
一步出现错误，影响后继部分而未改变本题解答的实质，视影响的程度决定后继部分的给分，但原则上
不超过后继部分应得分数的一半；
5.评分时，给分或扣分均以 1 分为基本单位.
一、选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分）
1.C； 2.C； 3.B； 4.C； 5.A； 6.D.
二、填空题（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分）
7.
3
16 （或者
3
15 ）； 8. ba
2
1 ； 9. 31000 ； 10. 1m ；
11.下降； 12. 2x ； 13.（4,2）； 14.相离；
15.
2
3 ； 16. 1R ； 17. 52 ； 18. 217
5 .
三、简答题（本大题共 7 题，满分 78 分）
19.解：
tan45cos452
60cos45sin30cos60cot =
12
22
2
1
2
2
2
3
3
3
…………（6 分）
22)223(2
1
2
1
)12(2
12
2
1
.……………………………（2+1+1）分
20.解：过点 A 作 BCAH ，交 BC 于 H ，交 DG 于 P （如图 8）.…………（1 分）
∵四边形 DEFG ， EF 在 BC 边上，
∴ DG ∥ .…………………………………………………………………（1 分）
得 △ADG∽△ABC.………………………………………………………（1 分）
∵ ∥ ， BCAH ，∴ DGAP .
∴
BC
DG
AH
AP .……………………………………………………………（1 分）
在△ABC 中，∵ ACAB ， BCAH ， 16BC ，∴ 82
1 BCBH .
6810 2222 BHABAH .…………………………………（1 分）
∵ BCPH ， BCDE ，∴ PH ∥ DE .
又 DG ∥ BC ， ∴ DEPH .∴ xPHAHAP 6 .…（1 分）
由 xAP 6 ， 6AH ， 得
166
6 DGx .…………（1 分）
解得 )6(3
8 xDG .……（1 分）
∴ 2
3
816)6(3
8 xxxxy .……（1 分）
定义域为 60 x .…………………………………………………………（1 分）
21.解：（1）∵ DE ∥ BC ，∴△ADE∽△ABC.∴ 2)( AB
AD
S
S
ABC
ADE
.………（1+1 分）
∵ DBAD 2
1 ，∴ ABAD 3
1 . ∴
9
1
ABC
ADE
S
S .…………………………（1 分）
又∵ 16DBCES四边形 ，∴
9
1
16
ADE
ADE
S
S .解得 2ADES .………………（1 分）
∴ 18216 ABCS .………………………………………………………（1 分）
（2）∵向量 aAD ，向量 bAE
，∴向量 abDE
.…………………（1 分）
∵ ∥ ，∴
AB
AD
BC
DE .………………………………………………（1 分）
∵ ，∴ DEBC 3 .………………………… … ……………（1 分）
∴ 向量 ababBC
33)(3 .………………… ……… ……………（2 分）
22.解：（1）过点 E 作 OGEH ，垂足为点 H . ……………（1 分）
小球在最高位置和最低位置时的高度差就是GH 的长.
根据题意，可知 452
1 EOFEOH .………（1 分）
在 EOH△Rt 中，∵
OE
OHEOH cos ，
∴ 22545cos50cos EOHOEOH . …… （2 分）
A
B C
D
E F
G
图 8
P
H
O
E F
G
H
∴ 22550 OHOGGH .……………（2 分）
（2）联结 EG .……………………………………（1 分）
在 EOH△Rt 中， 22545sin OEEH …（1 分）
∴ 12
225
22550cot EH
GHOGE .…（2 分）
23.解：（1）∵ ABDE ， BEFE ，
∴ DBDF ， BDFE .………………………………（1 分）
∵ DF 平分 CFB ，∴ BFDCFD .
∵ ，∴ BCFD . …… …………（1 分）
又∵ FCBDCF ，∴△DCF∽△FCB. ………………（1 分）
∴
FB
DF
CB
CF .……………………（2 分）
∵ ，∴
FB
DB
CB
CF . …（1 分）
（2）在 Rt ABC△ 中，由 10AB ，
4
3tan B ，
易得
5
3sin B ，
5
4cos B ， 6AC ， 8BC .………………………（1 分）
过点C 作 ABCH ，垂足为 H （如图 11-2）.
在 Rt△BCH 中，
5
24
5
38sin BBCCH .………………………（1 分）
5
32
5
48cos BBCBH .
设 xBD 5 （备注：也可以设 xBD ），
在 Rt△BDE 中， xxBBDDE 35
35sin ， xxBBDBE 45
45cos .
由 xBEEF 4 ，可得 xBFBHHF 85
32 . …………………（1 分）
由 CFDF ，易得 90CFHDFE ，
又 90CFHFCH ，∴ DFEFCH .
方法 1：∴ DFEFCH tantan .………………………………………（1 分）
∵
3
54tan x
CH
FHFCH ，
4
3tantan BDFE ，
∴
4
3
3
54 x . …………………………（1 分）
解得
4
75 x .即
4
7BD .………………（1 分）
方法 2：∴△HCF∽△EFD. ………（1 分）
∴
EF
CH
ED
HF .
A B
C
D
E F 图 11
A B
C
图 11-2
F H
D
E
将 xHF 85
32 ， xDE 3 ， xEF 4 ，
5
24CH 代入上式，得
xx
x
4
5
24
3
85
32
. ……………………………………………………………………（1 分）
解得
4
75 x .即
4
7BD .………………………………………………………（1 分）
24.解：（1）由抛物线 caxaxy 42 经过 )4,0(A ， (-3,1)B ，
得
.1129
,4
caa
c ……………………………（1 分）
解这个方程组，得
.1
,4
a
c
……………………………………………………（1 分）
因此，所求的抛物线的表达式为 442 xxy .…………………………………（1 分）
由 22 )2(44 xxxy ，易得顶点C 的坐标为（ 2 ，0 ）.…………（1 分）
（2）因为点 D 是将抛物线 442 xxy 沿 y 轴向上
平移 m （ 0m ）个单位所得新抛物线与 轴的交点.
所以，点 D 必定在点 A 的上方（如图 12-1），
得 90AOCDAC .…………………（1 分）
∵△ACD 是 等腰三角形，∴ ACAD …（1 分）
在 Rt△AOC 中， 2OC ， 4OA ，由勾股定理可得
5242 2222 OAOCAC .
∴ 52 ACAD ， 524 ADOAOD .…（1 分）
∴点 D 的坐标为（0 ， 524 ）.……………………（1 分）
（3）因为点 P 在抛物线 2)2( xy 的对称轴上，故
可设点 P 的坐标为（ 2 ， n ）.
由题意知： OPPO ， 90OOP .
过点O作 CPEO ，垂足为 E .
