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- 2023-10-31 发布
二次函数应用题（讲义）
Ø 课前预习
回忆并背诵应用题的处理思路，回答下列问题：
1. 理解题意，梳理信息．
梳理信息的主要手段有 ．
2. 建立数学模型．
建立数学模型要结合不同特征判断对应模型，如：
①共需、同时、刚好、恰好、相同……，考虑 ；
②不超过、不多于、少于、至少……，考虑 ；
③最大利润、最省钱、运费最少、最小值……，考虑 ．
3. 求解验证，回归实际．
主要是看结果是否 ．
Ø 知识点睛
1. 理解题意，梳理信息
二次函数应用题常见类型有：实际应用问题，最值问题． 梳理信息时需要借助表格、图形．
实际应用问题要将题目中的数据转化为图中对应的线段长， 确定关键点坐标，求出抛物线解析式．
最值问题要确定函数表达式及自变量取值范围．
2. 建立数学模型
常见数学模型有方程、不等式、函数．函数模型要确定自变量和因变量；根据题意确定题目中各个量之间的等量关系，用自变量表达对应的量从而确定函数表达式．
例如：问“当售价为多少元时，年利润最大？”确定售价为自变量 x，年利润为因变量 y，年利润=（售价-进价）×年销量，用 x 表达年销量，从而确定 y 与 x 之间的函数关系．
3. 求解验证，回归实际
求解通常借助二次函数的图象和性质；
结果验证要考虑是否符合实际背景及自变量取值范围要求．
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Ø 精讲精练
1. 如图，在水平地面点 A 处有一网球发射器向空中发射网球， 网球飞行路线是一条抛物线，在地面上的落点为 B．有人在直线 AB 上的点 C 处（靠点 B 一侧）竖直向上摆放无盖的圆柱形桶，试图让网球落入桶内．已知 AB=4 米，AC=3 米，网球飞行的最大高度 OM=5 米，圆柱形桶的直径为 0.5 米，高为 0.3 米．以点 O 为原点，AB 所在直线为 x 轴建立直角坐标系．（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）
（1）当竖直摆放 5 个圆柱形桶时，网球能不能落入桶内？
（2）当竖直摆放多少个圆柱形桶时，网球可以落入桶内？
y
M
P
Q
A
O C
0.5
B
D x
M
P
Q
A
O C
0.5
B D
7
1. 某跳水运动员进行 10 米跳台跳水训练时，身体（看成一点） 在空中的运动路线是如图所示的平面直角坐标系中经过原点
O 的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）．在跳某个规
定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面10 2
3
米，入水处距池边的水平距离为 4 米．运动员在距水面的高度为 5 米之前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误．
（1）在如图所示的平面直角坐标系中，求这条抛物线的解析式；
y
3m A
O
x
10m
跳台支柱
1m
B
水面
（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线为（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为 3.6 米，则此次跳水会不会失误？
7
1. 某工厂生产一种合金薄板（其厚度忽略不计），这些薄板的形状均为正方形，边长在 5~50（单位：cm）之间．每张薄板的成本价（单位：元）与它的面积（单位：cm2）成正比例； 每张薄板的出厂价（单位：元）由基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与薄板的大小无关，是固定不变的，浮动价与薄板的边长成正比例．在营销过程中得到了表格中的数据：
薄板的边长（cm）
20
30
出厂价（元/张）
50
70
（1）求一张薄板的出厂价与边长之间满足的函数关系式．
（2）已知出厂一张边长为 40 cm 的薄板，获得的利润为 26
元．（利润=出厂价-成本价）
①求一张薄板的利润与边长之间满足的函数关系式．
②当边长为多少时，出厂一张薄板所获得的利润最大？最大利润是多少？
边长
出厂价
成本价
【分析】
解：
7
1. 某商品的进价为每件 40 元，售价为每件 50 元，每个月可卖出 210 件．如果该商品的销售单价每上涨 1 元，则每月销量减少 10 件（每件售价不能高于 65 元）．设每件商品的售价上涨 x 元（x 为正整数），每个月的销售利润为 y 元．
（1）求 y 与 x 的函数关系式，并直接写出自变量 x 的取值范围；
（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？
（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为 2 200 元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于 2 200 元．
售价
进价
利润
销量
【分析】
解：
7
销售单价 x（元）
200
230
250
年销售量 y（万件）
10
7
5
1. 我市高新技术开发区的某公司，用 480 万元购得某种产品的生产技术，并进一步投入资金 1 520 万元购买生产设备，进行该产品的生产加工．已知生产这种产品每件成本费为40 元．经过市场调查发现：该产品的销售单价定在 150 元到 300 元之间较为合理，销售单价 x（元）与年销售量 y（万件）之间的变化可近似地看作是下表所反映的一次函数：
（1）请求出 y 与 x 之间的函数关系式，并直接写出自变量 x
的取值范围．
（2）请说明投资的第一年，该公司是盈利还是亏损？若盈利， 最大利润是多少？若亏损，最小亏损额是多少？
（3）在（2）的前提下，即在第一年盈利最大或亏损最小时， 第二年公司重新确定产品售价，能否使两年共盈利 1 790 万元？若能，求出第二年的产品售价；若不能，请说明理由．
售价
成本
利润
年销量
其他成本
【分析】
解：
7
【参考答案】
Ø 课前预习
1. 列表、画图
2. 方程；不等式（组）；函数
3. 符合实际背景
Ø 精讲精练
1. （1）网球不能落入桶内；
（2）当竖直摆放 8 个、9 个、10 个、11 个或 12 个圆柱形桶时，网球可以落入桶内．
2. （1） y = - 25 x2 + 10 x ；（2）会失误，理由略．
6 3
3. 设一张薄板的边长为 x cm，出厂价为 y 元，利润为 w 元．
（1）y=2x+10（5≤x≤50）；
7
（2）① w = - 1
25
x2 + 2x +10 （5≤x≤50）；
7
②当边长为 25 cm 时，出厂一张薄板所获得的利润最大，最大利润是 35 元．
4. （1）y=-10x2+110x+2 100（1≤x≤15，且 x 为整数）；
（2）每件商品的售价定为 55 元或 56 元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是 2 400 元；
（3）每件商品的售价定为 51 元或 60 元时，每个月的利润恰为 2 200 元，每件商品的售价 m 满足 51≤m≤60 且 m 为整数时，每个月的利润不低于 2 200 元．
7
5. （1） y = - 1
10
x + 30 （150≤x≤300）；
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（2）投资的第一年该公司亏损，最少亏损 310 万元；
（3）不能，理由略．
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