【推荐】专题10-3+抛物线+-2018年高三数学（文）一轮总复习名师伴学 25页

真题回放 ‎1. 【2016高考浙江文数】（本题满分15分）如图，设抛物线的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|-1.‎ ‎（I）求p的值；‎ ‎（II）若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x 轴交于点M.求M的横坐标的取值范围.‎ ‎【答案】（I）；（II）.‎ ‎ (Ⅱ)由(Ⅰ)得抛物线的方程为，可设.‎ 因为AF不垂直于y轴，可设直线AF:x=sy+1, ,由 消去x得 ‎，故，所以.‎ 又直线AB的斜率为，故直线FN的斜率为，‎ 从而的直线FN:，直线BN:，‎ 所以，‎ 设M(m,0),由A,M,N三点共线得： ，‎ 于是，经检验，m<0或m>2满足题意.‎ 综上，点M的横坐标的取值范围是.‎ 考点：抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系.‎ ‎【思路点睛】（I）当题目中出现抛物线上的点到焦点的距离时，一般会想到转化为抛物线上的点到准线的距离．解答本题时转化为抛物线上的点到准线的距离，进而可得点到轴的距离；（II）通过联立方程组可得点的坐标，进而可得点的坐标，再利用，，三点共线可得用含有的式子表示，进而可得的横坐标的取值范围.‎ ‎2. 【2017天津，文12】设抛物线的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若，则圆的方程为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【考点】1.抛物线的方程；2.圆的方程.‎ ‎【名师点睛】本题设计比较巧妙，考查了圆，抛物线的方程，同时还考查了向量数量积的坐标表示，本题只有一个难点，就是，会不会用向量的坐标表示，根据图象，可设圆心为，那么方程就是，若能用向量的坐标表示角，即可求得，问题也就迎刃而解了..‎ ‎3. 【2016高考新课标2文数】设F为抛物线C：y2=4x的焦点，曲线y=（k>0）与C交于点P，PF⊥x轴，则k=（ ）‎ ‎（A） （B）1 （C） （D）2‎ ‎【答案】D 考点： 抛物线的性质，反比例函数的性质.‎ ‎【名师点睛】抛物线方程有四种形式，注意焦点的位置. 对函数y= ，当时，在，上是减函数，当时，在，上是增函数.‎ 考点分析 考点 了解A 掌握B 灵活运用C 中心在坐标原点的抛物线的标准方程与几何性质 A 高考对这部分的考查主要集中在以下几个方面：‎ ‎1、考查利用定义求弦长、最值、轨迹等，通常以选择、填空形式出现。‎ ‎2、通常在选择题中考查求标准方程，也可能在解答题中作为第一问进行考查。‎ ‎3、考查抛物线的焦点、准线等，常以选择、填空形式出现。‎ ‎4、直线与抛物线相交的弦长问题，中点弦问题，直线与抛物线的交点个数问题。‎ ‎5、常结合向量、三角等考查有关弦长公式的定值、最值、范围、曲线经过的定点等。 ‎ 知识链接 ‎1．抛物线的概念 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．‎ ‎2．抛物线的标准方程与几何性质 标准方程 y2＝2px(p>0)‎ y2＝－2px(p>0)‎ x2＝2py(p>0)‎ x2＝－2py(p>0)‎ p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 顶点 O(0,0)‎ 对称轴 y＝0‎ x＝0‎ 焦点 F F F F 离心率 e＝1‎ 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 ‎【知识拓展】‎ ‎1．抛物线y2＝2px (p>0)上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|＝x0＋，也称为抛物线的焦半径．‎ ‎2．y2＝ax的焦点坐标为，准线方程为x＝－.‎ ‎3．设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，‎ 若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ‎(1)x1x2＝，y1y2＝－p2.‎ ‎(2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角)．‎ ‎(3)以弦AB为直径的圆与准线相切．‎ ‎(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦．‎ 融会贯通 题型一　抛物线的定义及应用 例1　设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，若B(3,2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________．‎ ‎【答案】　4‎ ‎【解析】　如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，‎ 交抛物线于点P1，‎ 则|P1Q|＝|P1F|.‎ 则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4.‎ 即|PB|＋|PF|的最小值为4. ‎ 引申探究 ‎1．若将本例中的B点坐标改为(3,4)，试求|PB|＋|PF|的最小值．‎ ‎【解析】　由题意可知点(3,4)在抛物线的外部．