∵ 90OPCPEO ， 90OPCPOC .
∴ POCPEO .
∵ 90PCOEPO ， ，
，∴△ PEO ≌△ POC .
∴ PCEO ， OCPE .
当点 在第二象限时（如图 12-2），
O
y
1 x 2 4 3 5 6 -6 -5 -3 -4
3
-2
5
-1
4
5
6
7
8
9
-1
-2
5 图 12-1
3
2
1
10
A
C
D
nPCEO ， 2 OCPE ， nEC 2 .
故而可得点O的坐标为（ 2n ， 2n ）.……（1 分）
备注：若点O在第一象限，其坐标也是（ ， ），下同.
∵点 （ ， ）恰好在 2)2( xy 上，∴ 2)22( 2 nn .
整理，得 022 nn .解得 21 n ， 12 n （舍去）.
故可得点 P （ 2 ， 2 ）.……………………………（1 分）
当点 P 在第三象限时（如图 12-3），
nPCEO ， ， .
由此可得点 的坐标为（ 2n ， ）……（1 分）
∵ （ 2n ， ）在抛物线 上，
∴ .
整理，得 ，解得 （舍去）， .
故而可知 （ ， 1 ）. ………（1 分）
25.解：（1）方法 1：联结OA、OB 、OC （如图 13-1），易得 OCOAOB .
在⊙O 中，∵ ，∴ ACAB .…………………… ……（1 分）
∵ OCOB ， OAOA ， ，∴△AOB≌△AOC.
∴ CAOBAO . ………………………………………………（1 分）
又 ∵ OCOA ，∴ OCACAO .
∴ OCABAO .
∵ CEAD ， OCABAO ， ，
∴△AOD≌△COE.…………………………………………（1 分）
∴ OEOD . ……………………………………………………（1 分）
方法 2：在⊙ 中，∵ ，∴ . …………………（1 分）
过点O 分别作 ABOM ， ACON ，垂足分别为 M 、 N （如图 13-2），
图 12-2
x
y
图 12-3
x
y
∵ ABOM ， ACON ，∴ ABAM 2
1 ， ACCN 2
1 .
由 ACAB 易得 ONOM ， CNAM .……………………（1 分）
∵ CEAD ， ，∴ CNCEAMAD ，即 ENDM .
∵ ， 90ONEOMD ， ，
∴△ODM≌△OEN. ……………………………………………………（1 分）
∴ OEOD . ……………………………………………………………（1 分）
（2）如图 13-3，在△BOC 中，由 2 OCOB ， 22BC ，得
822 2222 OCOB ， 8)22( 22 BC .
∴ 222 BCOCOB . ∴ 90BOC . ………（1+1 分）
∵ ，O 是圆心，
∴ 45902
1
2
1 BOCAOBAOC . ………………………………（1 分）
∵△AOD≌△COE，∴ COEAOD .………………………………………（1 分）
∴ 45AOCAOECOEAOEAODDOE .……………（1 分）
若使用锐角三角比或其他方法，请参照评分.
（3）当点 D 在弦 AB 上运动时，四边形 ADOE的面积不变.理由如下：…………（1 分）
∵ CAOBAO ， 120BAC
∴ 601202
1
2
1 BACCAO ，……………（1 分）
又∵ OCOA ，∴△AOC 是等边三角形.
∴ 2 OCAC .…………………………………………（1 分）
由（1）中的△AOD≌△COE，可知 COEAOD SS .
∴ AOCAOECOEAOEAODADOE SSSSSS 四边形 .……（1 分）
过点O 作 ACON ，垂足为 N ，易得 360sin OAON ，
∴ 3322
1
2
1 ONACS ACD . …………………（1 分）
B
O
A
D
E
图 13-1
C
B
O
A
D
E
图 13-2
C N M
B O
A
D
E
图 13-3
C
B
O
A
D
E
图 13-4
C
第 4 题图
A B
C D
E F
虹口区 2012 学年度第一学期初三年级数学学科
期终教学质量监控测试卷
（满分 150 分，考试时间 100 分钟） 2013.1
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共 25 题；
2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；
3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．
一、选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分）
[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．]
1．抛物线 221yx 的顶点坐标是
A．(2，1) ； B．(-2，1) ； C．(2，-1)； D．(-2，-1)．
2．关于二次函数 2y ax bx的图像如图所示，下列说法中，正确的是
A．a>0，b>0； B．a>0，b<0；
C．a<0，b>0； D．a<0，b<0．
3．小丽在楼上点 A 处看到楼下点 B 处的小明的俯角是 35°，那么点 B 处的小明看点 A 处的小丽的仰角的
度数是
A．35°； B．45°； C．55°； D．65°．
4．如图，已知 AB∥CD∥EF，BD:DF=2:3，那么下列结论中，正确的是
A． : 2 : 5CD EF ； B． : 2 : 5AB CD ；C． : 2 : 5AC AE ； D． : 2 : 5CE EA ．
5． 在△ABC 中，AB=AC=2，∠B = 30°, 那么 BC 等于
A．1； B．2； C． 3 ； D．23．
6． 如图，在△ABC 中，BD=2CD， aBA ， bBC ，那么 DA 等于
A． 2
3 ab ； B． 2
3ba ； C． 2
3 ba ； D． 2
3ab ．
二、填空题：（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分）
[请将结果直接填入答题纸的相应位置]
7．已知线段 b 是线段 a、c 的比例中项，且 a＝9，b＝6，那么 c＝ ▲ .
8. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC=3，BC=4，则sin B = ▲ ．
9．在 Rt△ABC 中，∠C = 90°， 12cos 13A ，则 tan A = ▲ ．
10.如图，已知梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠B=30°，∠C=60°，
AD=4，AB=33，则下底 BC 的长= ▲ ．
第 6 题图
B
A
C D
60°30°
D
CB
A
第 10 题图
O x
第 2 题图
y
第 17 题图
A
B C
D
E
第 18 题图
11. 若抛物线 2(2 1)y k x x 的开口向下，则 k 的取值范围是 ▲ ．
12．请写出一个开口向上，且对称轴为直线 1x 的抛物线的表达式是 ▲ ．
13．用配方法把二次函数解析式 2 67y x x 化为 2()y a x m k 的形式是 ▲ .
