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- 2023-11-07 发布
南昌十中 2017－2018 学年上学期第二次月考
高二数学试题（理科）
试卷满分：150 分 考试时间：120 分钟
一.选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.请将正确选项的序号填涂在机读卡上相应位置）
1. 命题“ ， ”的否定是（ ）
A． ， B． ,
C． , D．不存在 ，
2.已知函数 ，则 （ ）
A. B. C. D.
3 “直线与双曲线相切”是“直线与双曲线只有一个公共点”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4. 函数 f(x)＝x2－2lnx 的单调递减区间是( )
A．(0，1) B．(1，＋∞) C．(－∞，1) D．(－1，1)
5. 抛物线 y=-x2 上的点到直线 的距离的最小值是（ ）
（A） （B） （C） （D）3
6. 如图是函数 y＝f(x)的导函数 y＝f′(x)的图象，则下面判断正确的是( )
A．在(－2，1)上 f(x)是增函数 B．在(1，3)上 f(x)是减函数
C．当 x＝2 时，f(x)取极大值 D．当 x＝4 时，f(x)取极大值
7. 已知函数 有极大值和极小值，则实数 的取值范围是( )
A． B． C． 或 D． 或
8. 给出下列四个命题:
①“若 为 的极值点，则 ”的逆命题为真命题;
0834 =−+ yx
1)6()( 23 ++++= xaaxxxf a
21 <<− a 63 <<− a 3−a 1−a
0x ( )y f x=
x∃ ∈R 3 2 1 0x x− + =
x∃ ∈R 3 2 1 0x x− + ≠ x∀ ∈R 3 2 1 0x x− + ≠
x∀ ∈R 3 2 1 0x x− + = x∈R 3 2 1 0x x− + ≠
( ) cosf x x x= + '
6f
π =
1
2
3
2
31 2
− 3
2
0( ) 0f x′ =
②“平面向量 的夹角是钝角”的充分不必要条件是
③若命题 ，则
④函数 在点 处的切线方程为 .
其中不正确的个数是
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
9. 已知 p： ，q: ，若 q 是 的必要不充分条件，则实数 a 的取值范围是
（ ）
A. B. C. D.
10. 已知 ，其中 为自然对数的底数，则（ ）
A. B.
C. D.
11. 已知直线 x＝1 过椭圆
x2
4 ＋
y2
b2＝1 的焦点，则直线 y＝kx＋2 与椭圆至多有一个交点的充要条件是
( )
A．k∈[－1
2，
1
2] B．k∈(－∞，－1
2]∪[1
2，＋∞)
C．k∈[－ 2
2 ，
2
2 ] D．k∈(－∞，－ 2
2 ]∪[ 2
2 ，＋∞)
12.若函数 在区间 内存在单调递增区间，则实数 的取值范围是
( )
A. B. C. D.
二．填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.请将答案填写在答题卷上相应位置）
13.在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为{x＝2cosα，
y＝ 3sinα. (α 为参数)，在极坐标系(与直角坐标系
xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴)中，曲线 C2 的方程为 ρ(cosθ－sinθ)
＋1＝0，则 C1 与 C2 的交点个数为________．
e
,a b 0a b⋅ <
( ) 3 23 1f x x x= − + ( )( )2, 2f 3y = −
0322 >−− xx 1x a− < p¬
[ )2 +∞， ( )2 +∞， [ )1 +∞， ( )1 +∞，
2( ) ln 2f x x ax= + − 1 ,22
a
( ]- -2∞， 1- +8
∞ ， 1-2 - 8
， ( )-2 +∞，
14. 若命题“ ”是假命题，则 的取值范围是__________．
15. 已知 x＝3 是函数 f(x)＝alnx＋x2－10x 的一个极值点，则实数 a＝________.
16. 已知函数 ，命题 ：实数 满足不等式 ；命题
：实数 满足不等式 ，若 是 的充分不必要条件，则实数 的取值范
围是__________．
三.解答题（本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17.在直角坐标系 中，直线 : = 2，圆 ： ,以坐标原点为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（Ⅰ）求 ， 的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线 的极坐标方程为 ，设 与 的交点为 , ,求 的面积.
