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- 2023-09-29 发布
24.1.4 圆周角
第1课时 圆周角定理及其推论
01 基础题
知识点1 圆周角的概念
1．下列图形中的角是圆周角的是(B)
知识点2 圆周角定理
2．(茂名中考)如图，A，B，C是⊙O上的三点，∠B＝75°，则∠AOC的度数是(A)
A．150° B．140° C．130° D．120°
3．(滨州中考)如图，在⊙O中，圆心角∠BOC＝78°，则圆周角∠BAC的大小为(C)
A．156° B．78° C．39° D．12°
4．(山西模拟)如图，直径为AB的⊙O中，＝2，连接BC，则∠B的度数为(B)
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A．35° B．30° C．20° D．15°
知识点3 圆周角定理的推论
5．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠A＝35°，则∠B的度数是(C)
A．35° B．45° C．55° D．65°
6．(绍兴中考)如图，BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上，＝，∠AOB＝60°，则∠BDC的度数是(D)
A．60° B．45° C．35° D．30°
7．(黔西南中考)如图，在⊙O中，＝，∠BAC＝50°，则∠AEC的度数为(A)
A．65° B．75° C．50° D．55°
8．(太原二模)如图，BD是圆O的直径，∠CBD＝30°，则∠A的度数为(C)
A．30° B．45° C．60° D．75°
9．(常州中考)如图，把直角三角板的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点M，N，量得OM＝8 cm，ON＝6 cm，则该圆玻璃镜的半径是(B)
A. cm B．5 cm
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C．6 cm D．10 cm
10．(朝阳中考)如图是一个圆形人工湖的平面图，弦AB是湖上的一座桥，已知桥长100 m，测得圆周角∠ACB＝30°，则这个人工湖的直径为200m.
11．如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四个点，AB＝BC，BD交AC于点E，连接CD，AD.求证：DB平分∠ADC.
证明：∵AB＝BC，
∴＝.
∴∠ADB＝∠BDC.
∴DB平分∠ADC.
易错点 忽略弦所对的圆周角不唯一而致错
12．已知⊙O的弦AB的长等于⊙O的半径，则此弦AB所对的圆周角的度数为30°或150°．
02 中档题
13．(海南中考)如图，点A、B、C在⊙O上，AC∥OB，∠BAO＝25°，则∠BOC的度数为(B)
A．25° B．50°
C．60° D．80°
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11
．(吕梁孝义市期中)如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠AED＝20°，则∠BCD的度数为(B)
A．100° B．110°
C．115° D．120°
15．(广州中考)如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为E，连接CO，AD，∠BAD＝20°，则下列说法中正确的是(D)
A．AD＝2OB B．CE＝EO
C．∠OCE＝40° D．∠BOC＝2∠BAD
16．如图，⊙C经过原点，并与两坐标轴分别交于A，D两点，已知∠OBA＝30°，点A的坐标为(2，0)，则点D的坐标为(0，2)．
17．如图，⊙O的直径AB的长为10，弦AC的长为5，∠ACB的平分线交⊙O于点D.
(1)求BC的长；
(2)求BD的长．
解：(1)∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°.
∴在Rt△ABC中，
BC＝＝＝5.
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(2)∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD＝45°.
∴∠BAD＝∠ABD＝45°.
∴AD＝BD.
设BD＝AD＝x，
在Rt△ABD中，由勾股定理，得
AD2＋BD2＝AB2.
∴x2＋x2＝102.
解得x＝5.
∴BD＝5.
18．如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E，且点D为边BC的中点．
(1)求证：△ABC为等边三角形；
(2)求DE的长．
解：(1)证明：连接AD.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°.
∵点D是BC的中点，
∴AD是BC的垂直平分线．
∴AB＝AC.
又∵AB＝BC，
∴AB＝AC＝BC.
∴△ABC为等边三角形．
(2)连接BE.
∵AB是⊙O的直径，
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∴∠AEB＝90°.
∴BE⊥AC.
∵△ABC是等边三角形，
∴AE＝EC，即E为AC的中点．
又∵D是BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线．
∴DE＝AB＝×2＝1.
03 综合题
19．(东营中考)如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB＝8 cm，＝＝，M是AB上一动点，CM＋DM的最小值为8__cm．
第2课时 圆内接四边形
01 基础题
知识点 圆内接四边形的性质
1．(湘潭中考)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠DAB＝60°，则∠BCD的度数是(D)
A．60° B．90°
C．100° D．120°
2．如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点．若∠BAD＝105°，则∠DCE的大小是(B)
A．115° B．105°
C．100° D．95°
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3．(娄底中考)如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠C＝∠D，则AB与CD的位置关系是AB∥CD．
4．如图，AB是半圆O的直径，∠BAC＝30°，D是的中点，则∠DAC的度数是30°．
5．如图所示，已知圆心角∠AOB＝100°，求∠ACD的度数．
解：在优弧AMB 上任取一点N，连接AN，BN，
由圆周角定理，得∠N＝∠AOB＝×100°＝50°.