14．如果抛物线 2( 2) 1yx 经过点 11,Ay 和 21,By，那么 1y 与 2y 的大小关系是
▲ .（填写“>”或“<”或“=”）
15．如图，□ABCD 中，E 是 CD 的延长线上一点，BE 与 AD 交于点 F，CD=2DE.若△DEF 的面积为 a，
则□ABCD 的面积为 ▲ .(用含 a 的代数式表示)
16．在△ABC 中，∠C = 90°，BC=12，点 G 为重心，且 GD⊥BC，那么 CD = ▲ ．
17．如图，小明用直角三角形工具测量树的高度 AB．测量时，他使斜边 DF 保持水平，并使 DE 与点 B 在
同一直线上．已知两条直角边 DE = 0.3m，EF = 0.15m，测得边 DF 离地面的高度AC = 1.5m，CD = 17m，
则树高 AB = ▲ m．
18．如图，将△ABE 翻折，使点 B 与 AE 边上的点 D 重合，
折痕为 AC.若 AB=AC=5，AE=9，则 CE= ▲ ．
三、解答题（本大题共 7 题，满分 78 分）
19．（本题满分 10 分）
计算： 12sin 60 cot 30 2tan 45 tan 60
.
20．（本题满分 10 分）
已知一个二次函数的图像经过 A（1，3）、 B（-1，7）、 C（0，4）三点．求这个二次函数的解析式，并
写出该函数图像的对称轴和顶点的坐标．
A
D B C
第 16 题图
G
A D
B C
第 15 题图
E
F
i
i
20°
9米
6米
B1层
底层 小心碰头A
B
F
CD
E
21．（本题满分 10 分）
如图，点 D、E 分别在线段 AB 和 AC 上，BE 与 CD 相交于点 O， AD AB AE AC ，DF∥AC.
求证：△DOF∽△DOB.
22．（本题满分 10 分，第（1）小题满分 5 分，第（2）小题满分 5 分）
某大型购物中心为方便顾客地铁换乘，准备在底层至 B1 层之间安装电梯 . 截面图如图所示，底层与
B1 层平行，层高 AD 为 9 米，A、B 间的距离为 6 米，∠ACD=20°.
（1）请问身高 1.9 米的人在竖直站立的情况下搭乘电梯，在 B 处会不会碰到头部？请说明理由．
（2）若采取中段平台设计（如图虚线所示）.已知平台 EF//DC，且 AE 段和 FC 段的坡度 i=1:2，求平台
EF 的长度．
（参考数据：sin20°取 0.34，cos20°取 0.94，tan20°取 0.36）
第 22 题图
A
B
C
D
O E
F
第 21 题图
D
C
A
E
F
B
第 23 题图
23．（本题满分 12 分，第（1）小题满分 6 分，第（2）小题满分 6 分）
如图，在△ABC 中，BD 平分∠ABC，EF 垂直平分 BD 交 CA 延长线于点 E．
（1）求证： 2ED EA EC；
（2）若 ED=6，BD= CD=3，求 BC 的长．
24．（本题满分 12 分，第（1）小题满分 6 分，第（2）小题满分 6 分）
在△ABC 中，CA=CB， BD 为 AC 边上的高.
（1）如图 1，过点 C 作 CE⊥AB 交 BD 于点 F，交 AB 于点 E，若 BC=5，BD=3，求 BE
CF
的值；
（2）如图 2，若点 P 是 BC 边上一动点，过点 P 作 PM⊥AB 交 BD 于点 N，交 AB 于点 M．设 tanxC ，
BMy PN ，求 y 与 x 的函数解析式．
B C
F
D
A
E
第 24 题图 1
B C
D
A
N
M
第 24 题图 2
P
25．（本题满分 14 分，第（1）小题 5 分，第（2）小题 5 分，第（3）小题 4 分）
如图，已知点 A 和点 B（2,1）在抛物线 1 :c 23
2y x bx 上，过点 A 作 AC∥y 轴交 OB 于点 C，
且 1tan
2
OAC．
（1）求b 的值及点 C 的坐标；
（2）将抛物线 1c 沿 y 轴作上下平移，平移后的抛物线 2c 交直线 AB 于点 E 72( , )33
，交
y 轴于点 F．点 D（2，m）为平移后的抛物线 2c 上一点，点 P 为直线 EF 上一点，如果△ACO∽△PDF，求
点 P 的坐标；
（3）将抛物线 1c 与△ACO 同时平移，点 A、C、O 平移后分别记为点 A、C 、O ，
若点 恰好落在线段 AB 上，△ A C O 与△AOB 重叠部分的面积是 3
16
，求平移后的抛物线 3c 的表达式．
O
C
A
B
y
第 25 题图
x O
C
A
B
y
备用图
x
虹口一模参考答案
一、选择题
ABACDD
二、填空题
7、4 8、 3
5
9、 5
12
10、10 11、k＜ 1
2
12、答案不唯一，如 2( 1)yx
13、 2( 3) 2yx 14、＜ 15、12a 16、4 17、10 18、6
三、解答题
19、 23
20、 2 24y x x ，对称轴为直线 1x ，顶点坐标为(1,3)
21、先证明△ADC∽△AEB，即可
22、（ 1）不会碰到头部；（2）EF 的长度为 7 米
23、（ 2） 3 102BC
24、（ 1） 3
8
BE
CF ；（ 2） 1
2yx
25、（ 1） 7
2b ，点 C 坐标为 1(1, )2
；（ 2）点 P 坐标为 32( , )23
或 10 2( , )33
；
（3） 23 21528y x x
长宁区 2012 学年第一学期初三数学期终质量
（满分 150 分，考试时间 100 分钟）
2013.1.16
考生注意：
18．本试卷含三个大题，共 25 题；
19．考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；
20．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步
骤。
一. 选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分）
【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是符合题目要求的，请把符合题目要求的选项的代号填涂
在答题纸的相应位置上．】
1. 已知△ ABC 中， 90C ，则 cosA 等于（ ）
A. AB
BC B. AC
BC C. AC
AB D. AB
AC
2. 如图，在平行四边形 ABCD 中，如果 AB a ， AD b ，那么 ab 等于（ ）
A． BD B． AC C． DB D．CA
3. 如图，圆 O 的弦 AB 垂直平分半径 OC，则四边形 OACB 一定是（ ）
A． 正方形 B．长方形 C． 菱形 D．梯形
4. 已知抛物线 21 ( 5) 33yx ，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下，顶点坐标 (5 3)， B．开口向上，顶点坐标
C．开口向下，顶点坐标( 5 3) ， D．开口向上，顶点坐标
5. 如图，△ ABC 是等边三角形，被一平行于 BC 的矩形所截(即：FG//BC)，若 AB 被截成三等分，则图中阴
影部分的面积是△ ABC 的面积的 （ ）
Ａ．
9
1 Ｂ．
9
2 Ｃ．
3
1 Ｄ．
9
4
D C
B A
第 2 题图
E H
F G
C B
A
第 5 题图
第3题图
A． B． C． D．
第 14 题图 第 17 题图 第 12 题图
第 16 题图
6.在同一直角坐标系中，函数 y mx m和函数 2 22y mx x （ m 是常数，且 0m ） 的图像可能．．
是 （ ）
二．填空题：（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分）
【请将结果直接填入答题纸的相应位置】
7.已知实数 x、y 满足
2
3y
x ，则
y
yx
2
2 ．
8. 已知，两个相似的△ ABC 与△ DEF 的最短边的长度之比是 3:1，若△ ABC 的周长是 27，则△ DEF 的周长
为 ．
9. 已知△ ABC 中，G 是△ ABC 的重心，则
ABC
ABG
S
S ．
10. 在直角坐标平面内，抛物线 y =-x2＋2x+2 沿 y 轴方向向下平移 3 个单位后，得到新的抛物线解析式
为 ．
11.在直角坐标平面内，抛物线 y =-x2＋c 在 y 轴 侧图像上升（填“左”或“右”）．
12. 正八边形绕其中心至少要旋转 度，就能与原来的图形重合.
