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- 2023-08-17 发布
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第二十一章 一次函数
教学目标
1.能根据具体问题中的数量关系和变化规律体会一次函数的意义，并根据已知条件确定一次函数的表达式。
2.会画一次函数图象，根据一次函数图象和解析表达式理解其性质。
3.能运用类比思想比较一次函数和正比例函数的异同点，初步体会数形结合思想，并能运用数形结合的方法解决有关实际问题，并尝试用函数的方法描述有关实际问题，对变量的变化规律进行初步预测。
一、本章知识梳理
1.一般的若（，是常数，且），那么叫做的一次函数，
当b=0时，一次函数y=kx也叫正比例函数。
2. 正比例函数（）是一次函数的特殊形式,当x=0时，y=0,故正比例函数图像过原点（0,0).
3. 一次函数的图像和性质：
一次
函数
()
，
符号
图象
性质
随的增大而增大
随的增大而减小
说明：（1）与坐标轴交点（0，b）和（-，0）, b的几何意义：_____________________
（2）增减性： k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小.
（3）倾斜度：|k|越大，图象越接近于y轴；|k|越小，图象越接近于x轴。[来源:学.科.网Z.X.X.K]
（4）图像的平移： 当b>0时，将直线y=kx的图象向上平移b个单位可得y=kx+b的图像；
当b<0时，将直线y=kx的图象向下平移个单位可得y=kx+b的图像.
4.直线b1=k1x+b1与直线y2=k2x+b2（k1≠0 ，k2≠0）的位置关系．
①k1≠k2y1与y2相交；
②y1与y2相交于y轴上同一点（0，b1）或（0，b2）；
③y1与y2平行；
④y1与y2重合.
5.一次函数解析式的确定，主要有三种方法：
(1)由已知函数推导或推证
(2)由实际问题列出二元方程，再转化为函数解析式。
(3)用待定系数法求函数解析式。 [来源:学,科,网]
二、典例精析
题型一：一次函数的概念
例1.已知函数y=(m-2)+3,当m为何值时，y是x的一次函数？
解析：根据一次函数的定义，x的次数必须为1，系数不为0，即可求出m的值。
练习：1.已知函数y=(m-1)x+m是一次函数，求m的范围。
2.已知函数y=(k-1)x+k-1,当k____________时，它是一次函数，当k__________时，它是正比例函数。
答案：1.m≠1 2. ≠1, -1
题型二：一次函数的图像与性质
例2.对于一次函数y=﹣2x+4，下列结论错误的是（ ）
A． 函数值随自变量的增大而减小
B． 函数的图象不经过第三象限
C． 函数的图象向下平移4个单位长度得y=﹣2x的图象
D． 函数的图象与x轴的交点坐标是（0，4）
解析：这是探究型题目，考查一次函数的性质；一次函数图象与几何变换。
分别根据一次函数的性质及函数图象平移的法则进行解答即可．
答：选D
A．∵一次函数y=﹣2x+4中k=﹣2＜0，∴函数值随x的增大而减小，故本选项正确；
B．∵一次函数y=﹣2x+4中k=﹣2＜0，b=4＞0，∴此函数的图象经过一．二．四象限，不经过第三象限，故本选项正确；
C．由“上加下减”的原则可知，函数的图象向下平移4个单位长度得y=﹣2x的图象，故本选项正确；
D．∵令y=0，则x=2，∴函数的图象与x轴的交点坐标是（2，0），故本选项错误．
练习：1.如图，两直线和在同一坐标系内图象的位置可能是（ ）
2.一次函数y=kx+2经过点（1，1），那么这个一次函数（ ）B
（A）y随x的增大而增大 （B）y随x的增大而减小
（C）图像经过原点 （D）图像不经过第二象限
3.如果，，则直线不通过（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
题型三：一次函数解析式和图象的确定
例3.直线与x轴交于点A（-4，0），与y轴交于点B，若点B到x轴的距离为2，求直线的解析式。
分析：确定一次函数解析式问题，用待定系数法，同时要寻求隐含条件，从而确定k和b的值。
解 ∵点B到x轴的距离为2， ∴点B的坐标为（0，±2），
设直线的解析式为y=kx±2,
∵直线过点A（-4，0）， ∴0=-4k±2,
解得：k=±, ∴直线AB的解析式为y=x+2或y=-x-2.
