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- 2023-09-20 发布
考点11 导数的概念及计算
1．导数概念及其几何意义
（1）了解导数概念的实际背景.
（2）理解导数的几何意义.
2．导数的运算
（1）能根据导数定义求函数y=C（C为常数），的导数.
（2）能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如f(ax+b)的复合函数）的导数.
• 常见基本初等函数的导数公式：
；
；
；
.
• 常用的导数运算法则：
法则1：.
法则2：.
法则3：.
一、导数的概念
1．平均变化率
函数从到的平均变化率为，若，，则平均变化率可表示为.
2．瞬时速度
一般地，如果物体的运动规律可以用函数来描述，那么，物体在时刻的瞬时速度v就是物体在到这段时间内，当无限趋近于0时，无限趋近的常数.
3．瞬时变化率
定义式
实质
瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值
作用
刻画函数在某一点处变化的快慢
4．导数的概念
一般地，函数在处的瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或，即.
【注】函数在处的导数是在处的瞬时变化率.
5．导函数的概念
如果函数在开区间(a，b)内的每一点都是可导的，则称在区间(a，b)内可导．这样，对开区间(a，b)内的每一个值x，都对应一个确定的导数，于是在区间(a，b)内构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数的导函数(简称导数)，记为或，即.
二、导数的几何意义
函数在处的导数就是曲线在点处的切线的斜率，即.
【注】曲线的切线的求法：若已知曲线过点P(x0，y0)，求曲线过点P的切线，则需分点P(x0，y0)是切点和不是切点两种情况求解．
（1）当点P(x0，y0)是切点时，切线方程为y−y0=f ′(x0)(x−x0)；
（2）当点P(x0，y0)不是切点时，可分以下几步完成：
第一步：设出切点坐标P′(x1，f (x1))；
第二步：写出过P′(x1，f (x1))的切线方程为y−f (x1)=f ′ (x1)(x−x1)；
第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程求出x1；
第四步：将x1的值代入方程y−f (x1)=f ′(x1)(x−x1)，可得过点P(x0，y0)的切线方程．
三、导数的计算
1．基本初等函数的导数公式
函数
导数
f (x)=C(C为常数)
=
f (x)=sin x
f (x)=cos x
f (x)=ln x
2．导数的运算法则
（1）.
（2）.
（3）.
3．复合函数的导数
复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f (u)，u=g(x)的导数间的关系为yx′=yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
考向一 导数的计算
1．导数计算的原则和方法
（1）原则：先化简解析式，使之变成能用八个求导公式求导的函数的和、差、积、商，再求导．
（2）方法：
①连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；
②分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；
③对数形式：先化为和、差的形式，再求导；
④根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；
⑤三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导.
2．求复合函数的导数的关键环节和方法步骤
（1）关键环节：
①中间变量的选择应是基本函数结构；
②正确分析出复合过程；
③一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导；
④善于把一部分表达式作为一个整体；
⑤最后结果要把中间变量换成自变量的函数.
（2）方法步骤：
①分解复合函数为基本初等函数，适当选择中间变量；
②求每一层基本初等函数的导数；
③每层函数求导后，需把中间变量转化为自变量的函数.
典例1 求下列函数的导数：
（1）y=ln x＋； （2）；
（3）y=(x2＋2x−1)e2−x； （4）y=−e2x.
【答案】（1）y′=−；（2）；（3）y′=(3−x2)e2−x；（4）.
【名师点睛】熟记基本初等函数的求导公式，导数的四则运算法则是正确求导数的基础.
（1）运用基本初等函数求导公式和运算法则求函数在开区间(a,b)内的导数的基本步骤：
①分析函数的结构和特征；②选择恰当的求导公式和运算法则求导；③整理得结果.
（2）对较复杂的函数求导数时，先化简再求导.如对数函数的真数是根式或分式时，可用对数的性质将真数转化为有理式或整式求解更为方便；对于三角函数，往往需要利用三角恒等变换公式，将函数式进行化简，使函数的种类减少，次数降低，结构尽量简单，从而便于求导.
1．已知函数f(x)的导函数为f ′(x)，且满足f(x)=2xf ′(e)＋ln x，则f ′(e)=
A．e−1 B．−1
C．−e−1 D．−e
考向二 导数的几何意义
求曲线y=f (x)的切线方程的类型及方法
（1）已知切点P(x0, y0)，求y=f (x)过点P的切线方程：求出切线的斜率f ′(x0)，由点斜式写出方程；
（2）已知切线的斜率为k，求y=f (x)的切线方程：设切点P(x0, y0)，通过方程k=f ′(x0)解得x0，再由点斜式写出方程；
（3）已知切线上一点(非切点)，求y=f (x)的切线方程：设切点P(x0, y0)，利用导数求得切线斜率f ′(x0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，最后由点斜式或两点式写出方程．
（4）若曲线的切线与已知直线平行或垂直，求曲线的切线方程时，先由平行或垂直关系确定切线的斜率，再由k=f ′(x0)求出切点坐标(x0, y0)，最后写出切线方程．
（5）①在点P处的切线即是以P为切点的切线，P一定在曲线上.