13. 已知圆⊙O 的直径为 10，弦 AB 的长度为 8，M 是弦 AB 上一动点，设线段 OM=d，则 d 的取值范围
是 ．
14. 如图，某人顺着山坡沿一条直线型的坡道滑雪，当他滑过 130 米长的路程时，他所在位置的竖直高度下
降了 50 米，则该坡道的坡比是 ．
15.已知两圆相切，圆心距为 2 cm，其中一个圆的半径是 6 cm，则另一个圆的半径是____ cm.
16.已知△ ABC 中，AB=6，AC=9，D、E 分别是直线 AC 和 AB 上的点，若
AB
AE
AC
AD 且 AD=3，则
BE= ．
17. 如图，已知 Rt△ ABC， 90ACB ， 30B ，D 是 AB 边上一点，△ ACD 沿 CD 翻折，
A 点恰好落在 BC 边上的 E 点处，则 EDBcot = ．
18. 已知，二次函数 f(x) = ax2 + bx + c 的部分对应值如下表，则 f(- 3) = ．
E
P
D
CB
A
三、解答题：(本大题共 7 题,第 19--22 题,每题 10 分；第 23、24 题,每题 12 分;25 题 14 分;满分 78 分）
19.计算： 30345
2
45 tan-sintan .
20.如图，在正方形网格中，每一个小正方形的边长都是 1,已知向量 a 和b 的起点、终点都是小正方形的顶
点.请完成下列问题：
（1）设： babam 4
1
2
1
3
1 43 ，
baban 3
2
5
2 635 .
判断向量 nm、是否平行，说明理由；
（2）在正方形网格中画出向量： ab 2
34 ，并写出
的模.（不需写出做法，只要写出哪个向量是所求向量）.
21.如图，等腰梯形 ABCD 中，AD//BC,AB=CD,AD=3,BC=7,∠B=45º,
P 在 BC 边上，E 在 CD 边上，∠B=∠APE.
（1）求等腰梯形的高；
（2）求证：△ ABP∽△ PCE.
x －2 －1 0 1 2 3 4 5
y 5 0 －3 －4 －3 0 5 12
D
E
O
A
C B
D
C
M A
B
O
y
x
22.由于连日暴雨导致某路段积水，有一辆卡车驶入该积水路段。如图所示，已知这辆卡车的车轮外直径（包
含轮胎厚度）为 120 cm ，车轮入水部分的弧长约为其周长的
3
1 ，试计算该路段积水深度（假设路面水平）.
23. 如图，已知 Rt△ ABC 中， 90CBA ，⊙O 是 Rt△ ABC 的内切圆，其半径为 1，E、D 是切点，
105BOC .
求 AE 的长.
24. 在直角坐标平面中，已知点 A(10,0)和点 D(8,0)。点 C、B 在以 OA 为直径的⊙M 上，且四边形 OCBD 为
平行四边形.
（1）求 C 点坐标；
（2）求过 O、C、B 三点的抛物线解析式，并用配方法求出该抛物线的顶点坐标和对称轴；
（3）判断：（2）中抛物线的顶点与⊙M 的位置关系，说明理由.
Q
C
PB A
25.如图，已知 Rt△ ABC， 90B ，AB=8 cm，BC=6 cm，点 P 从 A 点出发，以 1cm/秒的速度沿 AB 向 B
点匀速运动，点 Q 从 A 点出发，以 x cm/秒的速度沿 AC 向 C 点匀速运动，且 P、Q 两点同时从 A 点出发，
设运动时间为 t 秒( 80 t ),联结 PQ。解答下列问题：
（1）当 P 点运动到 AB 的中点时，若恰好 PQ//BC，求此时 x 的值;
（2）求当 x 为何值时，△ ABC∽△ APQ ；
（3）当△ ABC∽△ APQ 时，将△ APQ 沿 PQ 翻折，A 点落在 A’, 设△ A’PQ 与△ ABC 重叠部分的面积为 S，
写出 S 关于 t 的函数解析式及定义域.
2012 学年第一学期初三数学期终质量调研试卷参考答案
一 .选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分）
1. 填空题：（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分）
7、 2 ； 8、9 ； 9、 3
1 ； 10、 122 xxy ； 11、左 ； 12、45 ；13、3 ≤ d ≤ 5；
14、5:12 ；15、4 或 8 ； 16、 4 或 8 ； 17、 3 ；18、12 .
三．解答题：
19（10 分）解：原式= 32
2
2
1 - （6 分）
= 12
2
2
2 - （2 分）
= 12 - （2 分）
20（10 分）解：(1)（6 分）
am （2 分） an 13 （2 分）
m-n 13 mn// （2 分）.
(2) （4 分）
图正确 （2 分） 54 2
3 a-b （2 分）.
