数学理卷·2018届湖北省襄阳市高三1月调研测试（2018 11页

机密★启用前 ‎2018年1月襄阳市普通高中调研统一测试 高三数学(理工类)‎ 本试题卷共6页，23题(含选考题)。全卷满分150分。考试用时120分钟。‎ ‎★祝考试顺利★‎ 注意事项：‎ 1. 答卷前，请考生认真阅读答题卡上的注意事项。考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上指定位置，将考号对应数字涂黑。‎ 2. 选择题作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。答在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ 3. 非选择题作答：用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ 4. 考生必须保持答题卡的清洁。考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ 1. 已知集合，，则M∩N = A．f B．{(3，0)，(2，0)} C．{3，2} D．[，3]‎ 2. 已知i与j为互相垂直的单位向量，，且a与b的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是 A． B． C． D．‎ 3. 已知倾斜角为q 的直线l与直线垂直，则的值为 A． B． C． D．‎ 4. 我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤．斩末一尺，重二斤．问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，一头粗，一头细．在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金杖由粗到细是均匀变化的，则中间3尺的重量为 A．9斤 B．9.5斤 C．6斤 D．12斤 1. 已知点P(1，2)和圆C：，过点P作圆C的切线有两条，则k的取值范围是 A．R B． C． D．‎ 2. 已知F1、F2是双曲线M：的焦点，是双曲线M的一条渐近线，离心率等于的椭圆E与双曲线M的焦点相同，P是椭圆E与双曲线M的一个公共点，设|PF1|·|PF2| = n，则 A．n = 12 B．n = 24 C．n = 36 D．n≠12且n≠24且n≠36‎ O O O O x x x x y y y y A B C D 3. 函数的图像大致为 4. 已知函数，若a、b、c互不相等，且f (a) = f (b) = f (c)，则 的取值范围是 A．(1，2 017) B．(1，2 018) C．[2，2 018] D．(2，2 018)‎ 5. 已知点F1、F2是双曲线的左、右焦点，若在右支上存在点A使得点F2到直线AF1的距离为2a，则离心率e的取值范围是 A． B． C． D．‎ 6. 如图，网格纸上小正方形边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的表面积为 A． B． C． D．‎ 7. 已知定义域为R的奇函数y = f (x)的导函数为，当x≠0时，，若，，则a、b、c的大小关系正确的是 A．a < c < b B．b < c < a C．a < b < c D．c < a < b 1. 已知定义在R上的函数f (x)，当x∈[0，2]时，，且对于任意的实数x∈，都有，若函数有且只有三个零点，则a的取值范围为 A．[2，10] B． C．(2，10) D．‎ 第Ⅱ卷 第Ⅱ卷包括必考题和选考题两部分。第13－21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22－23题为选考题，考生按要求做答。‎ 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。请将答案填在答题卡对应题号的位置上。答错位置，书写不清，模棱两可均不得分。‎ 2. 等比数列{an}各项均为正数，，则　▲　．‎ x ‎ ‎ y O ‎1‎ ‎－1‎ 3. 已知实数x、y满足，则的最小值为　▲　．‎ 4. 已知函数的部分图像如图所示，令，则　▲　．‎ 5. 若函数对定义域D内的每一个x1，都存在唯一的x2∈D，使得成立，则称f (x)为“自倒函数”．给出下列命题： ①是自倒函数； ②自倒函数f (x)可以是奇函数； ③自倒函数f (x)的值域可以是R； ④若都是自倒函数，且定义域相同，则也是自倒函数． 则以上命题正确的是　▲　(写出所有正确命题的序号)．‎ 三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ 6. ‎(本小题满分12分) 已知{an}的前n项和． (Ⅰ)求数列{an}的通项公式； (Ⅱ)求数列的前n项和Tn． ‎ ‎ ‎ 1. ‎(本小题满分12分) 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知． (Ⅰ)求cosC的值； (Ⅱ)若a = 15，D为AB边上的点，且2AD = BD，求CD的长． ‎ 2. ‎(本小题满分12分) 如图一，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，M为侧棱PD上一点，且该四棱锥的俯视图和侧视图如图二所示． (Ⅰ)证明：平面PBC⊥平面PBD； (Ⅱ)求二面角A－BM－C的余弦值． A B C D P M 图一 ‎2‎ ‎ ‎ ‎4‎ ‎1‎ ‎3‎ 俯视图 侧视图 图二 ‎ 3. ‎(本小题满分12分) 动点P 到定点F(0，1)的距离比它到直线的距离小1，设动点P的轨迹为曲线C，过点F的直线交曲线C于A、B两个不同的点，过点A、B分别作曲线C的切线，且二者相交于点M． (Ⅰ)求曲线C的方程； (Ⅱ)求证：； (Ⅲ)求△ABM的面积的最小值． ‎ 1. ‎(本小题满分12分) 定义在R上的函数f (x)满足. (Ⅰ)求函数f (x)的解析式； (Ⅱ)求函数g (x)的单调区间； (Ⅲ)如果s、t、r满足，那么称s比t更靠近r．