‎ ‎∵|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，‎ ‎∴|PB|＋|PF|≥|BF|＝ ‎＝＝2，‎ 即|PB|＋|PF|的最小值为2.‎ ‎2．若将本例中的条件改为：已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋5＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，求d1＋d2的最小值．‎ 解题技巧与方法总结　‎ 与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．‎ ‎【变式训练】设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为________．‎ ‎【答案】　 ‎【解析】　如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x＝－1，‎ 由抛物线的定义知：点P到直线x＝－1的距离等于点P到F的距离．‎ 于是，问题转化为在抛物线上求一点P，‎ 使点P到点A(－1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小，‎ 显然，连接AF与抛物线相交的点即为满足题意的点，‎ 此时最小值为＝.‎ 题型二　抛物线的标准方程和几何性质 命题点1　求抛物线的标准方程 例2　已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为(　　)‎ A．x2＝y B．x2＝y C．x2＝8y D．x2＝16y ‎【答案】　D 命题点2　抛物线的几何性质 例3　已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是过F的直线与抛物线的两个交点，求证：‎ ‎(1)y1y2＝－p2，x1x2＝；‎ ‎(2)＋为定值；‎ ‎(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．‎ ‎【答案】见解析 ‎ ‎ ‎(2)＋＝＋ ‎＝.‎ 因为x1x2＝，x1＋x2＝|AB|－p，代入上式，‎ 得＋＝＝(定值)．‎ ‎(3)设AB的中点为M(x0，y0)，分别过A，B作准线的垂线，垂足为C，D，过M作准线的垂线，垂足为N，则|MN|＝(|AC|＋|BD|)＝(|AF|＋|BF|)＝|AB|.‎ 所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．‎ 解题技巧与方法总结　‎ ‎(1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．‎ ‎(2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．‎ ‎【变式训练1】(1)(2016·全国乙卷)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为(　　)‎ A．2 B．4 C．6 D．8‎ ‎(2)若抛物线y2＝4x上一点P到其焦点F的距离为3，延长PF交抛物线于Q，若O为坐标原点，则S△OPQ＝________.‎ ‎【答案】　(1)B　(2) 联立①②③，解得p＝4，即C的焦点到准线的距离为p＝4，故选B.‎ ‎(2)如图所示，由题意知，抛物线的焦点F的坐标为(1,0)．‎ 又|PF|＝3，由抛物线定义知：点P到准线x＝－1的距离为3，‎ ‎∴点P的横坐标为2.将x＝2代入y2＝4x，得y2＝8，‎ 由图知点P的纵坐标y＝2，‎ ‎∴P(2,2)，∴直线PF的方程为y＝2(x－1)．‎ 方法一　联立直线与抛物线的方程 解之得或 由图知Q(，－)，∴S△OPQ＝|OF|·|yP－yQ|‎ ‎＝×1×|2＋|＝.‎ 方法二　将y＝2(x－1)代入y2＝4x，‎ 得2x2－5x＋2＝0，‎ ‎∴x1＋x2＝，∴|PQ|＝x1＋x2＋p＝，‎ O到PQ的距离d＝，‎ ‎∴S△OPQ＝×|PQ|×d ‎＝××＝.‎ 题型三　直线与抛物线的综合问题 命题点1　直线与抛物线的交点问题 例4　已知抛物线C：y2＝8x与点M(－2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A、B两点．若·＝0，则k＝________.‎ ‎【答案】　2‎ 命题点2　与抛物线弦的中点有关的问题 例5　(2016·全国丙卷)已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．‎ ‎(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明：AR∥FQ；‎ ‎(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．‎ ‎【答案】见解析 解题技巧与方法总结 ‎(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．‎ ‎(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．‎ ‎(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法．‎ 提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．‎ ‎(1)研究直线与双曲线位置关系问题的通法：将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x或y的一元二次方程．当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定．