例4.小明骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，但行至中途时，自行车出了故障，只好停下来修车，车修好后，因怕耽误上课，他比修车前加快了速度继续匀速行驶，下面是行驶路程s（m）关于时间t（min）的函数图象，那么符合小明行驶情况的大致图象是（ ）
A．
B．
C．[来源:学_科_网Z_X_X_K]
D．
答：选C．
练习：
1. 如图，直线AB与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，﹣2）．
（1）求直线AB的解析式
（2）若直线AB上的点C在第一象限，且S△BOC=2，求点C的坐标．
分析：
待定系数法求一次函数解析式。本题考查了待定系数法求函数解析式，解答此题不仅要熟悉函数图象上点的坐标特征，还要熟悉三角形的面积公式
解答：
解：（1）直线AB的解析式为y=2x﹣2．
（2）点C的坐标是（2，2）．
2.周一的升旗仪式上，同学们看到匀速上升的旗子，能反应其高度与时间关系的图象大致是（ D ）
A．
B．
C．
D．
分析：本题是一次函数的应用题，考查了函数图象，根据题意判断出旗子的高度与时间是一次函数关系，并且随着时间的增大高度在不断增大是解题的关键.
题型四：一次函数的实际应用
例5.随着人们生活水平的提高，轿车已进入平常百姓家，我市家庭轿车的拥有量也逐年增加．某汽车经销商计划用不低于228万元且不高于240万元的资金订购30辆甲、乙两种新款轿车．两种轿车的进价和售价如下表：
类别
甲
乙
进价（万元/台）
10.5
6
售价（万元/台）
11.2
6.8
（1）请你帮助经销商算一算共有哪几种进货方案？
（2）如果按表中售价全部卖出，哪种进货方案获利最多？并求出最大利润．
（注：其他费用不计，利润=售价﹣进价）
考点：一次函数的应用；一元一次不等式组的应用。
分析：（1）设购进甲款轿车x辆，则购进乙款轿车（30﹣x）辆，根据：用不低于228万元且不高于240万元的资金订购30辆甲、乙两种新款轿车，列不等式组，求x的取值范围，再求正整数x的值，确定方案；
（2）根据：利润=（售价﹣进价）×辆数，总利润=甲轿车的利润+乙轿车的利润，列出函数关系式，根据x的取值范围求最大利润．
解：（1）设购进甲款轿车x辆，则购进乙款轿车（30﹣x）辆，依题意，得[来源:学#科#网]
228≤10.5x+6（30﹣x）≤240，
解得10≤x≤13，∴整数x=11，12，13，[来源:Z§xx§k.Com]
有三种进货方案：购进甲款轿车11辆，购进乙款轿车19辆；
购进甲款轿车12辆，购进乙款轿车18辆；
购进甲款轿车13辆，购进乙款轿车17辆．
（2）设总利润为W（万元），则W=（11.2﹣10.5）x+（6.8﹣6）（30﹣x）=﹣0.1x+24，
∵﹣0.1＜0，W随x的减小而增大，
∴当x=11时，即购进甲款轿车11辆，购进乙款轿车19辆，利润最大，
最大利润为W=﹣0.1×11+24=22.9万元．
点评：本题考查了一次函数的应用．关键是明确进价，售价，购进费用，销售利润之间的关系，利用一次函数的增减性求解．
三．师生小结
1.熟悉一次函数的一般形式，会判断一次函数。
2.一次函数的图像和性质是中考重点。
3.用待定系数法求一次函数的解析式的方法可归纳为：一设、二列、三解、四还原。
4.会简单的一次函数应用题：（1）建立函数数学模型的方法;(2)分段函数思想的应用。