21（10 分）(1)（5 分）
解：作 AF BC 于 F，作 DG BC 于 G. （1 分）
90DGCAFB 且 AF//DG
在△ABF 和△DCG 中
DCAB
CB
DGCAFB
△ABF △DCG
BF=CG
AD//BC 且 AF//DG AFGD 是平行四边形
AD=FG
AD=3,BC=7 BF=2 （2 分）
在 Rt△ABF 中，∠B=45º ∠BAF = 45º
AF=BF =2
1 2 3 4 5 6
D B C A C D
等腰梯形的高为 2. （2 分）
（2）（5 分）
ABCD 是等腰梯形， CB （1 分）
BAPBEPCAPEAPC
又 APEB
EPCBAP （2 分）
在△ABP 和△PCE 中，
EPCBAP
CB
△ABP∽△PCE . （2 分）
22. （10 分）
23. 解：设车轮与地面相切于点 E，联结 OE 与 CD 交于点 F,联结 OC. 设 nCOD （2 分） 弧 CD 等于⊙
O 周长的 3
1 即 dd 3
1
360 n n= 120 （2 分）
据题意得 OE CD 且 OE=OC=OD= 2
1 AB=60 cm
OF 是 COD 的平分线 602
1
2
1 nCODFOD （2 分）
90ODFFOD 30ODF
在 Rt△OFD 中， 30ODOF 2
1 cm （2 分）
FE= OE-OF =30 cm
积水深度 30 cm （2 分）
24. （12 分）
解: 联结 OD、OE. （1 分）
OD=OE=1
O 是△ABC 的内切圆圆心
OB、OC 分别是 ABC、 ACB 的角平分线
即 ABCOBEOBD 2
1 且 ACBOCD 2
1
又 90CBA 45ACBOCD 2
1 （3 分）
OD、OE 是过切点的半径 OD BC 且 OE AB
90CODOCD
45OCDCOD OD=CD=1
105COB 60COD-COBDOB
在 Rt△OBD 中 31 DB
OD
DBBODtan 3DB （4 分）
90BODOBD 30OBD
30ABCOBEDOB 2
1 60ABC
BC=BD+CD=1+ 3
在 Rt△ABC 中 AB=2+2 3
在 Rt△OBE 中 OE=1 30OBE BE = 3 （3 分）
AE= 2+ （1 分）
24.（12 分）
解: （1）（5 分）
联结 CM，作 ME CB 于 E。（1 分）
M 是圆心 CB 是⊙M 的弦 CBEBCE 2
1
OA 是⊙M 的直径 且 A(10,0） OA=10
CM=OM= 2
1 OA=5 且 M(5,0）
D(8,0） OD=8
OCBD 为平行四边形 CB=OD=8
4CBCE 2
1
在 Rt△CME 中 34-5CE-MCME 2222 （3 分）
C（1,3） （1 分）
（2）（5 分）
OCBD 为平行四边形 CB//OA
又 CB=8 B(9,3)
据题意，设抛物线解析式为： ）（ 0 abxaxy 2
C、B 代入得
381 9ba
3ba 解得
3
10
3
1
b
a
xx-y 2
3
10
3
1 （2 分）
3
252
3
12
3
12
3
1
3
10
3
1 )5()252510()10 xxxxx- xx-y 2 （ （1 分）
顶点坐标（5， 3
25 ） 对称轴直线 x=5 （2 分）
（3）（2 分）设抛物线顶点为 N NM= > 5 （1 分）
顶点 N 在⊙M 外。（1 分）
25（14 分）
三、 （3 分）设 AP= t AQ= xt ( 80 t )
AB=8 AP= 2
1 AB=4 即 t=4 （1 分）
Rt△ABC， 90B ，AB=8 cm，BC=6 cm AC=10 cm （1 分）
PQ//BC AC
AQ
AB
AP 即 10
4
8
4 x 4
5x （1 分）
四、 （4 分） AA
当 AC
AQ
AB
AP 时 108
xtt 4
5x （2 分）
当 AB
AQ
AC
AP 时 810
xtt 5
4x （2 分）
当 或 时△ABC∽△APQ
五、 （7 分）
（有分类讨论思想，得 1 分）
当 时
)8t4()4t(
)4t0
2
2
3
2
8
3 （tS （3 分）
（说明：2 个解析式各 1 分，定义域共 1 分）
当 时
)8t(tt
)t0
4
25
7
600
7
1922
175
342
4
252
25
6 （tS （3 分）
（说明：同上）
2013 年上海市宝山区中考数学一模试卷
（满分 150 分，考试时间 100 分钟） （2013.1）
一、选择题（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分）
1、 下列各式中，正确的是 （ ）
A．sin20°+sin30°=sin50°； B．Sin60°=2sin30°；
C．tan30°·tan60°=1； D．cos30°＜cos60°；
2、下列分式方程去分母后所得结果正确的是（ ）
A． 11
2
1
1
x
x
x
去分母得， 1)2)(1(1 xxx ；
B． 125
5
52 xx
x 去分母得， 525 xx ；
C．
24
2
2
2
2
x
x
x
x
x
x 去分母得， )2(2)2( 2 xxxx ；
D．
1
1
3
2
xx
去分母得， 3)1(2 xx ；
3、已知关于 x 的方程 022 kxx 没有实数根，则 k 的取值范围是（ ）
A． 1k B． 1k C． 1k D． 1k
4、下列命题正确是（ ）
A．长度相等的两个非零向量相等
B．平行向量一定在同一直线上
C．与零向量相等的向量必定是零向量
D．任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点
5、如图所示，在△ABC 中，DE∥AB∥FG，且 FG 到 DE，AB 的距离之比为
1:2，若△ABC 的面积为 32，△CDE 的面积为 2，则△CFG 的面积等于 （ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
6、一次函数 baxy 与二次函数 cbxaxy 2 在同一坐标系中的图像可能是（ ）
A B C D
二、填空题（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分）
7、使 3x 有意义的 x 的取值范围是_____________.
8、不等式组
01
032
x
x 的解集是_________________.
9、分解因式 baaba 332 =________________.
10、关于 x 的一元二次方程 04)2( 22 kxxk 的一个根为 0，则 k 的值是__________.
11、在平面直角坐标系中。把抛物线 12 2 xy 的图像向左平移 2 个单位，所得抛物线的解析式为
_____________.
12、已知代拿 A(x1,y1)，B(x2,y2)在函数 1)1( 2 xy 的图像上，若 x1>x2>1，则 y1_____y2.