18.已知函数 ,且 ．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）求函数 在 上的最大值和最小值．
19. 设有两个命题， :关于 的不等式 （ ,且 ）的解集是 ； :函数
的定义域为 .如果 为真命题， 为假命题，求实数 的取值范围.
p x
q x ( )2 1 0x m x m− + + ≤ p¬ q¬ m
2
0 0 0, 2 0x x x m∃ ∈ − + ≤R m
xOy 1C x − 2C ( ) ( )2 21 2 1x y− + − = x
1C 2C
3C ( )
4 R
πθ ρ= ∈ 2C 3C M N 2C MN
( ) ( )( )2 4 ,f x x x a a R= − − ∈ ( )1 0f ′ − =
( )f x
( )f x [ ]2,2−
p x 1xa > 0a > 1a ≠ { | 0}x x < q
( )2lgy ax x a= − + R p q∨ p q∧ a
20.设函数
（1）若 在 处取得极值，确定 的值，并求此时曲线 在点 处的切线方
程；
（2）若 在 上为减函数，求 的取值范围。
21.已知函数
（Ⅰ）求函数 的单调区间；
（Ⅱ）证明当 时，关于 的不等式 恒成立；
22.已知椭圆的一个顶点为 A(0，－1)，焦点在 x 轴上。若右焦点 F 到直线 x－y＋2 2＝0 的距离为
3。
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线 y＝kx＋m(k≠0)与椭圆相交于不同的两点 M、N。当|AM|＝|AN|时，求 m 的取值范围。
( ) ( )23
x
x axf x a Re
+= ∈
( )f x 0x = a ( )y f x= ( )( )1, 1f
( )f x [ )3,+∞ a
( ) 2lnf x x x x= − +
( )f x
2a ≥ x ( ) 2( 1) 12
af x x ax< − + −
南昌十中 2017－2018 学年上学期第二次月考
高二数学试题（理科） 答案
1. B 2． A 3．A 4.A 5. B 6. C 7. C 8. C 9. B 10. D 11. A. 12. D.
13. 2. 14. 15. 12 16.
17.
18.解析：（1）因为 ， ，所以 ．令 ，得
或 ．
所以 在 上单调递增；在 上单调递减．
（2） 极大值为 极小值为 ，又
19.【解析】p:0
2
0{ 1 4 0
a
a
>
∆ = − <
1
2a > 1: 2q a > p q∨ p q∧
0 1
{ 1
2
a
a
< <
≤
0 1
{ 1
2
a a
a
≤ ≥
>
或 10 2a< ≤ 1a ≥
( )f x
( ) ( )
( )
( )2 2
2
6 3 3 6( )
x x
xx
x a e x ax e x a x af x ee
+ − + − + − +′ = =
( )f x 0x = (0) 0f ′ = 0a = 0a =
23( )= ,x
xf x e
, 故 , 从 而 在 点 处 的 切 线 方 程 为
,化简得
(2)由(1)得， , 令
故 a 的取值范围为 .
21.试题解析：（Ⅰ） ，
由 ，得 ，又 ，所以 .所以 的单调减区间为 ，函数 的增
区间是 .
（Ⅱ）令 ，
所以 .因为 ，所以 .
令 ，得 .所以当 ， ；当 时， .
因此函数 在 是增函数，在 是减函数.故函数 的最大值为
.令 ，因为 ，
又因为 在 是减函数.所以当 时， ，即对于任意正数 总有 .所以关
于 的不等式 恒成立.
22. 解析 (1)依题意，可设椭圆方程为 x2
a2＋y2＝1，则右焦点为 F( a2－1，0)。由题意，知
| a2－1＋2 2|
2 ＝3，解得 a2＝3。故所求椭圆的方程为x2
3 ＋y2＝1。
(2)设点 M、N 的坐标分别为 M(xM，yM)、N(xN，yN)，弦 MN 的中点为 P(xP，yP)。由Error!得(3k2＋
1)x2＋6kmx＋3(m2－1)＝0。∵直线 y＝kx＋m(k≠0)与椭圆相交于不同的两点，∴Δ＝(6mk)2－4(3k2
＋1)×3(m2－1)>0⇒m2<3k2＋1。①∴xP＝xM＋xN
2 ＝－ 3mk
3k2＋1。从而 yP＝kxP＋m＝ m
3k2＋1。∴kAP＝yP＋1
xP
＝－m＋3k2＋1
3mk 。又|AM|＝|AN|，∴AP⊥MN，则－m＋3k2＋1
3mk ＝－1
k，即 2m＝3k2＋1。②把②代入①，
得 m2<2m，解得 00，解得 m>1
2。综上，m 的取值范围是(1
2，2 )。
23 6( ) x
x xf x e
− +′ = 3 3(1)= , (1)f fe e
′ = ( )f x 1 (1)f（， ）
3 3 ( 1)y xe e- = - 3 0x ey- =
( )23 6( ) x
x a x af x e
− + − +′ = ( )2g( ) 3 6x x a x a= - + - +
( )
≤
≤
03
36
-6
g
a
9[ , )2
− +∞