数学（文）卷·2017届甘肃省甘谷县第一中学高三第四次检测考试（2017 8页

甘谷一中 2016——2017 学年高三第四次检测考试 数学试题（文） 第Ⅰ卷 一、选择题（本题共 12 道小题，每小题 5 分，共 60 分） 1.已知集合 )( 是实数集RRU  ,    0211 2  xxxBxxA ， ,则   BCA U （ ） A． 01- ， B． 2,1 C． 1,0 D.    ，， 21-  2.已知 ba, 为实数，则“ 55 ba  ”是“ ba 22  ”的（ ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 3.若复数 2( 4) ( 2)z a a i    为纯虚数，则 2 1 a i i   的值为（ ） A． 2 B． 2i C． 2i D． i 4.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ） A． 2 B．1 C． 2 D． 4 5．《算法通宗》是我国古代内容丰富的数学名书，书中有如下 问题：“远望巍巍塔七层，红灯向下倍加增，共灯三百八十一， 请问塔顶几盏灯？”其意思为“一座塔共七层，从塔顶至塔底， 每层灯的数目都是上一层的 2 倍，已知这座塔共有 381 盏灯，请问塔顶有几盏灯？” A．3 B．4 C．5 D．6 [] 6.若 yx, 满足约束条件       43 43 0 yx yx x ，则 yxz  2 的最大值是（ ） A．1 B． 3 4 C．4 D．2 7.向量 ,a b  均为非零向量， ( 2 ) ,( 2 )a b a b a b         ，则 ,a b  的夹角为 （ ） A． 6  B． 3  C． 2 3  D． 5 6  8.已知函数 )(xf 在  2, 为增函数，且 )2( xf 是 R 上的偶函数，若 )3()( faf  ，则实 数 a 的取值范围是（ ） A． 1a B． 3a C． 31  a D. 31  aa 或 9.已知等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，公差为 d ，若 100162016 162016  ss ，则 d 的值（ ） A． 20 1 B． 10 1 C．10 D． 20 10.已知函数 )2,0)(sin()(   xxf 的最小正周期是 ，若其图象向右平移 3  个 单位后得到的函数为奇函数，则函数 )(xfy  的图象（ ） A．关于点 )0,12(  对称 B．关于直线 12 x 对称 C．关于点 )12 5,0(  对称 D．关于直线 12 5x 对称 11.已知数列 }{ na 前 n 项和为 )13()1(171411852 1   nS n n ，则 312215 SSS  的值是（ ） A． 57 B． 37 C．16 D．57 12.定义在 R 上的函数 )(xf 满足： xexxfxf  )()(' ，且 2 1)0( f ，则 )( )(' xf xf 的最大值 为（ ） A． 0 B． 2 1 C．1 D． 2 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本题共 4 道小题，每小题 5 分，共 20 分） 13.若点 )1,1(A 在直线 03  mnnymx 上，其中， 0mn ，则 nm  的最小值 为 ． 14.曲线 2 1 cossin sin)(  xx xxf 在点 )0,4(M 处的切线的斜 为 . 15.在数列 na 中， 11 a ，若 ,221 ）（    Nnaa nn 则 na . 16.设函数 ( ) ( 0)2 2 xf x xx = >+ ，观察： 1 ( ) ( ) 2 2 xf x f x x = = + ； 2 1( ) ( ( )) 6 4 xf x f f x x = = + ； 3 2( ) ( ( )) 14 8 xf x f f x x = = + ； 4 3( ) ( ( )) 30 16 xf x f f x x = = + …… 根据以上事实，当 n∈N 时，由归纳推理可得： (1)nf = ． 三、解答题（本题共 6 道小题,第 17 题 10 分,18-22 题各 12 分） 17.（12 分）在△ABC 中，a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边， 2 72cos2sin4 2  CBA （1）求角 C； （2）若边 3c ， 3ba ，求边 a 和b 的值． 18.（12 分）已知数列 na 的前 n 项和为 nS ，且 )(22  NnaS nn . （1）求数列 na 的通项 na . （2）设 nn anc )1(  ，求数列 nc 的前 n 项和 nT ． 19.（12 分）已知函数 2 π( ) cos 12f x x     ， 1( ) 1 sin 22g x x  ． （1）设 0x x 是函数 ( )y f x 图象的一条对称轴，求 0( )g x 的值． （2）求函数 ( ) ( ) ( )h x f x g x  的单调递增区间． 