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- 2023-10-13 发布
专题训练(三) 相似三角形的基本模型
► 模型一 “A”字型
(1)如图3－ZT－1①，公共角所对应的边平行，则△ADE∽△ABC；
(2)如图3－ZT－1②，公共角的对边不平行，且有另一对角相等，则△AED∽△ABC；
(3)如图3－ZT－1③，公共角的对边不平行，且有另一对角相等，两个三角形有一条公共边，则△ACD∽△ABC.(又称母子图)
图3－ZT－1
1．如图3－ZT－2所示，D是△ABC的边AB上一点，连接CD，若AD＝2，BD＝4，∠ACD＝∠B，则AC的长为________．
图3－ZT－2
2．如图3－ZT－3所示，在△ABC中，D是BC边上一点，连接AD，EF∥BC，EF分别与AB，AC，AD交于点E，F，G.求证：＝.
图3－ZT－3
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3．如图3－ZT－4所示，D，E两点分别在△ABC的边AB，AC上，DE与BC不平行．
(1)补充一个条件，使△ADE∽△ACB；
(2)在(1)的条件下，求证：△ADE∽△ACB.
图3－ZT－4
► 模型二 “X”字型
(1)如图3－ZT－5①，对顶角的对边平行，则△ABO∽△DCO；
(2)如图3－ZT－5②，对顶角的对边不平行，且∠OAB＝∠OCD，则△ABO∽△CDO.
图3－ZT－5
4．如图3－ZT－6所示，已知AC和BD相交于点E，CE·AE＝BE·DE.求证：△ABE∽△DCE.
图3－ZT－6
5．如图3－ZT－7所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O，BE∥CD交CA的延长线于点E.求证：OC2＝OA·OE.
图3－ZT－7
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► 模型三 旋转型
如图3－ZT－8，∠1＝∠2，∠B＝∠D，则△ADE∽△ABC.
图3－ZT－8
6．如图3－ZT－9所示，＝＝，点B，D，F，E在同一条直线上，请找出图中的相似三角形，并说明理由．
图3－ZT－9
► 模型四 垂直型
(1)如图3－ZT－10，直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.(双垂直图)
图3－ZT－10
(2)如图3－ZT－11，Rt△ABD与Rt△BCE的斜边互相垂直，且点A，B，C共线，则有△ABD∽△CEB.(M型，也可归入模型五)
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图3－ZT－11
7．已知：如图3－ZT－12，AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BD的中点，且AC⊥CE，ED＝1，BD＝4，则AB的长为________．
图3－ZT－12
► 模型五 一线三等角型
如图3－ZT－13，∠ABC＝∠ACE＝∠CDE，则△ABC∽△CDE，称为“一线三等角型”的相似三角形．
图3－ZT－13
8．如图3－ZT－14，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，D是边BC上一动点(不与点B，C重合)，∠ADE＝∠B＝α，DE交AC于点E.给出下列结论：①图中有2对相似三角形；②线段CE长的最大值为6.4；③当AD＝DC时，BD的长为.其中正确的结论是( )
图3－ZT－14
A．①② B．②③
C．①③ D．①②③
9．如图3－ZT－15所示，△ABC，△DEF均为正三角形，点D，E分别在边AB，BC上，请找出一个与△DBE相似的三角形，并给予证明．
图3－ZT－15
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详解详析
1．[答案] 2
[解析] 在△ABC和△ACD中，∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ACD，∴＝，即AC2＝AD·AB＝AD·(AD＋BD)＝2×6＝12，∴AC＝2 .故填2 .
2．证明：∵EF∥BC，∴＝，＝，
∴＝，即＝.
3．解：(1)∵∠A是公共角，且DE与BC不平行，
∴当补充条件①∠ADE＝∠C或②∠AED＝∠B或③＝或④AD·AB＝AE·AC时，△ADE∽△ACB.(答案不唯一)
(2)证明：①∵∠A是公共角，∠ADE＝∠C，
∴△ADE∽△ACB.
②∵∠A是公共角，∠AED＝∠B，
∴△ADE∽△ACB.
③∵∠A是公共角，＝，
∴△ADE∽△ACB.
④∵AD·AB＝AE·AC，
∴＝.
又∵∠A是公共角，∴△ADE∽△ACB.
4．证明：∵CE·AE＝BE·DE，∴＝.
又∵∠AEB＝∠DEC，∴△ABE∽△DCE.
5．证明：∵AD∥BC，∴△COB∽△AOD，
∴＝.
又∵BE∥CD，∴△EOB∽△COD，
∴＝，
∴＝，
即OC2＝OA·OE.
6．解：△ABC∽△ADE，△BAD∽△CAE，△ABF∽△ECF，△AEF∽△BCF.
理由：∵＝＝，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE.
又∵＝，即＝，
∴△BAD∽△CAE，∴∠ABF＝∠FCE.
又∵∠AFB＝∠EFC，∴△ABF∽△ECF.
由△ABC∽△ADE，得∠ACB＝∠AEF.
又∵∠AFE＝∠BFC，∴△AEF∽△BCF.
7．[答案] 4
[解析] ∵AB⊥BD，ED⊥BD，∴∠B＝∠D＝90°，∠ACB＋∠A＝90°.
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∵AC⊥CE，∴∠ACB＋∠ECD＝90°，
∴∠A＝∠ECD，
∴△ABC∽△CDE，∴＝.
又∵C是线段BD的中点，BD＝4，
∴BC＝CD＝2，∴＝，∴AB＝4.
8．证明：∵CD⊥AB，E为斜边AC的中点，
∴DE＝CE＝AE＝AC，∴∠EDA＝∠A.
∵∠EDA＝∠FDB，
∴∠A＝∠FDB.
∵∠ACB＝∠CDA＝90°，
∴∠A＋∠ACD＝∠FCD＋∠ACD＝90°，
∴∠A＝∠FCD，∴∠FDB＝∠FCD.
又∵∠F＝∠F，∴△FDB∽△FCD，
∴＝，
∴BD·CF＝CD·DF.
9．[解析] D 由∠ADE＝∠B＝∠C＝α，得∠BAD＋∠ADB＝180°－α＝∠ADB＋∠CDE，得∠BAD＝∠CDE，于是△ABD∽△DCE，又易证△ADE∽△ACD，故①正确；设BD＝x，由△ABD∽△DCE得＝，∴CE＝＝＝－(x－8)2＋6.4，故CE长的最大值为6.4，②正确；当AD＝DC时，∠DAC＝∠C＝∠B，易证△ABC∽△DAC，得＝，即＝，解得BD＝，③正确．
10．解：△ECH，△GFH，△GAD均与△DBE相似．
如选△DBE∽△GAD证明如下：
∵△ABC与△DEF均为等边三角形，
∴∠A＝∠EDF＝60°.
又∵∠BDG＝∠BDE＋∠EDF，∠BDG＝∠A＋∠AGD，
即∠BDE＋60°＝∠AGD＋60°，
∴∠BDE＝∠AGD.
又∵∠B＝∠A＝60°，
∴△DBE∽△GAD.
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