当a≥2且x≥1时，试比较和哪个更靠近lnx，并说明理由． ‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。‎ 2. ‎(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：，过点的直线l的参数方程为： (t为参数)，直线l与曲线C分别交于M、N两点． (Ⅰ)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程； (Ⅱ)若| PM |，| MN |，| PN |成等比数列，求a的值． ‎ 1. ‎(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数． (Ⅰ)解不等式； (Ⅱ)已知(m，n > 0)，若恒成立，求实数a的取值范围．‎ 数学(理工类)参考答案及评分标准 说明 ‎1．本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分。‎ ‎2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅。当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数的一半，如果有较严重的概念性错误，就不给分。‎ ‎3．解答题中右端所标注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题分数。‎ 一．选择题：DCBAC　ADDBC　AB 二．填空题：13．20　　14．　　15．1 　　16．①②‎ 三．解答题：‎ ‎17．(Ⅰ)解：当n≥2时， 2分 当n = 1时， ∴ 4分 ‎(Ⅱ)解：令 当n = 1时， 5分 当n≥2时， 7分 8分 两式相减得：‎ ‎ 9分 　　　　　　 　 ∴ (n≥2) 11分 综上，． 12分 ‎18．(Ⅰ)解：由得： 2分 即 4分 ∵A、B、C是△ABC的内角，∴ 因此，，又，故 6分 由得： 7分 ∴ 8分 A B C D P M x y z ‎(Ⅱ)解：由得： 9分 由正弦定理得：，∴ 11分 在△BCD中， ∴CD = 13． 12分 ‎19．(Ⅰ)证：由俯视图可得 ∴BC⊥BD 1分 又PD⊥平面ABCD，∴BC⊥PD 2分 而PD∩BD＝D，故BC⊥平面PBD 3分 ∵BC⊂平面PBC ∴平面PBC⊥平面PBD． 4分 ‎(Ⅱ)解：由侧视图可得MD = 3 由俯视图及ABCD是直角梯形得： 5分 ∴ 6分 以为x轴、y轴、z轴建立的空间直角坐标系D－xyz，则 D(0，0，0)，A(，0，0)，B(，1，0)，C(0，4，0)，M(0，0，3) ‎ 设平面AMB的法向量为n1 = (x1，y1，z1)，则，即 令，则，∴是平面AMB的一个法向量 8分 设平面BMC的法向量为n2 = (x2，y2，z2)，则，即 令x2 = 3，则，∴是平面BMC的一个法向量 10分 又由图可知，二面角A－BM－C为钝二面角 ∴二面角A－BM－C的余弦值为． 12分 ‎20．(Ⅰ)解：由已知，动点P在直线上方，条件可转化为动点P到定点F(0，1)的距离等于它到直线距离 1分 ∴动点P的轨迹是以F(0，1)为焦点，直线为准线的抛物线 故其方程为． 2分 ‎(Ⅱ)证：设直线AB的方程为： 由得： 3分 设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则 4分 由得：，∴ ∴直线AM的方程为：　① 5分 直线BM的方程为：　② 6分 ①－②得：，即 7分 将代入①得： ∴ 故 9分 ∴ ∴ 10分 ‎(Ⅲ)解：由(Ⅱ)知，点M到AB的距离 ∵ ‎ ‎∴ ∴当k = 0时，△ABM的面积有最小值4． 12分 ‎21．(Ⅰ)解： ∴，故f (0) = 1 又，∴ 因此 2分 ‎(Ⅱ)解：∵ ∴ ∴ 4分 ①当a≤0时，，函数g (x)在R上单调递增； ②当a > 0时，由得： ∴时，，g (x)单调递减 时，，g (x)单调递增 综上，当a≤0时，函数g (x)的单调递增区间为； 当a > 0时，函数g (x)的单调递增区间为，单调递减区间为． 6分 ‎(Ⅲ)解：， ∵，∴p(x)在[1，＋∞)上为减函数 又p(e) = 0，∴当1≤x≤e时，p(x)≥0，当x > e时，p(x) < 0 7分 ∵， ∴在[1，＋∞)上为增函数，又 ∴x∈[1，＋∞)时，，故q(x)在[1，＋∞)上为增函数 ∴q(x)≥q(1)＝a＋1>0 8分 ①当1≤x≤e时， 设，则 ∴h (x)在[1，＋∞)上为减函数 ∴h (x)≤m(1)＝e－1－a ∵a≥2，∴h (x) < 0，∴| p(x) | < | q(x) | ∴比更靠近ln x； 10分 ②当x > e时， 设，则， ‎ ‎∴在x > e时为减函数，∴ ∴r (x)在x > e时为减函数的，∴ ∴| p (x) | < | q (x) | ∴比更靠近ln x． 综上：当a≥2且x≥1时，比更靠近ln x． 12分 ‎22．(Ⅰ)解：由得： ∴曲线C的直角坐标方程为：(a > 0) 2分 由消去参数t得直线l的普通方程为 4分 ‎(Ⅱ)解：将直线l的参数方程代入中得： 6分 设M、N两点对应的参数分别为t1、t2，则有 8分 ∵，∴ 即，解得． 10分 ‎23．(Ⅰ)解：不等式可化为：　　① 当时，①式为，解得； 2分 当，①式为，解得； 4分 当x > 1时，①式为，无解． 综上所述，不等式的解集为． 6分 ‎(Ⅱ)解： 令 ∴时， 8分 ‎ 要使不等式恒成立，只需，即 ∴实数a取值范围是． 10分