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- 2023-06-14 发布
[1.2 第3课时 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象及特征]
一、选择题
1．抛物线y＝2x2＋4x＋5的顶点坐标为( )
A．(1，3) B．(1，－3)
C．(－1，－3) D．(－1，3)
2．2017·宁波抛物线y＝x2－2x＋m2＋2(m是常数)的顶点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．如果抛物线y＝x2－ax＋1的对称轴是y轴，那么a的值为( )
A．0 B．－2 C．2 D．±2
4．2017·淄博将二次函数y＝x2＋2x－1的图象沿x轴向右平移2个单位，得到的函数表达式是( )
A．y＝(x＋3)2－2 B．y＝(x＋3)2＋2
C．y＝(x－1)2＋2 D．y＝(x－1)2－2
5．已知点A(－3，7)在抛物线y＝x2＋4x＋10上，则点A关于抛物线的对称轴的对称点的坐标为( )
A．(0，7) B．(－1，7)
C．(－2，7) D．(－3，7)
6．设计师以二次函数y＝2x2－4x＋8的图象为灵感设计的杯子如图K－4－1所示．若AB＝4，DE＝3，则杯子的高CE为( )
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图K－4－1
A．17 B．11
C．8 D．7
二、填空题
7．若抛物线y＝x2＋(a－4)x＋c的顶点在y轴上，则a的值为________．
8．若某条抛物线的顶点坐标为(－3，5)，形状大小、开口方向与抛物线y＝2x2－1完全相同，则此抛物线的函数表达式为____________．
9．抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－3，0)，对称轴是直线x＝－1，则a＋b＋c＝________．
10．用描点法画二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象时，列出了如下表格：
x
…
1
2
3
4
…
y＝ax2＋bx＋c
…
0
－1
0
3
…
那么该二次函数在x＝0时，y＝________．
三、解答题
11．若二次函数y＝ax2＋2x＋a2－1(a≠0)的图象如图K－4－2所示，求a的值．
图K－4－2
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12．已知抛物线y＝x2＋4x＋5.
(1)求其顶点坐标及对称轴；
(2)请说明如何平移才能得到抛物线y＝x2.
13．下表给出了某个二次函数的一些取值情况：
x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
3
0
－1
0
3
…
(1)请在直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
(2)根据图象说明：当x取何值时，y的值大于0?
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14．当一枚火箭被竖直向上发射时，它的高度h(米)与时间t(秒)的关系可以用h＝－5t2＋150t＋10表示，经过多长时间，火箭到达它的最高点？最高点的高度是多少？
15．已知抛物线y＝x2－2 x＋a2的顶点到x轴的距离为2.
(1)求a的值；
(2)该抛物线通过怎样的平移后经过原点？
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16．如图K－4－3，已知抛物线y＝x2－2x＋a的顶点A在直线y＝－x＋3上，直线y＝－x＋3与x轴的交点为B，O为直角坐标系的原点．
(1)求点B的坐标与a的值；
(2)求△AOB的面积．
图K－4－3
17．如图K－4－4，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－2，－4)，O(0，0)，B(2，0)三点．
(1)求抛物线y＝ax2＋bx＋c的表达式；
(2)若M是该抛物线对称轴上的一点，求AM＋OM的最小值．
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图K－4－4
思维拓展如图K－4－5，已知二次函数y1＝ax2＋bx的图象过(－2，4)，(－4，4)两点．
(1)求二次函数y1的表达式；
(2)将抛物线y1沿x轴翻折，再向右平移2个单位，得到抛物线y2，直线y＝m(m＞0)交抛物线y2于M，N两点．求线段MN的长度(用含m的代数式表示)．
图K－4－5
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详解详析
[课堂达标]
1．[答案] D
2．[解析] A 抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标为，∵－＝－＝1＞0，＝＝m2＋1＞0，故此抛物线的顶点在第一象限．故选A.
3．[解析] A ∵抛物线y＝x2－ax＋1的对称轴是y轴，
∴－＝－＝0，解得a＝0.故选A.
4．[解析] D 二次函数y＝x2＋2x－1＝(x＋1)2－2，其图象沿x轴向右平移2个单位后，得到的函数表达式为y＝(x－2＋1)2－2＝(x－1)2－2.
5．[解析] B 抛物线的对称轴为直线x＝－＝－2，
设点A关于抛物线对称轴的对称点的坐标为(x，7)，则＝－2，解得x＝－1，
所以点A关于抛物线的对称轴的对称点的坐标为(－1，7)．故选B.
6．解析] B ∵y＝2x2－4x＋8＝2(x－1)2＋6，∴抛物线的顶点D的坐标为(1，6)．
∵AB＝4，∴点B的横坐标为x＝3.
