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- 2023-10-04 发布
21.2 解一元二次方程
21.2.1 配方法
第1课时 用直接开平方法解一元二次方程
※教学目标※
【知识与技能】
1.会利用直接开平方法解形如的一元二次方程.
2.初步了解形如的方程的解法.
3.能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性.
【过程与方法】
在学习与探究中是学生体会类比、转化、降次的数学思想及运用类比进行学习的方法.
【情感态度】
使学生在学习中体会愉悦与成功感，感受数学学习的价值．
【教学重点】
熟练而准确地运用直接开平方法求解一元二次方程．
【教学难点】
探究的解的情况，培养分类要论的思想．
※教学过程※
一、复习导入
如果，那么x叫做a的 ，记作 ；如果，那么记作 ；3的平方根是 ；0的平方根是 ；-6的平方根是 .
二、 探索新知
探究问题 一桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗大？
教师设置如下问题学生讨论：
如果设一个盒子的棱长为x dm，则它的外表面积为多少？10个这种盒子的外表面积的和为多少？由此可得到的方程又是怎样的？你能求出它的解吗？
讨论结果：设其中一个盒子的棱长为x dm，则这个盒子的表面积为dm2.根据一桶油漆可刷的面积，列出方程.整理，得.根据平方根的意义，得，即，.可以验证，5和-5是方程的两个根，因为棱长不能是负值，所以盒子的棱长为5dm.
归纳总结
一般地，对于方程，（Ⅰ）
（1） 当时，根据平方根的意义，方程（Ⅰ）有两个不相等的实数根，；
（2） 当时，方程（Ⅰ）有两个相等的实数根；
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（3）当时，因为对任意实数x，都有，所以方程（Ⅰ）无实数根.
学生思考
对照上面解方程（Ⅰ）的过程，你认为应怎样解方程？
学生通过比较它与方程的异同，从而获得解一元二次方程的思路.
在解方程（Ⅰ）时，由方程得.由此想到：由方程，得，即，或.于是，方程的两个根为，.
归纳总结
上面的解法中，由方程到，或，实质上是把一个一元二次方程“降次”,转化为两个一元一次方程.
使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的根.一个一元二次方程如果有实数根，则必然有两个实数根，通常记为，．
三、 掌握新知
例 解下列方程：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.
解：（1）整理，得，即．根据平方根的意义，得，
即.
（2）整理，得，即．两边开平方，得，即.
（3）整理，得.根据平方根的意义，得，即.
（4）整理，得，即.两边开平方，得，即.
（5）原方程可化为.两边开平方，得，即.
（6）整理，得，即.因为当时，对任意实数x，都有≥0，所以此方程无实数根.
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三、 巩固练习
1.若，那么p，q的值分别是（ ）
A．p=4，q=2 B．p=4，q=-2 C．p=-4，q=2 D．p=-4，q=-2
2.方程的根为（ ）
A．3 B．-3 C．±3 D．无实数根
3.如果方程，那么，这个一元二次方程的两根是________．
4.如果a，b为实数，满足+b2-12b+36=0，那么ab的值是_______．
5.解关于x的方程．
6.已知方程的一个根是，求m的值即方程的另一个根.
答案：1.B 2.D 3.9或-3 4.-8
5.当时，x+m=±，x1=-m，x2=--m；当n<0时，无解
6.将带入，得，∴，故原方程可化为，∴，，即另一个根为0.
五、归纳小结
1.本节课要掌握：由应用直接开平方法解形如x2=p（p≥0），那么x=±
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转化为应用直接开平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0），那么mx+n=±，达到降次转化之目的．
2.通过这节课的学习，你还有那些收获？
※布置作业※
从教材习题21.2中选取．
※教学反思※
1.本课时通过创设问题情景，激发学生探索新知的欲望.
2.本课时还通过回忆旧知识为新知识学习做好铺垫.
3.教师引导学生自主、合作、探究、验证，培养学生分析、解析问题的能力.
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