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- 2023-05-11 发布
专题7：平面向量(两课时)
班级 姓名
一、前测训练
1． (1)已知向量a＝(0，2)，|b|＝2，则|a－b|的取值范围是 ．
(2) 已知A，B，C为圆O上的三点，若＝(＋)，则与的夹角为________．
答案：(1)[0,4]．(2) 90°．
A
B
C
D
E
2．(1)在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1，点D是边BC上一点，DC＝2BD．则·＝ ．
(2)如图，在边长为2的菱形ABCD中，ÐBAD＝60°，E为CD中点，
则×＝ ．
(3)已知OA＝2，OB＝2, ·＝0，点C在线段AB上，且∠AOC＝60°，则·＝________________．
答案：(1)－．(2)1．(3)4．
二、方法联想
1．向量的运算
方法1 用向量的代数运算．
方法2 结合向量表示的几何图形．
变式1、已知平面向量,满足||＝1，且与－的夹角为120°，则的模的取值范围是
答案：（0，]
（结合向量的几何图形求解）
变式2、△ABC的外接圆的圆心为O，AB＝2，AC＝3， 则·＝________.
答案：
(外心隐含着垂直关系)
2．向量的应用
方法1 基底法，即合理选择一组基底(一般选取模和夹角均已知的两个不共线向量)，将所求向量均用这组基底表示，从而转化为这两个基向量的运算．
方法2 坐标法，即合理建立坐标系，求出向量所涉及点的坐标，利用向量的坐标运算解决问题．
变式1、如图，在△ABC中，D是BC的中点，E,F是AD上的两个三等分点，·＝4，
·＝－1，则·的值是 .
答案：
解析：两个思路，一是特殊成等腰三角形，建立直角坐标系，利用坐标研究向量数量积；二是利用一组基底表示所有向量，比如以，为基底. 对于涉及中线向量问题，利用向量加法与减法的平行四边形法则，可以得到一个很实用的结论：
（已知数量积求相关的其他数量积）
变式3、在平面内，定点A，B，C，D满足||＝||＝||，·＝·＝·＝－2，动点P，M满足||＝1，＝，则||的最大值是__________
答案:
(采用解析法，即建立直角坐标系，写出坐标，同时得到动点的轨迹是圆，因此可用圆的性质得出最值)
变式4、在等腰梯形中,已知平行于,,动点分别在线段上,且,则的最小值为 .
答案：
(数量积标示为的函数)
变式5、已知圆O的半径为1，PA，PB为该圆的两条切线，A，B为切点，则·的最小值为 ．
答案：2－3
（利用向量数量积的定义解决）
三、例题分析
例1 （1）若向量a＝(2，3)，b＝(x，－6)，且a∥b，则实数x＝ ．
（2）已知a，b都是单位向量，a·b＝－，则|a－b|＝ ．
（3）已知向量a＝（－3，2），b＝（－1，0），且向量λa＋b与a－2b垂直，则实数λ的值是 ．
（4）若平面向量a，b满足｜a＋b｜＝1，a＋b平行于y轴，a＝(2，－1)，则b＝
答案：（1）－4；（2）；（3）－；（4）（－2，2）或（－2，0）．
〖教学建议〗
一、主要问题归类与方法：
1．两个非零向量共线的充要条件（坐标形式和非坐标形式）．
2．单位向量与数量积的概念，求模长的基本方法．
3．向量垂直的充要条件（坐标形式和非坐标形式）．
4．坐标形式下向量模长的计算公式．
二、方法选择与优化建议：
1．第（2）小题，方法1：将所求模长平方，转化为向量的数量积；方法2可以画图，通过解三角形求解；本题给出了两个向量的模长及数量积，因此方法1求解较为简单．
2．第（4）小题，常规方法是设出向量b的坐标，通过解方程组求解．本题可以抓住向量a＋b的两要素，先求出向量a＋b的坐标，再求向量b的坐标，这个解法来得方便，突出了向量的本质．
例2 （1）在正三角形ABC中，D是BC上的点，AB＝3，BD＝1，则•＝ ．
（2）在平面直角坐标系xOy中，已知＝(3，－1)，＝(0，2)．若·＝0，＝λ，则实数λ的值为 ．
（3）已知A（－3，0），B（0，），O为坐标原点，点C在第二象限，且∠AOC＝60°，＝λ＋，则实数λ的值是 ．
（4）如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3，·＝2，则·的值是________.