20.（12 分）已知函数 ).(2)1()( 2 Raxaaxxf  （1）当 2a 时，解不等式 1)( xf ； （2）若对任意  3,1x ，都有 0)( xf 成立，求实数 a 的取值范围． 21.（12 分）已知数列 na 的前项 n 和为 nS ，点 ))(,(  NnSn n 均在函数 xxxf 23)( 2  的图象上． （1）求数列 na 的通项公式； （2）设 1 3   nn n aab , nT 是数列 nb 的前 n 项和，求使得 20152  nT 对所有  Nn 都成 立的实数λ的范围． [] 22．（12 分）设函数   21ln 2f x x ax bx   . （1）当 3,2  ba 时，求函数  f x 的极值； （2）令      21 0 32 aF x f x ax bx xx       ，其图象上任意一点  0 0,P x y 处切线的 斜率 1 2k  恒成立，求实数 a 的取值范围； （3）当 0, 1a b   时，方程  f x mx 在区间 21,e   内恰有两个实数解，求实数 m 的取 值范围. 高三第四次检测考试数学（文）答案 一、选择题（本题共 12 道小题，每小题 5 分，共 60 分） 1.D 2.B 3.C 4.B 5.A 6.A 7.B 8.D 9.B 10.D 11.A 12.D 二、填空题（本题共 4 道小题，每小题 5 分，共 20 分） 13. 3 4 14. 2 1 15. 223 1  n 16. 223 1  n 三、解答题（本题共 6 道小题,第 17 题 10 分,18-22 各题 12 分,共 70 分） 17.(1)解:由 2 72cos2sin4 2  CBA ，及  CBA 得   2 71cos2)cos(12 2  CBA 即 01cos4cos4 2  CC ， ........................（3 分） 故 1)1cos2( 2 C 解得 2 1cos C 30   CC .......（5 分） （2）由余弦定理， ab cbaC 2cos 222  而 2 1cos C ， 2 1 2 222  ab cba abcba  222 3c又 .......................（7 分） abba 33)( 2  2ab 3 ba又 ...........................（8 分） 联立      2 3 ab ba           1 2 2 1 b a b a 或 .............................（10 分） 18.（1） ),2(22,22 11    NnnaSaS nnnn 两式相减得 11 22   nnnn aaSS 12  nn aa ， )2(2 1    Nnna a n n ， 即数列{an}是等比数列． ),2(222 1   Nnna nn n ),1(211  NnnaSa n n （2） n n nc 2)1(  nn n nnT 2)1(2242322 1321   …①...............（7 分） 1432 2)1(22423222  nn n nnT …②..............（8 分） ①﹣②得 1432 2)1(22224  nn n nT )1(2)1(21 )21(22       n n n ........................................（10 分） 111 22)1(2   nnn nn .........................................（11 分） 12  n n nT ................ ........ .....................（12 分） 19.解：（1）由题设知 1 π( ) [1 cos(2 )]2 6f x x   ．.........................（1 分） 因为 0x x 是函数 ( )y f x 图象的一条对称轴，所以 0 π2 6x  πk ，.........（2 分） 即 0 π2 π 6x k  （ k  Z ）．.............................................（3 分） 所以 0 0 1 1 π( ) 1 sin 2 1 sin( π )2 2 6g x x k     ． 当 k 为偶数时， 0 1 π 1 3( ) 1 sin 12 6 4 4g x          ，.......................（5 分） 当 k 为奇数时， 0 1 π 1 5( ) 1 sin 12 6 4 4g x      .............................（6 分） （2） 1 π 1( ) ( ) ( ) 1 cos 2 1 sin 22 6 2h x f x g x x x             [学,科,] 1 π 3 1 3 1 3cos 2 sin 2 cos2 sin 22 6 2 2 2 2 2x x x x                    1 π 3sin 22 3 2x      ．.................................................