13、在平面直角坐标系中，点 A 是抛物线 kxay 2)3( 与 y 轴的交点，点 B 是这条抛物线上得另一点，
且 AB∥x 轴，则以 AB 为边的等边三角形的周长为____________
14、如图，正方形 ABCD 中，M 是边 BC 上一点，且 BM=
4
1 BC，若 aAB ，
bAD ，则 DM _______（用 a 和b 表示）
15、某坡面的坡度为 1：
3
3 ，则坡角是_________度
16、如图，菱形 ABCD 中，点 E、F 在对角线 BD 上，BE=DF=
6
1 BD，
若四边形 AECF 为正方形，则 tan∠ABE=______________
17、在实验中我们常常采用利用计算机在平面直角坐标系中画出抛物线
2xy 和直线 y=-x+3，利用两图像交点的横坐标来求一元二次方程
032 xx 的解，也可以在平面直角坐标系中画出抛物线 32 xy 和直线 y=-x，用它们交点的横坐标
来求该方程的解。所以求方程 036 2 xx
的近似解也可以利用熟悉的函数_________和__________的图
像交点的横坐标来求得。
18、如图在平面直角坐标系 xOy 中，多边形 OABCDE 的顶点坐标为 O（0,0）， A（2,0）， B（2,2）， C（4,2），
D（4,4）， E（0,4），若如图国电 M（1,2）的直线 MP（与 y 轴交于点 P）将多边形 OABCDE 分割成面积相
等的两部分，则直线 MP 的函数表达式是__________
三、（本大题共 8 题，第 19-22 题每题 8 分，第 23、24 题每题 10 分，第 25 题 12 分，第 26 题 14 分，满分
78 分）
19、计算：
45cos-60sin
45tan)8
1(45sin218)3( 10
20、二次函数 mxxy 22 的图像与 x 轴的一个交点为 A（3,0），另一个交点为 B，且与 y 轴交于点 C
（1）求 m 的值和点 B 的坐标
（2）求△ABC 的面积
21、将两块三角板如图放置，其中∠C=∠EDB=90°，∠A=45°，∠E=30°，AB=DE=12，求（1）重叠的
边 DF 的长度
（2）重叠部分四边形 DBCF 的面积
22、在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为 D，E、F 分别是 AC，BC 边上一点，且 CE=
4
1 AC，
BF=
4
1 BC，
（1）求证：
BD
CD
BC
AC
（2）求∠EDF 的度数
23、如图，△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB 于点 D，E 是 AC 的中点，DE 的延长线交 BC 的延长线于
点 F，EF=5，∠B 的正切值为
2
1
（1）求证：△BDF∽△DCF；（ 2）求 BC 的长
24、在对口扶贫活动中，企业甲将经营状况良好的某消费品专卖店，以 188 万元的优惠价转让给了尚有 120
万无息贷款还没有偿还的小型福利企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月
最低生活费的开支 5.6 万元后，逐步偿还转让费（不计利息），维持乙企业的正常运转每月除职工最低生活
费外，还需其他开支 2.4 万元，从企业甲提供的相关资料中可知这种热门消费品的进价是每件 12 元：月销
售量 Q（万件）与销售单价 P（元）的关系如下表所示：
销售单价 P
（元）
…… 13 14 15 16 17 18 ……
月销量 Q（万
件）
…… 7 6 5 4 3 2 ……
（1） 试确定月销售量 Q（万件）与与销售单价 P（元）之间的函数关系式
（2） 当商品的销售单价为多少元时，扣除各类费用后的月利润余额最大？
（3） 企业乙依靠该店，能否在 3 年内脱贫（偿还所有债务）？
25、在平面直角坐标系中，抛物线过原点 O，且与 x 轴交于另一点 A（A 在 O 右侧），顶点为 B。艾思轲同
学用一把宽 3cm 的矩形直尺对抛物线进行如下测量：（1）量得 OA=3cm，（ 2）当把直尺的左边与抛物线的
对称抽重合，使得直尺左下端点与抛物线的顶点重合时（如图 1），测得抛物线与直尺右边的交点 C 的刻度
读数为 4.5cm
艾思轲同学将 A 的坐标记作（3,0），然后利用上述结论尝试完成下列各题：
（1）写出抛物线的对称轴
（2）求出该抛物线的解析式
（3）探究抛物线的对称轴上是否存在使△ACD 周长最小的点 D
（4）然后又将图中的直尺（足够长）沿水平方向向右平移到点 A 的右边（如图 2），直尺的两边交 x 轴于
点 H，G，交抛物线于 E，F，探究梯形 EFGH 的面积 S 与线段 EF 的长度是否存在函数关系。
同学：如上述（3）（ 4）结论存在，请你帮艾思轲同学一起完成，如上述（3）（ 4）结论不存在，请你告诉
艾思轲同学结论不存在的理由
26、已知∠AOB=90°，OM 是∠AOB 的平分线，将一个直角三角板的直角顶点 P 放在射线 OM 上，OP=m
（m 为常数且 m 0），移动直角三角板，两边分别交射线 OA，OB 与点 C，D
（1）如图，当点 C、D 都不与点 O 重合时，求证 PC=PD
（2）联结 CD，交 OM 于 E，设 CD=x，PE=y，求 y 与 x 之间的函数关系式
（3）若三角板的一条直角边与射线 OB 交于点 D，另一直角边与直线 OA，直线 OB 分别交于点 C，F，且
△PDF 与△OCD 相似，求 OD 的长
2013 年上海市宝山区中考数学一模试卷参考答案
一、选择题：C D A C B C
二、填空题：
7. x>3
8. -1
13. 18
14. a-3/4b (a,b 向量符号标上）
15. 60
16. 2/3
17. y=6/x, y=x2-3
18. y=1/2x+3/2
三、解答题：
19. 4√2+2√3-7
20. （1）m=3; B(-1,0)
（2）6
21. 12-4√3； 48√3-60
22. （1） AC/BC=CD/BD（角 ACB=90 度，CD 垂直 AB） （2）角 EDF=90 度
23. （1）证明题省略；（2）BC=12
24. （1） Q=20-P
（2）16 元，最大利润
（3） 不能
25. （1）直线=3/2
（2）y=1/2x2-3/2x
（3）D(3/2,9/8)
（4）设点 E 横坐标为 a, 则 S=3/2a2 EF=3√1+a2 S=(EF2-9)/6
26. （1）过 P 作 PF 垂直于 AO，PG 垂直于 OB，因为 OM 平分角 AOB，所以 PF=PG，易证三角形 PFC
全等于三角形 PGD，所以 PC=PD；
（2）y=(1/2m)x2
（3）1. OD=m ；2. OD=√3 m
金山区 2012 学年第一学期数学期末质量抽查
（满分 150 分，考试时间 100 分钟）
考生注意：
1、本试卷含四个大题，共 25 题；
2、答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律
无效；
3、除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计
算的主要步骤。
一、选择题（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分）
1、把抛物线 22( 1) 1yx 向左平移一个单位，所得到的抛物线解析式为（ ）
A、 22( 2) 1yx B、 221yx C、 22( 1) 2yx D、 22( 1)yx
2、比例尺为1:500000的地图上，A、B 两点的距离为 30 厘米，那么 A、B 两地的实际距离是
（ ）
A、5000 米 B、50 千米 C、150 千米 D、15 千米
3、在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，那么∠A 的正弦值是（ ）
A、 3
4 B、 4
3 C、 3
5 D、 4
5
4、如图，已知在△ABC 中，G 是△ABC 的重心，GE∥BC，BC＝8，
那么 GE 的长度为（ ）
A、 B、2 C、 8
3 D、16
3
5、在下列正多边形中，中心角的度数等于它的一个内角的度数的是（ ）
A、正三边形 B、正四边形 C、正五边形 D、正六边形
6、已知 O 的半径等于 5，点 A、B 到圆心的距离分别是 6、5，那么直线 AB 与 O 的位置关
系是（ ）
A、相离 B、相切 C、相交 D、相切或相交
A
B C D
E G
第 4 题
二、填空题（本大题共 12 小题，每题 4 分，满分 48 分）
7、计算：5 3( 2 )a a b __________________。
8、抛物线 22( 1) 3yx 的顶点坐标是___________________。
9、已知抛物线 2 3y x bx 经过点(1,2) 那么抛物线的解析式是_____________________。
10、已知函数 2 1( 1) 3ay a x x 是二次函数，那么 a＝__________。
11、已知 3
2
xy
y
，那么 3
2
xy
xy
_____________。
12、如图，已知 DE∥BC， 9ADES ，AD＝3，BD＝2，那么 ABCS _________。
13、在 Rt△ABC 中，∠C＝90°， 3sin 5A ，那么 tan B ________。
14、如图，点 P 是直线 3
2yx 在第一象限上一点，那么cot POx_________。
15、已知 A与 B 外切， 的半径为 5cm，圆心距 AB 为 7cm，那么 B 的半径为____cm。
16、如图，已知 AC⊥BC，斜坡 AB 的坡比为1: 3 ，BC＝30 米，那么 AC 的高度为_____米。
17、如图，已知四边形 ABCD 是平行四边形，延长 BC 至 E，联结 AE 交 CD 于 F，AD＝2，
AB＝4，BE＝3，那么 DF＝_________。
18、已知在等腰直角三角形 ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，将边 AB 绕着点 A 旋转至 'AB
位置，且 'AB 与 AC 边之间的夹角为 30°，那么线段 'BB 的长等于_______。
三、解答题（本大题共 7 小题，满分 78 分）
19、计算：
2
2
cos 30 sin 45 cos45 tan60
sin 30 tan 45 cot30 cot60
A
B C
D E
第 12 题
第 17 题
F
A
B
C
D
E
A
B C
第 16 题
P .
