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2018届二轮复习集合与常用逻辑用语课件(1)

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第 1 讲 集合 与常用逻辑用语 专题一   集合与常用逻辑用语、不等式 热点分类突破 真题押题精练 Ⅰ 热点分类突破 热点一 集合的关系及运算 1. 集合的运算性质及重要结论 (1) A ∪ A = A , A ∪ ∅ = A , A ∪ B = B ∪ A . (2) A ∩ A = A , A ∩ ∅ = ∅ , A ∩ B = B ∩ A . (3) A ∩ ( ∁ U A ) = ∅ , A ∪ ( ∁ U A ) = U . (4) A ∩ B = A ⇔ A ⊆ B , A ∪ B = A ⇔ B ⊆ A . 2. 集合运算中的常用方法 (1) 若已知的集合是不等式的解集,用数轴求解 . (2) 若已知的集合是点集,用数形结合法求解 . (3) 若已知的集合是抽象集合,用 Venn 图求解 . 例 1   (1)(2017 届湖南师大附中月考 ) 已知集合 A = { x |log 2 x <1} , B = { y | y = 2 x , x ≥ 0} ,则 A ∩ B 等于 A. ∅ B .{ x |1< x <2} C.{ x |1 ≤ x <2} D.{ x |1< x ≤ 2} 答案 解析 解析  由 已知可得 A = { x |0< x <2} , B = { y | y ≥ 1} ⇒ A ∩ B = { x |1 ≤ x <2} ,故选 C. √ (2)(2017 届潍坊临朐县月考 ) 已知集合 M = {( x , y )| y = f ( x )} ,若对于任意 ( x 1 , y 1 ) ∈ M ,存在 ( x 2 , y 2 ) ∈ M ,使得 x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0 成立,则称集合 M 是 “ 理想 集合 ”. 给出下列 4 个集合: ① M = ; ② M = {( x , y )| y = sin x } ; ③ M = {( x , y )| y = e x - 2} ; ④ M = {( x , y )| y = lg x }. 其中所有 “ 理想集合 ” 的序号是 A. ①③ B . ②③ C. ②④ D . ③④ √ 答案 解析 思维升华 ③ 项,由图象可得直角始终存在,故正确; 综合 ②③ 正确,故选 B. 思维升华  (1) 关于集合的关系及运算问题,要先对集合进行化简,然后再借助 Venn 图或数轴求解 . (2) 对集合的新定义问题,要紧扣新定义集合的性质探究集合中元素的特征,将问题转化为熟悉的知识进行求解,也可利用特殊值法进行验证 . 跟踪演练 1   (1)(2017 届云南曲靖一中月考 ) 已知集合 A = { x ∈ N | x 2 - 5 x + 4 ≤ 0} , B = { x | x 2 - 4 = 0} ,下列结论成立的是 A. B ⊆ A B. A ∪ B = A C. A ∩ B = A D. A ∩ B = {2} √ 答案 解析 解析  A = { x ∈ N |1 ≤ x ≤ 4} , B = { x | x = ±2} ⇒ A ∩ B = {2} ,故选 D. (2) 用 C ( A ) 表示非空集合 A 中的元素个数,定义 A * B = 若 A = {1,2} , B = { x |( x 2 + ax )( x 2 + ax + 2) = 0} ,且 A * B = 1 ,设实数 a 的所有 可 能 取值构成的集合是 S ,则 C ( S ) 等于 A. 4 B . 3 C . 2 D . 1 √ 答案 解析 解析  由 A = {1,2} ,得 C ( A ) = 2 , 由 A * B = 1 ,得 C ( B ) = 1 或 C ( B ) = 3. 由 ( x 2 + ax )( x 2 + ax + 2) = 0 , 得 x 2 + ax = 0 或 x 2 + ax + 2 = 0. 当 C ( B ) = 1 时,方程 ( x 2 + ax )( x 2 + ax + 2) = 0 只有实根 x = 0 ,这时 a = 0 ; 当 C ( B ) = 3 时,必有 a ≠ 0 ,这时 x 2 + ax = 0 有两个不相等的实根 x 1 = 0 , x 2 =- a ,方程 x 2 + ax + 2 = 0 必有两个相等的实根,且异于 x 1 = 0 , x 2 =- a . 