- 142.00 KB
- 2023-09-14 发布
21.1 一元二次方程
学校：___________姓名：___________班级：___________
一．选择题（共12小题）
1．关于x的方程（a﹣1）x|a|+1﹣3x+2=0是一元二次方程，则（ ）
A．a≠±1 B．a=1 C．a=﹣1 D．a=±1
2．下列方程中，一元二次方程是（ ）
A．x2+x+1=0 B．ax2+bx=0
C．x2+=0 D．3x2﹣2xy﹣5y2=0
3．方程2x2﹣6x=9的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）
A．6，2，9 B．2，﹣6，9 C．2，﹣6，﹣9 D．﹣2，6，9
4．一元二次方程（x+3）（x﹣3）=5x的一次项系数是（ ）
A．﹣5 B．﹣9 C．0 D．5
5．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣3m+2=0的常数项为0，则m等于（ ）
A．0 B．1 C．2 D．1或2
6．将方程x2﹣1=5x化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数、常数项分别是（ ）
A．﹣5、﹣1 B．一5、1 C．5、﹣1 D．5、1
7．若2﹣是方程x2﹣4x+c=0的一个根，则c的值是（ ）
A．1 B． C． D．
8．若n（n≠0）是关于x的方程x2+mx+2n=0的一个根，则m+n的值是（ ）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
9．下列说法不正确的是（ ）
A．方程x2=x有一根为0
B．方程x2﹣1=0的两根互为相反数
C．方程（x﹣1）2﹣1=0的两根互为相反数
D．方程x2﹣x+2=0无实数根
10．已知α、β是方程x2﹣2x﹣4=0的两个实数根，则α3+8β+6的值为（ ）
A．﹣1 B．2 C．22 D．30
11．在数1、2、3和4中，是方程x2+x﹣12=0的根的为（ ）
10
A．1 B．2 C．3 D．4
12．m是方程x2+x﹣1=0的根，则式子2m2+2m+2016的值为（ ）
A．2013 B．2016 C．2017 D．2018
二．填空题（共8小题）
13．已知2x|m|﹣2+3=9是关于x的一元二次方程，则m= ．
14．关于x的方程是（m2﹣1）x2+（m﹣1）x﹣2=0，那么当m 时，方程为一元二次方程；当m 时，方程为一元一次方程．
15．一元二次方程3x（x﹣3）=2x2+1化为一般形式为 ．
16．一元二次方程（2+x）（3x﹣4）=5的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ．
17．若关于x的一元二次方程x2+mx+2n=0有一个根是2，则m+n= ．
18．若m是方程2x2﹣3x﹣1=0的一个根，则6m2﹣9m+2015的值为 ．
19．已知x=2是关于x的一元二次方程kx2+（k2﹣2）x+2k+4=0的一个根，则k的值为 ．
20．已知2是关于x的方程：x2﹣2mx+3m=0的一个根，而这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，则△ABC的周长是 ．
三．解答题（共3小题）
21．阅读下列材料：
（1）关于x的方程x2﹣3x+1=0（x≠0）方程两边同时乘以得：即，，
（2）a3+b3=（a+b）（a2﹣ab+b2）；a3﹣b3=（a﹣b）（a2+ab+b2）．
根据以上材料，解答下列问题：
（1）x2﹣4x+1=0（x≠0），则= ， = ， = ；
（2）2x2﹣7x+2=0（x≠0），求的值．
10
22．已知x=1是关于x的一元二次方程x2﹣4mx+m2=0的根，求代数式
2m（m﹣2）﹣（m+）（m﹣）的值．
23．已知：关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+3m+2=0．
（1）已知x=2是方程的一个根，求m的值；
（2）以这个方程的两个实数根作为△ABC中AB、AC（AB＜AC）的边长，当BC=时，△ABC是等腰三角形，求此时m的值．
10
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．
解：由题意可知：
∴a=﹣1
故选：C．
2．
解：A、x2+x+1=0，只含有一个未知数x，未知数的最高次数是2，二次项系数不为0，是一元二次方程，符合题意；
B、ax2+bx=0（a≠0），是方程，不符合题意；
C、x2+=0为分式方程，不符合题意；
D、3x2﹣2xy﹣5y2=0含有2个未知数，不符合题意；
故选：A．
3．
解：∵方程2x2﹣6x=9化成一般形式是2x2﹣6x﹣9=0，
∴二次项系数为2，一次项系数为﹣6，常数项为﹣9．
故选：C．
4．
解：化为一般式，得
x2﹣5x﹣9=0，
一次项系数为﹣5，
故选：A．
5．
10
解：∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣3m+2=0的常数项为0，