x
y
O
第 14 题
20、已知二次函数 2y ax bx c （a≠0），列表如下：
x …… 1 1
2 0 1
2
1 112
2 ……
y …… 2 3
4
0 1
4 0 3
4
2 ……
（1）根据表格所提供的数据，请你写出顶点坐标___________，对称轴__________。
（2）求出二次函数解析式。
21、如图，为了测量一颗被风吹斜了的大树的高度，某人从大树底部 B 处往前走 20 米到 C 处，
用测角器测得树顶 A 的仰角为 30°，已知测角器的高 CD 为 1 米，大树与地面成 45°的夹角
（平面 ABCD 垂直于地面），求大树的高（保留根号）。
22、如图，CD 是半圆 O 的一条弦，CD∥AB，延长 OA、OB 至 F、E，使 1
2AF BE，联结
FC、ED，CD＝2，AB＝6。
（1）求∠F 的正切值；
（2）联结 DF，与半径 OC 交于 H，求△FHO 的面积。
B F O
.
A
C D
E
第 22 题
A
B C
D
第 21 题
23、如图，已知 1O 与 2O 相交于点 E、F，点 P 是两圆连心线上的一点，分别联结 PE、PF
交 2O 于 A、C 两点，并延长交 与 B、D 两点。
求证：PA＝PC。
24 、如图，已知 C 的圆心在 x 轴上，且经过 (1,0)A 、 ( 3,0)B 两点，抛物线 2y mx bx c （m
＞0）经过 A、B 两点，顶点为 P。
（1）求抛物线与 y 轴的交点 D 的坐标（用 m 的代数式表示）；
（2）当 m 为何值时，直线 PD 与圆 C 相切？
（2）联结 PB、PD、BD，当 m＝1 时，求∠BPD 的正切值。
C.
A B
D
P
O
x
y
第 24 题
A
B
C
D
E
F
P
第 23 题
25、如图，已知 90ABM ，AB＝AC，过点 A 作 AG⊥BC，垂足为 G，延长 AG 交 BM 于 D，
过点 A 做 AN∥BM，过点 C 作 EF∥AD，与射线 AN、BM 分别相交于点 F、E。
（1）求证：△BCE∽△AGC
（2）点 P 是射线 AD 上的一个动点，设 AP＝x，四边形 ACEP 的面积是 y，若 AF＝5， 25
3AD 。
①求 y 关于 x 的函数关系式，并写出定义域；
②当点 P 在射线 AD 上运动时，是否存在这样的点 P，使得△CPE 的周长为最小？若存
在，求出此时 y 的值，若不存在，请说明理由。
A
B
C
D E
F
G
M
N
第 25 题
金山区一模参考答案
一、选择题
BCCCBD
二、填空题
7、 2 +6ab 8、(1, 3) 9、 2 23y x x 10、 1 11、 1 12、25
13、 4
3
14、 2
3
15、2 16、10 3 17、 8
3
18、4 或43
三、解答题
19、 31
4
20、（ 1）顶点坐标为 11( , )24 ，对称轴为直线 1
2x ；（ 2） 2y x x
21、 21 3 23
2
米
22、（ 1） 22tan 5F ；（ 2） 92
2S
23、略
24、（ 1）(0, 3 )m ；（ 2） 3
3m 时直线与圆相切 ；（ 3） tan 3BPD
25、（ 2） 12 2yx （x＞0）；
（3）当点 P 运动到点 D 时，B、P、E 三点共线时，周长最小为 86
3
黄浦区 2012 学年第一学期九年级期终考试数学
（满分 150 分，考试时间 100 分钟） 2013 年 1 月 17 日
考生注意：
1、本试卷含四个大题，共 25 题；
2、答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律
无效；
3、除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计
算的主要步骤。
一、选择题（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分）
1、如果△ABC∽△DEF（其中顶点 A、B、C 依次与顶点 D、E、F 对应），那么下列等式中不
一定成立的是（ ）
A、∠A＝∠D B、 AD
BE
C、AB＝DE D、 AB DE
AC DF
2、如图，地图上 A 地位于 B 地的正北方，C 地位于 B 地的北偏东 50°方向，且 C 地到 A 地、
B 地距离相等，那么 C 地位于 A 地的（ ）
A、南偏东 50°方向 B、北偏西 50°方向
C、南偏东 40°方向 D、北偏西 40°方向
3、将抛物线 2yx 向左平移 2 个单位，则所得的抛物线的解析式为（ ）
A、 2( 2)yx B、 2( 2)yx C、 2 2yx D、 2 2yx
4、如图，△PQR 在边长为 1 个单位的方格纸中，它的顶点在小正方形顶点位置，其中点 A、
B、C、D 也是小正方形的顶点，那么与△PQR 相似的是（ ）
A、以点 P、Q、A 为顶点的三角形 B、以点 P、Q、B 为顶点的三角形
C、以点 P、Q、C 为顶点的三角形 D、以点 P、Q、D 为顶点的三角形
C
B
A
（第 2 题）
Q
R P
D
C B A
（第 4 题）
A B D
C
（第 6 题）
5、抛物线 2 32y x x 与坐标轴（含 x 轴、y 轴）的公共点的个数是（ ）
A、0 B、1 C、3 D、3
6、如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD 为边 AB 上的高，已知 BD＝1，则线段 AD 的长是
（ ）
A、 2sin A B、 2cos A C、 2tan A D、 2cot A
二、填空题（本大题共 12 小题，每题 4 分，满分 48 分）
7、已知 7
4
x
y ，则 xy
xy
的值为__________。
8、计算： 2( ) 3( )a b a b ___________。