②过点P的切线即切线过点P，P不一定是切点．因此在求过点P的切线方程时，应首先检验点P是否在已知曲线上．
典例2 曲线在点(−1，−1)处的切线方程为
A．y=2x＋1 B．y=2x−1
C．y=−2x−3 D．y=−2x−2
【答案】A
【规律总结】求切线方程的步骤：
(1)利用导数公式求导数．
(2)求斜率．
(3)写出切线方程．
注意导数为0和导数不存在的情形．
2．已知函数是奇函数，当时，，则曲线在处的切线方程为
A． B．
C． D．
1．已知t为实数，若f (x)=(x2−4)(x−t)且f ′(−1)=0，则t等于
A．0 B．−1
C． D．2
2．若曲线y=ax2−ln x在(1,a)处的切线平行于x轴,则a=
A． B．0
C．1 D．
3．已知曲线在点处的切线斜率为，则当时，点的坐标为
A． B．
C． D．
4．已知函数的图象如图，是的导函数，则下列数值排序正确的是
A． B．
C． D．
5．曲线在点处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为
A． B．
C． D．
6．已知函数的图象为曲线，若曲线存在与直线垂直的切线，则实数的取值范围为
A． B．
C． D．
7．
放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变.假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M(单位：太贝克)与时间t(单位：年)满足函数关系：，其中为时铯137的含量，已知时，铯137含量的变化率为(太贝克/年)，则
A．5太贝克 B．太贝克
C．太贝克 D．150太贝克
8．函数在其极值点处的切线方程为____________.
9．已知函数的导函数为，且满足，则____________.
10．设曲线在点处的切线与轴的交点的横坐标为令则的值为____________.
11．设函数，是由轴和曲线及该曲线在点处的切线所围成的封闭区域，则在上的最大值为____________.
1．（2016年高考山东卷）若函数y=f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是
A．y=sin x B．y=ln x
C．y=ex D．y=x3
2．（2016年高考四川卷）设直线l1，l2分别是函数f (x)=图象上点P1，P 2
处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1， l2分别与y轴相交于点A，B，则的面积的取值范围是
A．(0,1) B．(0,2)
C．(0,+∞) D．(1,+∞)
3．（2016年高考全国Ⅲ卷）已知f (x)为偶函数，当时，,则曲线y=f (x)在点(1,−3)处的切线方程是_______________.
4．（2016年高考全国Ⅱ卷）若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线，也是曲线y=ln(x+1)的切线，则b= .
5．（2017年高考北京卷节选）已知函数．
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
6．（2017年高考山东卷节选）已知函数，，其中是自然对数的底数.
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
7．（2017年高考浙江卷节选）已知函数f(x)=(x–)()．
（Ⅰ）求f(x)的导函数；
变式拓展
1．【答案】C
【解析】∵f(x)=2xf ′(e)＋ln x，∴f ′(x)=2f ′(e)＋，∴f ′(e)=2f ′(e)＋，解得f ′(e)=−e−1，故选C．
【名师点睛】利用导数公式和导数的运算法则求函数的导数是高考考查的基础内容，直接考查的较少，常体现在导数应用中，也是学好导数，会做导数相关问题的前提.本题注意对f ′(1)的正确理解，在求导时作为常数，才能得出正确结果.
2．【答案】B
考点冲关
1．【答案】C
【解析】依题意得，f ′(x)=2x(x−t)＋(x2−4)=3x2−2tx−4，∴f ′(−1)=3＋2t−4=0，即t=.
2．【答案】D
【解析】由曲线在点(1,a)处的切线平行于x轴得切线的斜率为0,由y′=2ax−
及导数的几何意义得,解得a=，故选D.
3．【答案】C
【解析】设点的坐标为，则，即，则，此时，故点的坐标为.故选C.
4．【答案】C
5．【答案】A
【解析】因为，所以切线的斜率，切线方程为，令得；令得，故围成的三角形的面积为，故选A.
6．【答案】C
【解析】设切点的横坐标为，因为=，所以函数在点处的切线斜率为，由题知，，所以，所以实数的取值范围为．
7．【答案】D
【解析】因为，所以，解得.所以，所以时，铯137的含量为（太贝克）.
8．【答案】
【解析】，令，此时.函数在其极值点处的切线方程为.
9．【答案】
【解析】∵，∴，
令，则，∴；令，∴，∴，
∴.
10．【答案】
11．【答案】2
【解析】当时，，则曲线在点处的切线的斜率为，切线方程为，画图（图略）可知区域为三角形 ，三个顶点的坐标分别为，平移直线，可知在点处取得最大值，为2.
直通高考
1．【答案】A
【解析】当时，，，所以在函数的图象上存在两点，使条件成立，故A正确；函数的导数值分别为，不符合题意，故选A．
2．【答案】A
【解析】设（不妨设），则由导数的几何意义易得切线的斜率分别为由已知得切线的方程为，切线的方程为，即.分别令得又与的交点为
，故选A．
3．【答案】
【解析】当时，，则．又因为为偶函数，所以，所以，则切线斜率为，所以切线方程为，即．
4．【答案】
【解析】对于函数，求导得，对于函数，求导得，设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，则，由点在切线上得
，由点在切线上得，这两条直线表示同一条直线，所以
，解得.
5．【答案】（Ⅰ）.
6．【答案】（Ⅰ）.
【解析】（Ⅰ）由题意，
又，
所以，
因此曲线在点处的切线方程为，即.
7．【答案】（Ⅰ）．