答案：（1）；（2）2；（3）；(4)22
解析 (4)由＝3，得＝＝，＝＋＝＋，＝－＝＋－＝－.因为·＝2，所以(＋)·(－)＝2，即2－·－2＝2.[来源:Zxxk.Com]
又因为2＝25，2＝64，所以·＝22.
〖教学建议〗
一、主要问题归类与方法：
1．解（1）小题可以是基底法（以和为基底），也可以建立直角坐标系用坐标法．
2．解（2）小题可以设未知数解方程，也可以画出图形，利用直线方程求解．理解向量共线的意义．
3．平面向量基本定理，利用图形进行分解，通过解三角形求解．
二、方法选择与优化建议：
1．解（1）小题显然是基底法简单，因为两个基底向量的模长和夹角都已知．
例3 （1） 向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示．若c＝λa＋μb（λ，μ∈R），则＝ ．
•
A
B
C
D
E
F
P
（2）如图，正六边形ABCDEF中，P是△CDE内（包括边界）的动点．设＝α＋β（α、β∈R），则α＋β的取值范围是 ．
答案：（1）4；（2）[3，4]．
〖教学建议〗
一、主要问题归类与方法：
1．问题的本质都是用两个不共线的向量来表示第三个向量．平面向量基本定理，利用图形进行分解，通过解三角形求解．
2．解决这一类问题的基本方法为：（1）基底法；（2）坐标法．
二、方法选择与优化建议：
1．解决这两题用坐标法优于基底法．
2．选用哪一种方法，关键是看其中一个向量用基底来表示是否容易．
四、反馈练习
1．（1）在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝_______．（用a，b表示）．
答案：－a＋b．
（2）在△ABC中，＝2，＝m＋n，则＝ ．
答案：
说明：考查向量的几何运算．
2．（1）设＝(2，3)，且点A的坐标为(1，2)，则点B的坐标为 ．
答案：(3，5) ．
（2）已知向量＝(，)，＝(，) ，则∠ABC＝___
答案:30°
（3）已知向量a＝(2，3)，b＝(x，6)，且a∥b，则x= ．
答案：4．
（4）已知向量a＝(x－5，3)，b＝(2，x)，且a⊥b，则由x的值是 ．
答案：2．[来源:Zxxk.Com]
（5）设向量a＝(－1，2)，b＝(2，－1)，则(a×b)(a＋b)等于 ．
答案：(－4，－4) ．
（6）已知＝(5，4)与＝(3，2)，则与2－3平行的单位向量为 ．
答案：．
说明：考查向量的坐标表示及其运算用坐标表示的形式．
3．（1）若|a|＝3，| b |＝2，且a与b的夹角为60°，则|a－b |＝ ．
答案：
（2）若|a|＝1，| b |＝2，a与b的夹角为60°，若(3 a＋5 b)⊥(m a－b)，则实数的值为 ．
答案：
(3)若b＝，|a|＝2|b|，且(a＋b)·b＝－2，则向量a，b的夹角为________.
答案
解析
b2＝cos2＋cos2＝cos2＋sin2＝1，
所以|b|＝1，|a|＝2.
由(a＋b)·b＝－2，可得a·b＋b2＝－2，
故a·b＝－，
故cos〈a，b〉＝＝＝－.
又〈a，b〉∈[0，π]，
所以〈a，b〉＝.
