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- 2023-10-06 发布
阶 段 性 测 试(九)
(见学生单册)
[考查范围：相似三角形(4.5～4.7)]
一、选择题(每小题5分，共30分)
第1题图
1．如图所示，在Rt△ABC中，CD是斜边上的高，图中与△ABC相似的三角形有( B )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．若△ABC∽△DEF，相似比为3∶2，则对应高的比为( A )
A．3∶2 B．3∶5 C．9∶4 D．4∶9
3．如图所示，以某点为位似中心，将△AOB进行位似变换得到△CDE，记△AOB与△CDE对应边的比为k，则位似中心的坐标和k的值分别为( C )
A．(0，0)，2 B．(2，2)，
C．(2，2)，2 D．(2，2)，3
第3题图
第4题图
4．一种雨伞的截面图如图所示，伞骨AB＝AC，支撑杆OE＝OF＝40 cm，
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当点O沿AD滑动时，雨伞开闭．若AB＝3AE，AD＝3AO，此时B，D两点间的距离等于( D )
A．60 cm B．80 cm C．100 cm D．120 cm
5．在△ABC中，AD，CE分别为BC，AB的中线，AD，CE交于点G，GF∥AB交BC于点F，则DF∶FB为( B )
A．1∶1 B．1∶2 C．1∶3 D．2∶3
第6题图
6．为测量被池塘相隔的两棵树A，B的距离，数学课外兴趣小组的同学们设计了如图所示的测量方案：从树A沿着垂直于AB的方向走到E，再从E沿着垂直于AE的方向走到F，C为AE上一点．其中3位同学分别测得三组数据：(1)AC，∠ACB；(2)CD，∠ACB，∠ADB；(3)EF，DE，AD.其中能根据所测数据求得A，B两树距离的有( D )
A．0组 B．1组 C．2组 D．3组
二、填空题(每小题6分，共24分)
7．如图所示，在一场羽毛球比赛中，站在场内M处的运动员把球从N点击到了对方场区的B点．已知网高OA＝1.52 m，OB＝4 m，OM＝5 m，则该运动员起跳后击球点N与地面的距离NM＝__3.42__m.
第7题图
8．在比例尺为1∶2000的地图上，测得A，B两地间的图上距离为4.5厘米，则其实际距离为__90__米．
9．如图所示，在两栋楼房之间的草坪中有一棵树，已知楼房AB的高度为10米，楼房CD的高度为15米，从A处看楼顶C处正好通过树顶E，而从D处看楼顶B处也正好通过树顶E.这棵树的高度为__6__米．
第9题图
第10题图
10．有一块锐角三角形余料ABC，它的边BC＝12 cm，BC边上的高为9 cm，现要把它分割成若干个邻边长分别为4 cm和2 cm的小长方形零件，分割方式如图所示(分割线的耗料不计)，使最底层的小长方形长为4 cm的边在BC上，按如图方式分割成的小长方形零件最多有__4__个．
三、解答题(5个小题，共46分)
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第11题图
11．(8分)如图所示，将矩形ABCD对折，折痕为MN，已知AB＝4，矩形DMNC与矩形ABCD相似．
(1)求AD的长；
(2)求矩形DMNC与矩形ABCD的相似比．
解：(1)由题意，得MN＝AB.
DM＝AD＝BC，
∵矩形DMNC与矩形ABCD相似，
∴＝，
∴AD2＝AB2，
∵AB＝4，∴AD＝4.
(2)矩形DMNC与矩形ABCD的相似比为＝＝.
第12题图
12．(10分)如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，正方形DEFG的四个顶点分别在△ABC的各边上．
(1)求证：△ADE∽△GBF.
(2)求正方形DEFG的边长．
第12题答图
解：(1)证明：∵∠A＝∠A，∠AED＝∠ACB＝90°，
∴△ADE∽△ABC.同理，△GBF∽△ABC，
∴△ADE∽△GBF.
(2)如图作CM⊥AB于点M，交DG于点N.
∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝5，CM＝.
设正方形DEFG的边长为x.
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∵DG∥AB，∴△CDG∽△CAB，∴＝＝，即＝，
解得x＝，即正方形DEFG的边长为.
第13题图
13．(8分)如图所示，要在宽为22米的大道两边安装路灯，路灯的灯臂CD长2米，且与灯柱BC成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直，当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳．求路灯灯柱BC的高度．
解：延长OD，BC交于点P.由题意得OB＝11米，CD＝2米，∠ODC＝∠PDC＝∠B＝90°，∠BCD＝120°，∴∠P＝30°，∴在直角△CPD中，PD＝2米，PC＝4米．∵∠P＝∠P，∠PDC＝∠B＝90°，∴△PDC∽△PBO，∴＝，∴PB＝＝＝11(米)，∴BC＝PB－PC＝(11－4)米．
即路灯灯柱BC的高度为(11－4)米．
第14题图
14．(10分)如图所示，⊙O的半径为5，点P在⊙O外，PB交⊙O于A，B两点，PC交⊙O于D，C两点．
(1)求证：PA·PB＝PD·PC.
(2)若PA＝，AB＝，PD＝DC＋2，求点O到PC的距离．
解：(1)证明：连结AD，BC.∵四边形ABCD内接于⊙O，
第14题答图
∴∠PAD＝∠PCB，∠PDA＝∠PBC，
∴△PAD∽△PCB，∴＝，∴PA·PB＝PC·PD.
(2)连结OD，作OE⊥DC，垂足为E.
∵PA＝，AB＝，PD＝DC＋2，
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∴PB＝16，PC＝2DC＋2.∵PA·PB＝PD·PC，
∴×16＝(DC＋2)(2DC＋2)，
解得DC＝8或DC＝－11(舍去)，
∴DE＝4.∵OD＝5，∴OE＝3，即点O到PC的距离为3.
第15题图
15．(10分)如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8.点D为边CB上的一个动点(点D不与点B重合)，过D作DO⊥AB，垂足为O；点B′在边AB上，且与点B关于直线DO对称，连结DB′，AD.
(1)求证：△DOB∽△ACB.
(2)若AD平分∠CAB，求线段BD的长；
(3)当△AB′D为等腰三角形时，求线段BD的长．
解：(1)证明：∵DO⊥AB，∴ ∠DOB＝90°，
∴ ∠ACB＝∠DOB＝90°.
又∵∠B＝∠B，∴ △DOB∽△ACB.
(2)∵AD平分∠CAB，DC⊥AC，DO⊥AB，∴ DO＝DC.
∵在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，∴ AB＝10.
∵△DOB∽△ACB，∴ DO∶BO∶BD＝AC∶BC∶AB＝3∶4∶5.
设BD＝x，则DO＝DC＝x，BO＝x.
又∵CD＋BD＝8，∴x＋x＝8，解得x＝5，即BD＝5.
(3)∵点B与点B′关于直线DO对称，∴ ∠B＝∠OB′D，
BD＝B′D＝x，BO＝B′O＝x.
又∵∠B为锐角，∴ ∠OB′D也为锐角，∴ ∠AB′D为钝角，
∴ 当△AB′D是等腰三角形时，AB′＝DB′.
∵AB′＋B′O＋BO＝10，∴ x＋x＋x＝10, 解得x＝，即BD＝.∴当△AB′D为等腰三角形时，BD＝.
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