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- 2023-07-03 发布
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11.2.1 三角形内角和定理
学校:___________姓名:___________班级:___________
一.选择题(共12小题)
1.如图,在△ABC中,CD平分∠ACB交AB于点D,过点D作DE∥BC交AC于点E.若∠A=54°,∠B=48°,则∠CDE的大小为( )
A.44° B.40° C.39° D.38°
2.在下列条件中:①∠A+∠B=∠C;②∠A:∠B:∠C=1:2:3;③∠A=90°﹣∠B;④∠A=∠B=∠C中,能确定△ABC是直角三角形的条件有( )
A.①② B.③④ C.①③④ D.①②③
3.已知,在△ABC中,∠A=60°,∠C=80°,则∠B=( )
A.60° B.30° C.20° D.40°
4.有一个外角等于120°,且有两个内角相等的三角形是( )
A.不等边三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.不能确定
5.三角形三个内角的度数分别是(x+y)°,(x﹣y)°,x°,且x>y>0,则该三角形有一个内角为( )
A.30° B.45° C.90° D.60°
6.在△ABC中,∠A=25°,∠B=63°,则△ABC的形状是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
7.如图,将△ABC纸片沿DE折叠,使点A落在四边形BCDE外点A'的位置,则下列结论正确的是( )
A.∠1+∠2=∠A B.∠1+∠2=2∠A C.∠1﹣∠2=∠A D.∠1﹣∠2=2∠A
13
8.在下列条件中:①∠A+∠B=∠C;②∠A=∠B=2∠C;③∠A:∠B:∠C=1:2:3,能确定△ABC为直角三角形的条件有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.0个
9.如图,△ABC中,∠A=60°,将△ABC沿DE翻折后,点A落在BC上的点A′处,如果∠A′EC=70°,则∠A′DE的度数为( )
A.50° B.60° C.75° D.65°
10.如果三角形的三个内角的度数比是2:3:4,则它是( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.钝角或直角三角形
11.如图,在△ABC中,以点B为圆心,以BA长为半径画弧交边BC于点D,连接AD,若∠B=30°,∠C=40°,则∠DAC的度数是( )
A.25° B.35° C.45° D.75°
12.一个缺角的三角形ABC残片如图所示,量得∠A=45°,∠B=60°,则这个三角形残缺前的∠C的度数为( )
A.75° B.65° C.55° D.45°
二.填空题(共8小题)
13.在△ABC中,若∠A=78°,∠B=57°,则∠C= .
14.已知三角形的三个内角的度数比为2:3:4,则这个三角形三个内角的度数为 .
13
15.一个三角形的三个内角中最多有 个钝角(或直角).
16.在△ABC中,∠C=60°,∠A=2∠B,则∠A= .
17.如图,在△ABC中,AD是角平分线,AE是高,已知∠BAC=2∠B,∠B=2∠DAE,那么∠ACB= (度).
18.在直角△ABC中,∠C=90°,沿图中虚线剪去∠C,则∠1+∠2= .
19.如图,是一个不规则的五角星,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= .(用度数表示)
20.如图,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线交于点O,若∠A=80°,则∠BOC= .
三.解答题(共4小题)
21.如图,已知DF⊥AB于点F,且∠A=45°,∠D=30°,求∠ACB的度数.
13
22.如图,在△ABC中,∠A=50°,过点C作CD∥AB,若CB平分∠ACD,求∠B的度数.
23.如图,在△ABC中,∠B=30°,∠C=50°,AE是∠BAC的平分线,AD是高.
(1)求∠BAE的度数;
(2)求∠EAD的度数;
(3)△ABC中,若∠B=α,∠C=β(α<β),请你根据(1)问的结果大胆猜想∠DAE与α,β间的等量关系,并说明理由.
13
24.如图,△ABC中AD是BC边上的高,AE是∠BAC的平分线,∠B=50°,∠C=70°.
(1)∠BAC= °;
(2)求∠DAE的度数.
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参考答案与试题解析
一.选择题(共12小题)
1.
解:∵∠A=54°,∠B=48°,
∴∠ACB=180°﹣54°﹣48°=78°,
∵CD平分∠ACB交AB于点D,
∴∠DCB=78°=39°,
∵DE∥BC,
∴∠CDE=∠DCB=39°,
故选:C.
2.
解:①因为∠A+∠B=∠C,则2∠C=180°,∠C=90°,所以△ABC是直角三角形;
②因为∠A:∠B:∠C=1:2:3,设∠A=x,则x+2x+3x=180,x=30°,∠C=30°×3=90°,所以△ABC是直角三角形;
③因为∠A=90°﹣∠B,所以∠A+∠B=90°,则∠C=180°﹣90°=90°,所以△ABC是直角三角形;
④因为∠A=∠B=∠C,所以三角形为等边三角形.
所以能确定△ABC是直角三角形的有①②③共3个.
故选:D.
3.
解:∵在△ABC中,∠A=60°,∠C=80°,
∴∠B=180°﹣60°﹣80°=40°.
故选:D.
4.
13
解:当∠BAC的外角是120°时,
则∠BAC=60°,
∠B=∠C=(180°﹣∠BAC)=60°,
即∠BAC=∠B=∠C,
所以△ABC是等边三角形;
当∠ABC的外角是120°时,∠ABC=60°,
即∠C=∠ABC=60°,
∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°,
∴∠BAC=60°,
∴∠BAC=∠B=∠C,
∴△ABC是等边三角形;
同样当∠ACB的外角是120°,也能推出△ABC是等边三角形;
故选:C.
5.
解:∵三个内角的度数分别是(x+y)°,(x﹣y)°,x°,三角形内角和为180°,
∴x+y+x﹣y+x=180,
∴3x=180,
x=60,
故选:D.