（9 分） 当 π π π2 π 2 2 π2 3 2k x k  ≤ ≤ ，即 5π ππ π12 12k x k ≤ ≤ （ k  Z ）时， 函数 1 π 3( ) sin 22 3 2h x x      是增函数，.................................（11 分） 故函数 ( )h x 的单调递增区间是 5π ππ π12 12k k     ， （ k  Z ）．..............（12 分） 20.解：（1） 2a 时，函数 232)( 2  xxxf ， 01321)( 2  xxxf ，解得 12 1  xx 或 ，.........................（1 分） 所以该不等式的解集为 12 1  xxx 或 ......................................（5 分） （2）由对任意  3,1x ，都有 0)( xf 成立； 讨论：①当 0a 时， 2)(  xxf 在区间 3,1 上是单调减函数， 且 0123)3( f ，不满足题意；.................................（6 分） ②当 0a 时，二次函数 )(xf 图象的对称轴为 2 1 2 1 2 1  ax ， 若 32 1 2 1  a ，则 5 1a ，函数 )(xf 在区间 3,1 上的最小值为 0)2 1 2 1(  af ， 即 0162  aa ，解得 223223  a ，取 2235 1  a ；........（7 分） 若 32 1 2 1  a ，则 5 10  a ，函数 )(xf 在区间 3,1 上的最小值为 0)3( f ， 解得 6 1a ，取 5 1 6 1  a ；..............................................（9 分） 当 0a 时，二次函数 )(xf 图象的对称轴为 2 1 2 1 2 1  ax ， 函数 )(xf 在区间 3,1 上的最小值为 0)3( f ，解得 6 1a ，此时 a 不存在； 综上，实数 a 的取值范围是 2236 1  a ．............................（12 分） 解：（1）∵点 ),( nSn 在函数 xxxf 23)( 2  的图象上， nnSn 23 2  )2(583 2 1   nnnSn )2(561   nnSSa nnn ,..................(3 分) 11 Sa  )1(56  nnan ............................................（6 分） （2）   )16 1 56 1(2 1 5)1(6)56( 33 1   nnnnaab nn n ...............（7 分） )16 11(2 1)16 1 56 1()13 1 7 1()7 11(21      nnnbbbT nn … （ 9 分） 122 1  nn TT ....................................................... （10 分） 又 20152  nT 对所有  Nn 都成立 12015 即 2016 ..............（12 分） 22. (1)依题意， ( )f x 的定义域为 (0, ) ， 当 3,2  ba 时， )0(,3ln)( 2  xxxxxf ， 令 12 1,0)1)(12()(/  xxx xxxf 或得 .............................（1分） 12 100)('  xxxf 或得 ， 12 10)('  xxf 得 ........................（2分） 故 )(xf 在 ),1()2 1,0(  和x 上为增函数，在 )1,2 1(x 上为减函数.即 ( )f x 的极大值为 4 52ln)2 1( f ， ( )f x 的极小值为 2)1( f ...........（4 分） (2) ]3,0(,ln)(  xx axxF ，则有 0 0 2 0 1( ) ,2 x ak F x x    在 ]3,0( 上有解， ∴ max0 2 0 )2 1( xxa  ............................................（7 分） 所以 当 1x 时， 0 2 02 1 xx  取得最大值为 2 1 2 1a ...............（8 分） (3) 当 1,0  ba 时， ,ln)( mxxxxf  得  有两个实数解，，在 21ln1 ex xm  x xxg ln1)( 不妨令 20)('10)('0)(' exexgexxgexxg  ，， ..........（9 分） 为减函数，上为增函数，在在 ),(),1()( 2eexexxg  ,11)()( max eegxg  .. （ 10 分） )1(21)( 2 2 geeg 又 )11,12[ 2  eem 时方程有两个实数解...........（12 分）