把x＝3代入y＝2x2－4x＋8，得到y＝14，
∴CD＝14－6＝8，
∴CE＝CD＋DE＝8＋3＝11.
7．[答案] 4
[解析] 由抛物线的顶点横坐标公式得x＝－＝0，解得a＝4.
8．[答案] y＝2(x＋3)2＋5
[解析] ∵所求抛物线的顶点坐标为(－3，5)，
∴可设此抛物线的函数表达式为y＝a(x＋3)2＋5.
又∵它的形状大小、开口方向与抛物线y＝2x2－1完全相同，
∴a＝2.
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∴此抛物线的函数表达式为y＝2(x＋3)2＋5.
9．[答案] 0
10．[答案] 3
[解析] 由上表可知函数图象经过点(1，0)和点(3，0)，
∴对称轴为直线x＝2，
∴x＝0时的函数值等于x＝4时的函数值．
∵当x＝4时，y＝3，
∴当x＝0时，y＝3.
故答案是3.
11．解：∵抛物线y＝ax2＋2x＋a2－1经过点(0，0)，
∴0＝a·02＋2×0＋a2－1，
∴a＝±1.
又∵抛物线的开口向下，
∴a＝－1.
12．解：(1)y＝x2＋4x＋5＝(x＋2)2＋1，
∴抛物线y＝(x＋2)2＋1的顶点坐标为(－2，1)，对称轴为直线x＝－2.
(2)将抛物线y＝x2＋4x＋5向右平移2个单位，再向下平移1个单位可得到抛物线y＝x2.
13．解：(1)如图所示．
(2)根据图象知，当x＜1或x＞3时，y＞0.
14．解：∵－＝－＝15，＝＝1135.
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故经过15秒时，火箭到达它的最高点，最高点的高度是1135米．
15．解：(1)由题意得＝2或－2，
即a2－a－2＝0，
解得a1＝－1，a2＝2；或a2－a＋2＝0，方程无实数根，
又由得a≥0，∴a＝2.
(2)该抛物线向下平移4个单位后经过原点(答案不唯一)．
16．[解析] (1)根据所给的抛物线的函数表达式，易求其图象顶点的横坐标为1，再把x＝1代入y＝－x＋3，可求y＝2，于是可得顶点A的坐标是(1，2)，再把(1，2)代入y＝x2－2x＋a，易求a＝3.
(2)根据三角形的面积公式进行计算即可．
解：(1)∵y＝x2－2x＋a，
∴此函数图象的顶点的横坐标为1.
把x＝1代入y＝－x＋3，
可得y＝－1＋3＝2，
∴二次函数图象顶点A的坐标是(1，2)．
把(1，2)代入y＝x2－2x＋a，可得2＝1－2＋a，
解得a＝3.
当y＝0时，0＝－x＋3，解得x＝3，
∴点B的坐标是(3，0)．
(2)过点A作AE⊥OB于点E，
则AE＝2，S△AOB＝OB·AE＝×3×2＝3.
17．解：(1)把A(－2，－4)，O(0，0)，B(2，0)分别代入y＝ax2＋bx＋c中，得
解这个方程组，得
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∴函数表达式为y＝－x2＋x.
(2)由y＝－x2＋x＝－(x－1)2＋，可得
抛物线的对称轴为直线x＝1.
∵O(0，0)，B(2，0)，
∴抛物线的对称轴垂直平分OB，
∴AM＋OM＝AM＋BM.
如图，连结AB交直线x＝1于点M，则此时AM＋OM的值最小．
过点A作AN⊥x轴于点N.
在Rt△ABN中，AB＝＝＝4 ，
因此AM＋OM的最小值为4 .
[素养提升]
解：(1)将(－2，4)，(－4，4)分别代入y1＝ax2＋bx，得解得
∴y1＝－x2－3x.
(2)将y1配方，得y1＝－(x＋3)2＋，
∴抛物线y1的顶点坐标是.此顶点沿x轴翻折，再向右平移2个单位后的点是.
∵翻折、平移后抛物线的开口方向改变，但开口大小不变，∴翻折、平移后抛物线的函数表达式的二次项系数是，
∴y2＝(x＋1)2－，
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即y2＝x2＋x－4.
令y2＝m，得x2＋x－4＝m，
即x2＋2x－2(4＋m)＝0.
设此方程的两根为x1，x2，则x1＋x2＝－2，
x1x2＝－2(4＋m)．
∵x1，x2分别是点M，N的横坐标，
∴MN＝|x1－x2|＝＝＝2.
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