6.
解:∵△ABC中,∠A=25°,∠B=63°,
∴∠C=180°﹣25°﹣63°=92°,
∴△ABC是钝角三角形.
故选:C.
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7.
解:∵△A′DE是△ADE沿DE折叠得到,
∴∠A′=∠A,
∵∠1=∠A+∠3,∠3=∠A′+∠2,
∴∠1=∠A+∠A′+∠2,
∴∠1﹣∠2=2∠A,
故选:D.
8.
解:∵∠A+∠B+∠C=180°,
∴若 ①∠A+∠B=∠C,则∠C=90°.三角形为直角三角形;
②∠A=∠B=2∠C,则∠A=∠B=72°,∠C=36°.三角形不是直角三角形;
③∠A﹕∠B﹕∠C=1﹕2﹕3,则∠A=30°,∠B=60°,∠C=90°.三角形为直角三角形;
故选B.
9.
解:∵∠AEA′=180°﹣∠A′EC=180°﹣70°=110°,
又∵∠A′ED=∠AED=∠AEA′=55°,∠DA′E=∠A=60°,
∴∠A′DE=180°﹣∠A′ED﹣∠DA′E=180°﹣55°﹣60°=65°.
故选:D.
10.
解:设三个内角分别为2k、3k、4k,
则2k+3k+4k=180°,
13
解得k=20°,
所以,最大的角为4×20°=80°,
所以,三角形是锐角三角形.
故选:A.
11.
解:∵AB=BD,∠B=30°,
∴∠ADB=75°,
∵∠C=40°,
∴∠DAC=∠ADB﹣∠C=75°﹣40°=35°.
故选:B.
12.
解:∵∠A+∠B+∠C=180°,
∴∠C=180°﹣(∠A+∠B)=180°﹣(45°+60°)=75°,
故选:A.
二.填空题(共8小题)
13.
解:由题可得,
∠C=180﹣∠A﹣∠B
=180°﹣78°﹣57°
=45°,
故答案为:45°.
14.
解:根据三角形的内角和定理,得
三个内角分别是180°×=40°,180°×=60°,180°×=80°.
13
15.
解:假设三角形中,出现2个或3个钝角,那么三角形的内角和就大于180°,不符合三角形内角和是180°,因而假设不成立,
所以一个三角形中最多有一个钝角.
故答案为:1.
16.
解:设∠A=2x,则∠B=x,
由三角形内角和等于180°,得:2x+x+60°=180°,
解得x=40°.
∴∠A=2x=2×40°=80°.
故答案为:80°.
17.
解:由题意可得∠DAE=∠BAC﹣(90°﹣∠C),
又∠BAC=2∠B,∠B=2∠DAE,
∴90°﹣2∠B=∠B,
则∠B=36°,
∴∠BAC=2∠B=72°,
∴∠ACB=180°﹣36°﹣72°=72°.
故答案为72
18.
解:∵∠A+∠B+∠C=180°,
∴∠A+∠B=180°﹣∠C=90°,
∵∠1+∠2+∠A+∠B=360°,
∴∠1+∠2=360°﹣90°=270°.
故答案是:270°.
13
19.
解:如右图所示,
∵∠1=∠C+∠2,∠2=∠A+∠D,
∴∠1=∠C+∠A+∠D,
又∵∠1+∠B+∠E=180°,
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.
故答案是:180°.
20.
解:∵在△ABC中,∠A=80°,
∴∠ABC+∠ACB=180°﹣80°=100°,
∵∠ABC和∠ACB的平分线交于O点,
∴∠OBC+∠OCB=(∠ABC+∠ACB)=×100°=50°,
∴∠BOC=180°﹣(∠OBC+∠OCB)=180°﹣50°=130°.
故答案为:130°.
三.解答题(共4小题)
21.
解:∵DF⊥AB于点F,
∴∠AFE=90°,
∵∠A=45°,
∴∠AEF=45°,
∴∠CED=∠AEF=45°.
∴∠ACB=∠D+∠CED=30°+45°=75°.
22.
13
解:∵∠A+∠B+∠ACB=180°,∠A=50°,
∴∠B+∠ACB=130°.
∵CD∥AB,
∴∠DCB=∠B.
∵CB平分∠ACD,
∴∠DCB=∠ACB,
∴∠ACB=∠B,
∴2∠B=130°,
∴∠B=65°.
23.
解:(1)∵∠B=30°,∠C=50°,
∴∠BAC=180°﹣30°﹣50°=100°.
又∵AE是∠BAC的平分线,
∴∠BAE=∠BAC=×100°=50°.
(2)∵∠B=30°,AD⊥BC,
∴∠BAD=90°﹣30°=60°,
∴∠EAD=∠BAD﹣∠BAE=60°﹣50°=10°.
(3)∠DAE=(β﹣α),理由如下:
∵∠B=α,∠C=β,
∴∠BAC=180°﹣α﹣β.
又∵AE是∠BAC的平分线,
∴∠BAE=∠BAC=90°﹣(α+β).
∵∠BAD=90°﹣∠B=90°﹣α,
∴∠DAE=∠BAD﹣∠BAE=90°﹣α﹣[90°﹣(α+β)]=(β﹣α).
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24.
解:(1)∵∠B=50°,∠C=70°,
∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=60°
故答案为:60°
(2)∵AE是∠BAC的平分线,∠BAC=60°
∴∠BAE=30°
∴∠AEB=180°﹣∠B﹣∠BAE
=100°
∵AD是BC边上的高,
∴∠ADE=90°
∴∠DAE=∠AEB﹣∠ADE
=100°﹣90°
=10°
答:∠DAE的度数是10°.
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