9、已知两个相似三角形的周长比为 2:3，且其中较大三角形的面积是 36，那么其中较小三角
形的面积是__________。
10、如图，第一象限内一点 A，已知 OA＝5，OA 与 x 轴正半轴说成的夹角为 ，且 tan 2 ，
那么点 A 的坐标是____________。
11、如图，某人沿着一个坡比为1:3的斜坡（AB）向前行走了 10 米，那么他实际上升的垂直
高度是____________米。
12、抛物线 2 23y x x 的顶点坐标是_____________。
13、如果抛物线 2( 2) 3y a x x a 的开口向下，那么 a 的取值范围是____________。
14、若 1x 、 2x 是方程 22 3 4 0xx 的两个根，则 1 2 1 2x x x x 的值为_________。
15、已知二次函数 ()y f x 图像的对称轴是直线 2x ，如果 (3) (4)ff＞ ，那么 ( 3)f ___ ( 4)f 。
α
y
x O
（第 10 题）
H
B
A
（第 11 题） （第 17 题）
A B
C D
E
（填“＞”或“＜” ）
16、已知点 P 是二次函数 2 24y x x 图像上的点，且它到 y 轴的距离为 2，则点 P 的坐标是
_______________。
17、如图，E 是正方形 ABCD 边 CD 的中点，AE 与 BD 交于点 O，则 tan AOB______。
18、在 Word 的绘图中，可以对画布中的图形进行缩放，如下图 1 中正方形 ABCD（边 AB 水
平放置）的边长为 3，将它在“设置绘图画布格式→大小→缩放”中，高度设定为 75%，
宽度设定为 50%，就可以得到下图 2 中的矩形 EFGH ，其中 11 3 50% 1.5AB ，
11 3 75% 2.25AD ，实际上 word 的内部是在画布上建立了一个以水平线与竖直线为坐
标轴的平面直角坐标系，然后赋予图形的每个点一个坐标 ( , )xy，在执行缩放时，是将每
个点的坐标做变化处理，即由( , )xy变为( %, %)x n y m，其中 %n 与 %m 即为设定宽度与
高度的百分比，最后再由说得点的新坐标生成新图形。
现在画布上有一个△OMN ，其中∠O＝90°，MO＝NO，且斜边 NM 水平放置（如图
3），对它进行缩放，设置高度为 150%，宽度为 75%，得到新图形为△ 1 1 1O M N （如图 4），
那么 1 1 1cos O M N 的值为__________。
三、解答题（本大题共 7 小题，满分 78 分）
19、计算：
2
2
2sin 60 cos60
cot 30 4cos 45
＝＞
B A
D
C
图 1
图 2
＝＞
N M
O
图 3
图 4
20、如图，点 E 是平行四边形 ABCD 边 BC 上一点，且 : 2:1BE ED ，点 F 是边 CD 的中点，
AE 与 BF 交于点 O，
（1）设 ,AB a AD b，试用 a 、b 表示 AE ；
（2）求 :BO OF 的值。
21、已知二次函数的图像经过点(0, 8) 和(3, 5) ，且其对称轴是直线 1x ，求此二次函数的解
析式，并求出次二次函数图像与 x 轴公共点的坐标。
22、如图，在△ABC 中， 90C ，AC＝4，BC＝6，点 D 是边 BC 上一点，且 CAD B 。
（1）求线段 CD 的长；
（2）求sin BAD 的值。
O
F
E
D
C B
A
D
B C
A
23、如图，点 D 是 Rt△ABC 斜边 AB 上一点，点 E 是直线 AC 左侧一点，且 EC⊥CD，∠EAB
＝∠B。
（1）求证：△CDE∽△CBA；
（2）如果点 D 是斜边 AB 中点，且 3tan 2BAC，试求 CDE
CBA
S
S
的值。
（ CDES 表示△CDE 的面积， CBAS 表示△CBA 的面积）
24、已知二次函数 2 3y ax bx 的图像与 x 轴交于点 (1,0)A 和点 (3,0)B ，交 y 轴于点 C，其图
像顶点为 D。
（1）求此二次函数的解析式；
（2）是问△ABD 与△BCO 是否相似，并证明你的结论；
（3）若点 P 是此二次函数图像上的点，且 PAB ACB ，试求点 P 的坐标。
O
y
x
A
B C
D E
25、如图，在等腰三角形 ABCD 中，AD∥BC，AD＝2，AB＝5， 3sin 5B，点 E 是边 BC 上
的一个动点（不与点 B、C 重合）作 AEF AEB ，使边 EF 交边 CD 于点 F（不与点 C、
D 重合），设 ,BE x CF y。
（1）求边 BC 的长；
（2）当△ABE 与△CEF 相似时，求 BE 的长；
（3）求 y 关于 x 的函数关系式，并写出定义域。
F
E C B
D A
C B
D A
（备用图）
黄浦区一模参考答案
一、选择题
CAABDD
二、填空题
7、11
3
8、5ab 9、16 10、( 5,2 5) 11、 10 12、( 1,2)
13、a＜2 14、 1
2 15、＞ 16、(2,4) ，( 2,12) 17、3 18、 5
5
三、解答题
19、3 2 2
20、（ 1） 2
3AE a b ；（ 2） :BO OF 的值为 1
21、 2 28y x x ，公共点为( 2,0) 与(4,0)
22、（ 1） 8
3CD ；（ 2） 5sin 13BAD
23、（ 2） 13
36
CDE
CBA
S
S
24、（ 1） 2 43y x x ；（ 2）是相似，利用三边对应成比例来证明；（3） 53( , )24 或 75( , )24
25、（ 1） 10BC ；（ 2） 43BE 或 10；（ 3）
2
2
10 140 400
16 39
xxy xx
（4＜x＜10）
★浦东新区 2012 学年度第一学期期末质量测试卷:（静安_闵行_浦东_杨浦_松江_青浦等六区合用卷）
共计 11 套试卷
