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- 2023-10-29 发布
课时作业(十一)
[第二章 2 第3课时 二次函数y＝a(x－h)2，y＝a(x－h)2＋k的图象与性质]
一、选择题
1．2018·临安区抛物线y＝3(x－1)2＋1的顶点坐标是( )
A．(1，1) B．(－1，1)
C．(－1，－1) D．(1，－1)
2．如图K－11－1，在平面直角坐标系中，抛物线的函数表达式为y＝－2(x－h)2＋k，则下列结论正确的是( )
图K－11－1
A．h>0，k>0
B．h<0，k>0
C．h<0，k<0
D．h>0，k<0
3．2018·虹口区一模如果将抛物线y＝－x2－2向右平移3个单位长度，那么所得到的新抛物线的表达式是( )
A．y＝－x2－5 B．y＝－x2＋1
C．y＝－(x－3)2－2 D．y＝－(x＋3)2－2
4．2018·徐汇区一模对于二次函数y＝－(x＋2)2＋3，下列结论中正确的个数为( )
①其图象开口向下；②其图象的对称轴是直线x＝－2；③其图象不经过第一象限；④当x＞2时，y随x的增大而减小．
A．4 B．3 C．2 D．1
5．2018·枣庄如图K－11－2是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，且过点A(3，
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0)，二次函数图象的对称轴是直线x＝1，则下列结论正确的是( )
图K－11－2
A．b2＜4ac B．ac＞0
C．2a－b＝0 D．a－b＋c＝0
6．下列抛物线中，以直线x＝2为对称轴，且经过点(0，1)的是 ( )
A．y＝(x－2)2＋1 B．y＝(x＋2)2＋1
C．y＝(x－2)2－3 D．y＝(x＋2)2－3
7．2017·宜宾如图K－11－3，抛物线y1＝(x＋1)2＋1与y2＝a(x－4)2－3交于点A(1，3)，过点A作x轴的平行线，与两条抛物线分别交于B，C两点，且D，E分别为顶点．则下列结论：①a＝；②AC＝AE；③△ABD是等腰直角三角形；④当x＞1时，y1＞y2.其中正确结论的个数是( )
图K－11－3
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
8．已知二次函数y＝(x－2)2＋3，当x________时，y随x的增大而减小．
9．如果二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象的对称轴为直线x＝－1，那么h＝________；如果它的顶点坐标为(－1，－3)，那么k＝________．
10．2018·江西模拟把抛物线y＝3x2先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，所得抛物线的表达式是________.
11．如图K－11－4是二次函数y＝a(x＋1)2＋2的图象的一部分，该图象在y轴右侧与x轴的交点坐标是________．
图K－11－4
12．二次函数y＝a(x＋m)2＋n的图象的顶点在第四象限，则一次函数y＝mx＋n的图象经过第________象限．
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13．如图K－11－5，将函数y＝(x－2)2＋1的图象沿y轴向上平移得到一个新函数的图象，其中点A(1，m)，B(4，n)平移后的对应点分别为点A′，B′.若曲线段AB扫过的面积为9(图中的阴影部分)，则新图象的函数表达式是________．
图K－11－5
三、解答题
14．二次函数y＝a(x－3)2＋4的图象是由二次函数y＝－x2的图象经过平移得到的．
(1)请指出a的值，并说明平移的方法；
(2)说出二次函数y＝a(x－3)2＋4的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
15．已知抛物线y＝a(x＋2)2过点(1，－3)．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)指出抛物线的对称轴、顶点坐标；
(3)当x取何值时，y随x的增大而增大？
16．如图K－11－6，已知二次函数y＝a(x－h)2＋的图象经过原点O(0，0)，A(2，0)．
(1)写出该函数图象的对称轴；
(2)若将线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′，试判断点A′是不是该函数图象的顶点．
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图K－11－6
17．2017·金华甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图K－11－7，甲在O点正上方1 m的点P处发出一球，羽毛球飞行的高度y(m)与水平距离x(m)之间满足函数表达式y＝a(x－4)2＋h.已知点O与球网的水平距离为5 m，球网的高度为1.55 m.
(1)当a＝－时，
①求h的值；
②通过计算判断此球能否过网．
(2)若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点O的水平距离为7 m，离地面的高度为 m的点Q处，在此处乙扣球成功，求a的值．
图K－11－7
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分类讨论已知二次函数y＝－(x－1)2＋5，当m≤x≤n且mn＜0时，y的最小值为2m，最大值为2n，求m＋n的值．
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详解详析
【课时作业】
[课堂达标]
1．[解析] A ∵y＝3(x－1)2＋1是顶点式，∴抛物线的顶点坐标是(1，1)．故选A.
2．[解析] A 根据题意可得抛物线的顶点坐标为(h，k)，而从图象中可看出顶点在第一象限，根据第一象限内点的坐标特征，可得h>0，k>0.故选A.
3．[解析] C y＝－x2－2的顶点坐标为(0，－2)，
∵向右平移3个单位长度，∴平移后的抛物线的顶点坐标为(3，－2)，∴所得到的新抛物线的表达式是y＝－(x－3)2－2.故选C.