∴∠ACB＝180°－∠N＝180°－50°＝130°.
∴∠ACD＝180°－∠ACB＝180°－130°＝50°.
6．已知圆内接四边形相邻三个内角度数的比为2∶1∶7，求这个四边形各内角的度数．
解：根据圆内接四边形的对角互补可知，其对角和相等，所以四个内角的度数的比为2∶1∶7∶8.
设这四个内角的度数分别为2x°、x°、7x°、8x°，则
2x＋x＋7x＋8x＝360.解得x＝20.
则2x＝40，7x＝140，8x＝160.
答：这个四边形各内角的度数分别为40°、20°、140°、160°.
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7．(T4的变式)如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠B＝50°，∠ACD＝25°，∠BAD＝65°.求证：
(1)AD＝CD；
(2)AB是⊙O的直径．
证明：(1)∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠D＝180°－∠B＝130°.
∵∠ACD＝25°，
∴∠DAC＝180°－∠D－∠ACD＝180°－130°－25°＝25°.
∴∠DAC＝∠ACD.
∴AD＝CD.
(2)∵∠BAC＝∠BAD－∠DAC＝65°－25°＝40°，∠B＝50°，
∴∠ACB＝180°－∠B－∠BAC＝180°－50°－40°＝90°.
∴AB是⊙O的直径．
易错点 对圆内接四边形的概念理解不清导致错误
8．(来宾中考)如图，在⊙O中，点A，B，C在⊙O上，且∠ACB＝110°，则∠α＝140°．
02 中档题
9．(山西中考模拟百校联考)如图，点A，B，C，D为⊙O上的点，四边形AOBC是菱形，则∠ADB的度数是(C)
A．30° B．45° C．60° D．75°
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10．(聊城中考)如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且＝，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC.若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，则∠E的度数为(B)
A．45° B．50° C．55° D．60°
11．(南京中考)如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD＝35°，则∠B＋∠E＝215°．
12．(吉林中考)如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB＝130°，连接OC，点P是半径OC上任意一点，连接DP，BP，则∠BPD可能为80(50°≤∠BPD≤100°)(写出一个即可)．
13．如图，⊙C经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A与点B，点A的坐标为(0，4)，M是圆上一点，∠BMO＝120°.求⊙C的半径．
解：∵四边形ABMO内接于⊙C，
∴∠BAO＋∠BMO＝180°.
∵∠BMO＝120°，
∴∠BAO＝60°.
在Rt△ABO中，AO＝4，∠BAO＝60°，
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∴AB＝8.
∵∠AOB＝90°，
∴AB为⊙C的直径．
∴⊙C的半径为4.
14．(苏州中考)如图，AB是圆O的直径，D，E为圆O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD＝BD.连接AC交圆O于点F，连接AE，DE，DF.
(1)求证：∠E＝∠C；
(2)若∠E＝55°，求∠BDF的度数．
解：(1)证明：连接AD.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC.
∵CD＝BD，∴AD垂直平分BC.∴AB＝AC.∴∠B＝∠C.
又∵∠B＝∠E，∴∠E＝∠C.
(2)∵四边形AEDF是⊙O的内接四边形，
∴∠AFD＝180°－∠E.
又∵∠CFD＝180°－∠AFD，
∴∠CFD＝∠E＝55°.
∵∠E＝∠C＝55°，
∴∠BDF＝∠C＋∠CFD＝110°.
03 综合题
15．(佛山中考)如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E，F.
(1)若∠E＝∠F，求证：∠ADC＝∠ABC；
(2)若∠E＝∠F＝42°，求∠A的度数；
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(3)若∠E＝α，∠F＝β，且α≠β.请你用含有α，β的代数式表示∠A的大小．
解：(1)证明：∵∠DCE＝∠BCF，∠E＝∠F，
又∵∠ADC＝∠E＋∠DCE，∠ABC＝∠F＋∠BCF，
∴∠ADC＝∠ABC.
(2)由(1)知∠ADC＝∠ABC，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC＋∠ABC＝180°.
∴∠ADC＝90°.
在Rt△ADF中，∠A＝90°－∠F＝90°－42°＝48°.
(3)连接EF.
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠ECD＝∠A.
∵∠ECD＝∠CEF＋∠CFE，
∴∠A＝∠CEF＋∠CFE.
∵∠A＋∠CEF＋∠CFE＋∠DEC＋∠BFC＝180°，
∴2∠A＋α＋β＝180°.
∴∠A＝90°－.
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