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- 2023-05-11 发布
数学（理科）试卷
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若集合，集合，则等于（ ）
A． B． C． D．
2.已知中，，则等于（ ）
A． B．或 C． D．或
3.设向量，且，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
4.等比数列中，，则的前项和为（ ）
A． B． C. D．
5.关于直线、与平面、，有以下四个命题：
①若且，则；
②若且，则；
③若且，则；
④若且，则.
其中真命题的序号是（ ）
A．①② B．③④ C.①④ D．②③
6.网格纸的各小格都是边长为的正方形，图中粗实线画出的是一个几何体的三视图，其中正视图是正三角形，则该几何体的外接球表面积为（ ）
A． B． C. D．
7.设满足约束条件，则的最大值为（ ）
A． B． C. D．
8.下列四个命题中真命题的个数是（ ）
①若是奇函数，则的图像关于轴对称；
②若，则；
③若函数对任意满足，则是函数的一个周期；
④命题“在中，是成立的充要条件；
⑤命题“存在”的否定是“任意”
A． B． C. D．
9.函数（其中）的图象如图所示，为了得到的图象，则只要将的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
10.如图，把圆周长为的圆的圆心放在轴上，顶点，一动点从开始逆时针绕圆运动一周，记弧，直线与轴交于点，则函数的图象大致为（ ）
11.已知分别为椭圆的右顶点和上顶点，直线与椭圆交于两点，若四边形的面积最大值为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C. D．
12.设函数有两个极值点，若点为坐标原点，点在圆上运动时，则函数图象的切线斜率的最大值为（ )
A． B． C. D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.设，则 ．
14.已知直线经过圆的圆心，则最小值是 ．
15.已知函数，若实数互不相等，且满足
，则的取值范围是 ．
16.已知直线和两定点，若点在上的射影为，且成等差数列，则的取值范围为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. （本小题满分10分）
在数列中，，当时，其前项和满足.
（1） 求的表达式；
（2） 设，求的前项和.
18. （本小题满分12分）
已知的图象上两相邻对称轴间的距离为.
（1） 求的单调减区间；
（2）在中，分别是角的对边，若，的面积是，求的值.
19. （本小题满分12分）
如图，四棱锥中，是正三角形，四边形是矩形，且平面平面，.
（1） 若点是的中点，求证：平面；
（2） 试问点在线段上什么位置时，二面角的余弦值为.
20. （本小题满分12分）
已知圆经过点和点，圆心在直线上.
（1） 求圆的方程；
（2）若直线与圆相交于两点，若为钝角（为坐标原点），求实数的取值范围.
21. （本小题满分12分）
已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆的一个顶点坐标为，离心率为.
（1） 求椭圆的方程；
（2） 若，设是椭圆上异于点的任意两点，且，线段的中垂线与轴的交点为，求的取值范围.
22. （本小题满分12分）
已知函数（为常数，）
（1） 当时，求函数在处的切线方程；
（2） 当在处取得极值时，若关于的方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围；
（3）若对任意的，总存在，使不等式成立，求实数的取值范围.
长春市实验中学2017届高三第五次模拟考试
数学（理科）试卷参考答案
一、选择题
1-5:DDBBD 6-10:DBCCD 11、12：DD
二、填空题
13. 14. 15. 16.
三、解答题
17. （1），，∴，
即，①由题意得，①式两边同除以，
（2） ∵，
∴.
18. 解：由已知，函数周期为.
∵
，
∴，∴.
（1） 由，得，
∴，∴的单调减区间是.
（2） 由，得，.
∵.
由，得，
∴，故.
19. （1）证明：连接，设，连接，
由三角形的中位线定理可得：，
∵平面，平面，∴平面.
（2） 建立如图空间直角坐标系，在中，斜边，得，
所以.
设，得.
设平面的一个法向量，
由得， 取，得.
而平面的法向量，
所以由题意，即，解得（舍去）或，
所以当点在线段的中点时，二面角的余弦值为.
20. 解：（1）线段的中垂线方程：，
联立，得.
∵，∴圆的半径.
∴圆的方程为.
（2） 由变形得，代入圆的方程，得，
令，得.
设点上的横坐标分别为，则，
依题意得，∴，
解得，∴实数的取值范围是.
21. 解：（1）设椭圆的方程为，
可得，解得，即有椭圆的方程为.
（2） 设，的中点的横坐标为，
由直线代入椭圆方程，可得
，即，
，
可得的中点坐标为，
中垂线方程为，令，可得，
由，可得，即为，
化为，解得或，显然满足判别式大于，
即有或，
当时，；
当时，，即为；
或，即为；
同样当时，可得或.
综上可得的范围是.
22. （1）时，，∴，
于是，又，即切点为，∴切线方程为.
（2） ，，即，
∵，∴，此时，∴上减，上增，
又，∴.
（3）
因为，所以，即，
所以在上单调递增，所以，
只需满足，
设，
又，∴在的右侧需先增，∴
设，对称轴，
又，∴在时，，即，
∴在上单调递增，∴ ，
所以的取值范围是.