∴m2﹣3m+2=0，m﹣2≠0，
解得：m=1．
故选：B．
6．
解：x2﹣1=5x化为一元二次方程的一般形式x2﹣5x﹣1=0，
一次项系数、常数项分别是﹣5，﹣1，
故选：A．
7．
解：把2﹣代入方程x2﹣4x+c=0，得（2﹣）2﹣4（2﹣）+c=0，
解得c=1；
故选：A．
8．
解：把x=n代入方程x2+mx+2n=0得n2+mn+2n=0，
因为n≠0，
所以n+m+2=0，
则m+n=﹣2．
故选：D．
9．
解：A、x2=x，移项得：x2﹣x=0，因式分解得：x（x﹣1）=0，
解得x=0或x=1，所以有一根为0，此选项正确；
B、x2﹣1=0，移项得：x2=1，直接开方得：x=1或x=﹣1，所以此方程的两根互为相反数，此选项正确；
C、（x﹣1）2﹣1=0，移项得：（x﹣1）2=1，直接开方得：x﹣1=1或x﹣1=﹣1，解得x=2或x=0，两根不互为相反数，此选项错误；
D、x2﹣x+2=0，找出a=1，b=﹣1，c=2，则△=1﹣8=﹣7＜
10
0，所以此方程无实数根，此选项正确．
所以说法错误的选项是C．
故选：C．
10．
解：方法一：
方程x2﹣2x﹣4=0解是x=，即x=1±，
∵α、β是方程x2﹣2x﹣4=0的两个实数根，
∴①当α=1+，β=1﹣时，
α3+8β+6，
=（1+）3+8（1﹣）+6，
=16+8+8﹣8+6，
=30；
②当α=1﹣，β=1+时，
α3+8β+6，
=（1﹣）3+8（1+）+6，
=16﹣8+8+8+6，
=30．
方法二：
∵α、β是方程x2﹣2x﹣4=0的两个实数根，
∴α+β=2，α2﹣2α﹣4=0，
∴α2=2α+4
∴α3+8β+6=α•α2+8β+6
=α•（2α+4）+8β+6
=2α2+4α+8β+6
=2（2α+4）+4α+8β+6
=8α+8β+14
=8（α+β）+14=30，
故选：D．
10
11．
解：方程左边因式分解得：（x+4）（x﹣3）=0，
得到：x+4=0或x﹣3=0，
解得：x=﹣4或x=3，
故选：C．
12．
解：∵m是方程x2+x﹣1=0的根，
∴m2+m﹣1=0，
∴m2+m=1，
∴2m2+2m+2016=2（m2+m）+2016=2×1+2016=2018．
故选：D．
二．填空题（共8小题）
13．
解：由题意可得|m|﹣2=2，
解得，m=±4．
故答案为：±4．
14．
解：若方程是一元二次方程，则：
m2﹣1≠0
∴m≠±1
若方程是一元一次方程，则：
m2﹣1=0且m﹣1≠0
∴m=﹣1．
故答案分别是：m≠±1，m=﹣1．
15．
10
解：一元二次方程3x（x﹣3）=2x2+1化为一般形式为x2﹣9x﹣1=0，
故答案为：x2﹣9x﹣1=0．
16．
解：方程（2+x）（3x﹣4）=5整理为一般式可得3x2+2x﹣13=0，
∴二次项系数是3，一次项系数是2，常数项是﹣13，
故答案为：3、2、﹣13．
17．
解：∵2（n≠0）是关于x的一元二次方程x2+mx+2n=0的一个根，
∴4+2m+2n=0，
∴n+m=﹣2，
故答案为：﹣2．
18．
解：由题意可知：2m2﹣3m﹣1=0，
∴2m2﹣3m=1
∴原式=3（2m2﹣3m）+2015=2018
故答案为：2018
19．
解：把x=2代入kx2+（k2﹣2）x+2k+4=0得4k+2k2﹣4+2k+4=0，
整理得k2+3k=0，解得k1=0，k2=﹣3，
因为k≠0，
所以k的值为﹣3．
故答案为﹣3．
20．
解：把x=2代入方程得4﹣4m+3m=0，解得m=4，
则原方程为x2﹣8x+12=0，解得x1=2，x2=6，
10
因为这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，
所以△ABC的腰为6，底边为2，则△ABC的周长为6+6+2=14．
故答案为14．
三．解答题（共3小题）
21．
解；（1）∵x2﹣4x+1=0，
∴x+=4，
∴（x+）2=16，
∴x2+2+=16，
∴x2+=14，
∴（x2+）2=196，
∴x4++2=196，
∴x4+=194．
故答案为4，14，194．
（2）∵2x2﹣7x+2=0，
∴x+=，x2+=，
∴=（x+）（x2﹣1+）=×（﹣1）=．
22．
解：原式=2m2﹣4m﹣（m2﹣3）
=2m2﹣4m﹣m2+3
=m2﹣4m+3，
∵x=1是关于x的一元二次方程x2﹣4mx+m2=0的根，
∴1﹣4m+m2=0，即m2﹣4m=﹣1，
∴原式=﹣1+3=2．
10
23．
解：（1）∵x=2是方程的一个根，
∴4﹣2（2m+3）+m2+3m+2=0，
∴m=0或m=1；
（2）∵△=（2m+3）2﹣4（m2+3m+2）=1，
=1；
∴x=
∴x1=m+2，x2=m+1，
∵AB、AC（AB＜AC）的长是这个方程的两个实数根，
∴AC=m+2，AB=m+1．
∵BC=，△ABC是等腰三角形，
∴当AB=BC时，有m+1=，
∴m=﹣1；
当AC=BC时，有m+2=，
∴m=﹣2，
综上所述，当m=﹣1或m=﹣2时，△ABC是等腰三角形．
10