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- 2023-09-24 发布
鞍山市2017年高中毕业班第一次质量调查
数学（文科）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集，集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．若复数满足，其中为虚数单位，则复数对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．下列四个函数中，在区间上是减函数的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知向量，满足，，，则向量，的夹角为（ ）
A． B． C． D．
5．在明朝程大位所著《算法统宗》中，有这样的一首歌谣，叫做浮屠增级歌．“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”这首古诗描述的这个宝塔其古称浮屠，它一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，全塔总共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？据此，你算出顶层悬挂的红灯的盏数为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．4
6．执行下图程序框图，如果输入的，均为2，则输出的（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
7．已知函数，则函数满足（ ）
A．最小正周期为 B．图象关于点对称
C．在区间上为减函数 D．图象关于直线对称
8．一空间几何体的三视图如下图所示，该几何体的体积为，则正视图与侧视图中的值为（ ）
A．2 B．3 C． 4 D．5
9．已知（且）恒过定点，且点在直线（，）上，则的最小值为（ ）
A． B．8 C． D．4
10．已知点在抛物线上，则当点到点的距离与点到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数的定义域为，当时，若，，，则有的值（ ）
A．恒小于零 B．恒等于零
C．恒大于零 D．可能大于零，也可能小于零
12．过双曲线（，）的右焦点作圆的切线，切点为.直线交抛物线于点，若（为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．若，满足约束条件，则的最小值为 ．
14．已知三棱锥的四个顶点均在半径为2的球面上，且、、两两互相垂直，则三棱锥的侧面积的最大值为 ．
15．已知等差数列中，，，设为数列的前项和，则 ．
16．给出下列四个命题：①“若，则或”是假命题；②已知在中，“”是“”成立的充要条件；③若函数，对任意的都有，则实数的取值范围是；④若实数,，则满足的概率为.其中正确的命题的序号是 （请把正确命题的序号填在横线上）．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．已知锐角的内角、、的对边分别为、、，且，，的面积为，又，记.
（Ⅰ）求，，的值；
（Ⅱ）求的值.
18．上周某校高三年级学生参加了数学测试，年部组织任课教师对这次考试进行成绩分析.现从中随机选取了40名学生的成绩作为样本，已知这40名学生的成绩全部在40分至100分之间（满分100分，成绩不低于40分），现将成绩按如下方式分成6组：第一组；第二组；……；第六组，并据此绘制了如图所示的频率分布直方图.
（Ⅰ）估计这次月考数学成绩的平均分和众数；
（Ⅱ）从成绩大于等于80分的学生中随机选2名，求至少有1名学生的成绩在区间内的概率.
19．如图，在四棱锥中，底面的平行四边形，，，面，为的中点.
（Ⅰ）求证：
（Ⅱ）若，求三棱锥的体积.
20．已知函数，.
（Ⅰ）当时，求函数在处的切线方程；
（Ⅱ）令，求函数的极值；
（Ⅲ）若，正实数，满足，证明：.
21．过椭圆：上一点向轴作垂线，垂足为右焦点，、分别为椭圆的左顶点和上顶点，且，.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若动直线与椭圆交于、两点，且以为直径的圆恒过坐标原点.问是否存在一个定圆与动直线总相切.若存在，求出该定圆的方程；若不存在，请说明理由.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（，为参数），在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线是圆心在极轴上，且经过极点的圆.已知曲线上的点对应的参数，射线与曲线交于点.
（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）若点，在曲线上，求的值.
23．选修4-5：不等式选讲
设函数，.
（Ⅰ）当时，求不等式的解集；
（Ⅱ）若关于的不等式在上恒成立，求实数的最大值.
鞍山市2017年第一次质量调查数学（文科）参考答案
一、选择题
1-5:BCBDC 6-10:ADBAD 11、12：CB
二、填空题
13． 14．8 15． 16．②④
三、解答题
17．解：（1）由的面积为，有，即，得，
又为锐角，故
再由余弦定理：，得，
.
（2）由，知，由为正三角形，即，且，
所以，
所以.
18．解：（1）因各组的频率之和为1，所以成绩在区间内的频率为
，
所以平均分分，
众数的估计值是65分
（2）设表示事件“在成绩大于等于80分的学生中随机选2名，至少有1名学生的成绩在区间内”，由题意可知成绩在区间内的学生所选取的有：，记这4名学生分别为，，，，
成绩在区间内的学生有（人），记这2名学生分别为，，
则从这6人中任选2人的基本事件事件空间为：
共15种，
事件“至少有1名学生的成绩在区间内”的可能结果为：
，共九种，
所以.
故所求事件的概率为：.
19．解：（1）证明：因为面，又平面
所以，
又因为，，
在中，由余弦定理有：
所以，
即：，
又因为，又平面，平面，
所以平面，
又平面，所以.
（2）由已知有：，所以，,因为面
且为的中点，所以点到平面的距离为，
所以
20．解：（1）当时，，则，所以切点为，又，则切线斜率，
故切线方程为，即.
（2），
则，
当时，，.
在上是递增函数，函数无极值点，
当时，，
令得，当时，；当时，.
因此在上是增函数，在上是减函数.
时，有极大值.
综上，当时，函数无极值；当时，函数有极大值
（3）证明：当时，，由，
即
从而
令，则，得，
可知在区间上单调递减，在区间上单调递增.
因为，
21．解：（1）由题意得，所以，.由得，解得，，
由，得，，椭圆的方程为.
（2）假设存在这样的圆.设，.
由已知，以为直径的圆恒过原点，即，所以.
当直线垂直于轴时，，，所以，又，解得，
不妨设，或，，即直线的方程为或，此时原点到直线的距离为.
当直线的斜率存在时，可设直线的方程为，解消去得方程：
，因为直线与椭圆交于，两点，所以方程的判别式
，即，且，.
由，得，
所以，整理得（满足）.
所以原点到直线的距离.综上所述，原点到直线的距离为定值，即存在定圆总与直线相切.
22．解：（Ⅰ）将及对应的参数，代入，得，即，
所以曲线的方程为（为参数），或.设圆的半径为，由题意，圆的方程为，（或）.将点代入，得，即.
（或由，得，代入，得），
所以曲线的直角坐标方程为.
（Ⅱ）因为点，在曲线上，所以，
，所以.
23．解：（1）
由得或，解得或，
所以不等式的解集为；
（2）由绝对值的性质得，
所以最小值为，从而，解得，因此的最大值为.