‎ ‎(2)用“点差法”可以解决弦中点和弦斜率的关系问题，但需要检验．‎ ‎【变式训练】(2016·天津模拟)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，直线l过点M(4,0)．‎ ‎(1)若点F到直线l的距离为，求直线l的斜率；‎ ‎(2)设A，B为抛物线上两点，且AB不垂直于x轴，若线段AB的垂直平分线恰过点M，求证：线段AB中点的横坐标为定值．‎ ‎【答案】见解析 ‎ ‎ 练习检测 ‎1.(江苏省南京市溧水高级中学2018届高三上学期期初模拟考试) 已知点为抛物线的焦点，该抛物线上位于第一象限的点到其准线的距离为5，则直线的斜率为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：由抛物线定义得： 又点位于第一象限，因此从而 考点：抛物线定义 ‎2. (河南省林州市第一中学2018届高三8月调研考试)已知抛物线： 的焦点为，点为抛物线上的一点，点处的切线与直线平行，且，则抛物线的方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎ ‎ ‎3. (河南省名校联盟2018届高三第一次段考)过抛物线（）的焦点作一条斜率为1的直线交抛物线于， 两点向轴引垂线交轴于， ，若梯形的面积为，则（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】A ‎【解析】设，抛物线焦点，直线AB方程为 ，联立 ，，所以 ，则，则题型ABCD的面积 ，所以p=1，选A.‎ ‎【方法点晴】：本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，属于中档题。本题注重数形结合以及转化和化归思想的运用。‎ ‎4. (黑龙江省大庆实验中学2018届高三上学期期初考试)已知抛物线焦点为，直线过焦点且与抛物线交于两点， 为抛物线准线上一点且，连接交轴于 点，过作于点，若，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【方法点晴】：本题考查抛物线的方程与性质，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题 ‎5.(贵州省铜仁一中2016-2017学年高二下学期期末)已知抛物线的焦点是，过点的直线与抛物线相交于两点，且点在第一象限，若,则直线的斜率是（ ）‎ A. 1 B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【方法点晴】：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合考查，其中解答中涉及到直线与抛物线的位置关系的应用，直线方程的应用等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，本题的解答中把直线方程代入抛物线方程，转化为根与系数的关系，以及韦达定理的应用是解答的关键。‎ ‎6. (湖南省岳阳市一中2018届高三上学期第一次月考)过抛物线的焦点作直线与抛物线交于两点，当点的纵坐标为1时， .‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）若直线的斜率为2，问抛物线上是否存在一点，使得，并说明理由. ‎ ‎【答案】（1）；（2）存在点.‎ ‎【解析】试题分析：（1）运用抛物线的定义建立方程求出；（2）借助题设条件建立方程，再运用根与系数的关系得到方程，通过对判别式的研究发现有解，即所设的点存在：‎ 解：（1）由抛物线的定义可得，故抛物线方程为；‎ ‎（2）假设存在满足题设条件的点，则设直线代入可得设，则。因为 ‎，则由可得： ，即，也即，所以，由于判别式，此时，则存在点，即存在点满足题设。‎ ‎7.(浙江省名校协作体2018届高三上学期考试)如图，已知抛物线的焦点在抛物线 上，点是抛物线上的动点．‎ ‎（Ⅰ）求抛物线的方程及其准线方程；‎ ‎（Ⅱ）过点作抛物线的两条切线， 、分别为两个切点，求面积的最小值．‎ ‎【答案】(Ⅰ) 的方程为 其准线方程为；(Ⅱ)2.‎ ‎ ‎ ‎（Ⅱ）设 ， ， ‎ ‎ ‎ ‎8. (湖北省部分重点中学2018届高三7月联考)已知点A（﹣4，4）、B（4，4），直线AM与BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率之差为﹣2，点M的轨迹为曲线C．‎ ‎（1）求曲线C 的轨迹方程；‎ ‎（2）Q为直线y=﹣1上的动点，过Q做曲线C的切线，切点分别为D、E，求△QDE的面积S的最小值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．‎ 试题解析：（Ⅰ）设M（x，y），由题意可得： ，‎ 化为．‎ ‎∴曲线C 的轨迹方程为且 联立，化为 考点：直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程的求解．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了直线与抛物线相切的性质、切线方程、相互垂直的斜率之间的关系、两点间的距离公式、三角形的面积公式、二次函数的性质等知识点的综合应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力、推理与运算能力，试题有一定的难度，属于难题，本题的解答中把切线的方程代入抛物线的方程，利用根与系数的关系，表示出三角形的面积是解答问题的关键．‎ ‎ ‎