4．[解析] A ∵y＝－(x＋2)2＋3，∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝－2，顶点坐标为(－2，3)，故①②都正确；在y＝－(x＋2)2＋3中，令y＝0可求得x＝－2＋＜0，或x＝－2－＜0，∴抛物线不经过第一象限，故③正确；∵抛物线开口向下，对称轴为x＝－2，∴当x＞－2时，y随x的增大而减小，∴当x＞2时，y随x的增大而减小，故④正确．综上可知正确的结论有4个，故选A.
5．[解析] D ∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2－4ac＞0，即b2＞4ac，∴A选项错误；
∵抛物线开口向上，∴a＞0.
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，
∴ac＜0，∴B选项错误；
∵二次函数图象的对称轴是直线x＝1，
∴－＝1，∴2a＋b＝0，∴C选项错误；
∵抛物线过点A(3，0)，二次函数图象的对称轴是直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(－1，0)，
∴a－b＋c＝0，∴D选项正确．故选D.
6．[答案] C
7．[解析] B 把点A的坐标代入y2，求出a的值，即可得到函数的表达式；令y＝3，求出B，C两点的横坐标，然后求出BD，AD的长，利用勾股定理的逆定理以及结合二次函数图象分析得出答案．
∵抛物线y1＝(x＋1)2＋1与y2＝a(x－4)2－3交于点A(1，3)，∴3＝a(1－4)2－3，
解得a＝，故①正确；
∵E是抛物线y2的顶点，∴E(4，－3)．
当y2＝3时，即(x－4)2－3＝3，
解得x1＝1，x2＝7.故C(7，3)．
则AC＝6，AE＝＝3 ，
∴AC≠AE.故②错误；
当y1＝3时，即3＝(x＋1)2＋1，
解得x1＝1，x2＝－3，故B(－3，3)，D(－1，1)，
则AB＝4，AD＝BD＝2，∴AD2＋BD2＝AB2，∴△ABD是等腰直角三角形，故③正确；
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令(x＋1)2＋1＝(x－4)2－3，
解得x1＝1，x2＝37，
∴当10，n<0，即m<0，n<0，所以一次函数y＝mx＋n的图象经过第二、三、四象限．故填二、三、四．
13．[答案] y＝(x－2)2＋4
[解析] 连接AB，A′B′，则S阴影＝S四边形ABB′A′.由平移可知，AA′＝BB′，AA′∥BB′，所以四边形ABB′A′是平行四边形．分别延长A′A，B′B交x轴于点M，N.因为A(1，m)，B(4，n)，所以MN＝4－1＝3.因为S▱ABB′A′＝AA′·MN，所以9＝3AA′，解得AA′＝3，即原抛物线沿y轴向上平移了3个单位长度，所以新图象的函数表达式为y＝(x－2)2＋4.
14．解：(1)a＝－，将二次函数y＝－x2的图象先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度得到二次函数y＝－(x－3)2＋4的图象(平移方法不唯一)．
(2)开口向下，对称轴为直线x＝3，顶点坐标为(3，4)．
15．解：(1)∵抛物线经过点(1，－3)，
∴－3＝9a，a＝－，
∴抛物线的函数表达式为y＝－(x＋2)2.
(2)对称轴是直线x＝－2，顶点坐标为(－2，0)．
(3)∵a＝－<0，
∴当x<－2时，y随x的增大而增大．
16．解：(1)∵二次函数y＝a(x－h)2＋的图象经过原点O(0，0)，A(2，0)，
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∴该函数图象的对称轴是直线x＝＝1.
(2)点A′是该函数图象的顶点．理由如下：
如图，作A′B⊥x轴于点B.
∵线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′，
∴OA′＝OA＝2，
∠A′OA＝60°，
∴在Rt△A′OB中，∠OA′B＝30°，
∴OB＝OA′＝1，A′B＝OB＝，
∴点A′的坐标为(1，)，
由(1)知函数的表达式为y＝a(x－1)2＋，
∴点A′为该函数图象的顶点．
17．[解析] (1)①把(0，1)，a＝－代入y＝a(x－4)2＋h即可求得h的值；②把x＝5代入y＝a(x－4)2＋h可求得网球的高度，与1.55 m比较大小，做出正确的判断．(2)由题意，把点(0，1)，(7，)代入y＝a(x－4)2＋h即可求得a的值．
解：(1)①把(0，1)，a＝－代入y＝a(x－4)2＋h，得1＝－×16＋h，解得h＝.
②把x＝5代入y＝－(x－4)2＋，得y＝－×(5－4)2＋＝1.625.
∵1.625>1.55，
∴此球能过网．
(2)把点(0，1)，(7，)代入y＝a(x－4)2＋h，得
解得
∴a的值为－.
[素养提升]
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解：二次函数y＝－(x－1)2＋5的大致图象如图．
①若m＜0＜n＜1，
∵m≤x≤n，
∴当x＝m时y取得最小值，即2m＝－(m－1)2＋5，
解得m＝－2或m＝2(不合题意，舍去)；
当x＝n时y取得最大值，即2n＝－(n－1)2＋5，解得n＝2或n＝－2(均不合题意，舍去)．
②若m＜0＜1≤n，
∵m≤x≤n，
∴当x＝1时y取得最大值，
即2n＝－(1－1)2＋5，解得n＝.
此时，若函数在x＝m时取得最小值，则由①可知m＝－2；
若函数在x＝n时取得最小值，则2m＝－(n－1)2＋5，由n＝解得m＝(不合题意，舍去)．
综上，m＋n＝－2＋＝.
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