（4）已知平面上三点A，B，C满足|AB|=3，|BC|=4，|CA|=5，则×＋×＋×的值等于 ．[来源:Zxxk.Com]
答案：－25．
（5）在△ABC中，O为中线AM上一个动点，若AM＝2，则×(＋)的最小值是__________．
答案：－2．
说明：考查向量的模、夹角、平行、垂直的坐标表示．
4． （1）设a、b、c是单位向量，且a＋b＝c，则a·c的值为 ．
答案：
（2）若向量a，b满足|a|＝3，|b|＝1，|a－2b|＝，则向量a，b的夹角是 ．
答案：；
A
B
C
D
M
N
O
（3）如图，AB是半圆O的直径，C，D是弧AB的三等分点，
M，N是线段AB的三等分点．若OA=6，则的值是 ．
答案：26．
x
y
A
B
O
1
（4）函数y＝tan(x－)的部分图象如图所示，点A为函数图象与x轴的交点，点B在函数图象上，且纵坐标为1．则(＋)•＝ ．
答案：6
说明：考查向量数量积．
5．（1）已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝ ．
（2）已知向量a＝(2，1)，a·b＝10，︱a＋b︱＝5，则︱b︱＝ ．
（3）平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2，0)，|b|＝1，则|a＋2b|＝ ．
（4）在菱形ABCD中，若AC＝4，则•＝ ．
答案：（1）（－ ，－ ）；（2）5；（3）2．（4）－8．
说明：考查向量的坐标运算．
6．（1）已知正△ABC的边长为1，＝7＋3，则·＝ ．
答案：－2；
（2）如图，BC、DE是半径为1的圆O的两条直径，＝2，则·＝________.
答案 －
解析 ∵＝2，圆O的半径为1，∴||＝，
∴·＝(＋)·(＋)＝2＋·(＋)＋·＝()2＋0－1＝－.
（3）设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC，若＝λ1＋λ2（λ1，λ2∈R），则λ1＋λ2的值为__________。
答案：
（4）已知a，b是单位向量，a·b＝0．若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的取值范围是 ．
答案：[－1，＋1]．
（5）如图，平面内有三个向量、、，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，
且||＝||＝1，||＝2，若＝λ＋μ（λ，μ∈R），
则λ＋μ的值为 ．
答案：6
（6）在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足＝2，则·(＋)等于 ．
答案：
D
C
A
B
如图
（7）如图，在四边形ABCD中，||＋||＋||＝4，||×||＋||×||＝4，
•＝•＝0，则(＋)•的值为 ．
答案：4．
说明：考查向量几何表示的运算．
7．在△ABC中，已知·＝tan A，当A＝时，△ABC的面积为______．
答案：
说明：考查向量与三角函数的结合．
8．已知⊥，||＝，||＝t ，若P点是△ABC所在平面内一点，且＝＋，
则· 的最大值＝______．
答案：13
解析：以为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则，，，即，所以，，因此
，因为，所以 的最大值等于，当，即时取等号．
说明：考查平面向量数量积以及基本不等式．
9．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2，3)，C(－2，－1)．
(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；
(2)当k＝－时，求(－k)·的值．
答案：(1)4，2；(2) 0.
说明：考查向量的坐标运算．
10．已知△ABC中，角A为锐角，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.设向量m＝(cos
A，sin A)，n＝(cos A，－sin A)，且m与n的夹角为.
(1)计算m·n的值并求角A的大小；
(2)若a＝，c＝，求△ABC的面积S.
答案： (1) m·n＝；A＝； (2) .
说明：考查向量与三角函数的结合．
11． 在直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，点P(x，y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上．
(1)若＋＋＝0，求||；
(2)设＝m＋n(m，n∈R)，用x，y表示m－n，并求m－n的最大值．[来源:Z+xx+k.Com]
答案：(1) 2； （2）m－n＝－x＋y，m－n的最大值为1.
说明：考查向量与线性规划的结合．
12. （2016四川）在平面内，定点A，B，C，D满足 ==,﹒=﹒=﹒=-2，动点P，M满足 =1，=，则的最大值是 .
答案(考查向量数量积).
13．在等腰梯形ABCD中,已知AB//CD，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°,动点E和F分别在线段BC 和DC上，且＝λ，＝，求·的最小值.
答案：
解析：因为，，
，，
当且仅当即时的最小值为.
说明：考查向量的几何运算、向量的数量积与基本不等式.