热点二 四种命题与充要条件 1. 四种命题中原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假 . 2. 若 p ⇒ q ,则 p 是 q 的充分条件, q 是 p 的必要条件;若 p ⇔ q ,则 p , q 互为充要条件 . 例 2   (1)(2017 届抚州七校联考 ) A , B , C 三个学生参加了一次考试, A , B 的得分均为 70 分, C 的得分为 65 分 . 已知命题 p :若及格分低于 70 分,则 A , B , C 都没有及格 . 在下列四个命题中,为 p 的逆否命题的是 A. 若及格分不低于 70 分,则 A , B , C 都及格 B. 若 A , B , C 都及格,则及格分不低于 70 分 C. 若 A , B , C 至少有一人及格,则及格分不低于 70 分 D. 若 A , B , C 至少有一人及格,则及格分高于 70 分 √ 答案 解析 解析  根据原命题与它的逆否命题之间的关系知, 命题 p :若及格分低于 70 分,则 A , B , C 都没有及格 , p 的逆否命题是:若 A , B , C 至少有 1 人及格,则 及格分不低于 70 分 . 故选 C. A. 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C. 充要条件 D . 既不充分也不必要条件 √ 答案 解析 思维升华 思维升华  充分条件与必要条件的三种判定方法 (1) 定义法:正、反方向推理,若 p ⇒ q ,则 p 是 q 的充分条件 ( 或 q 是 p 的必要条件 ) ;若 p ⇒ q 且 q ⇏ p ,则 p 是 q 的充分不必要条件 ( 或 q 是 p 的必要不充分条件 ). (2) 集合法:利用集合间的包含关系 . 例如,若 A ⊆ B ,则 A 是 B 的充分条件 ( B 是 A 的必要条件 ) ;若 A = B ,则 A 是 B 的充要条件 . (3) 等价法:将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题 . 跟踪演练 2   (1) 有关命题的说法正确的是 A. 命题 “ 若 xy = 0 ,则 x = 0 ” 的否命题为: “ 若 xy = 0 ,则 x ≠ 0 ” B. 命题 “ ∃ x 0 ∈ R ,使得 2 - 1<0 ” 的否定是: “ ∀ x ∈ R ,2 x 2 - 1<0 ” C. “ 若 x + y = 0 ,则 x , y 互为相反数 ” 的逆命题为真命题 D. 命题 “ 若 cos x = cos y ,则 x = y ” 的逆否命题为真命题 √ 答案 解析 解析  对于 A 选项,命题 “ 若 xy = 0 ,则 x = 0 ” 的否命题为 “ 若 xy ≠ 0 ,则 x ≠ 0 ” ,否命题是条件和结论的双重否定,故 A 错误; 对于 B 选项, 命题 “ ∃ x 0 ∈ R ,使 2 - 1 < 0 ” 的否定是 “ ∀ x ∈ R ,2 x 2 - 1 ≥ 0 ” , 故 B 错误; 选项 C 的逆命题为真命题,故 C 正确; 选项 D 的原命题是假命题,则逆否命题与之对应,也是假命题,故 D 错误,故选 C. (2)(2017 届湖南长沙一中月考 ) 在 △ ABC 中, “ A < B < C ” 是 “ cos 2 A >cos 2 B > cos 2 C ” 的 A. 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C. 充要条件 D . 既不充分也不必要条件 答案 解析 √ 解析  由正弦定理,可得在 △ ABC 中,若 A < B < C , 则 sin A cos 2 B >cos 2 C ,反之也成立 . 所以在 △ ABC 中, “ A < B < C ” 是 “ cos 2 A >cos 2 B >cos 2 C ” 的充要条件,故选 C. 热点三 逻辑联结词、量词 1. 命题 p ∨ q ,只要 p , q 有一真,即为真;命题 p ∧ q ,只有 p , q 均为真,才为真; 綈 p 和 p 为真假对立的命题 . 2. 命题 p ∨ q 的否定是 ( 綈 p ) ∧ ( 綈 q ) ;命题 p ∧ q 的否定是 ( 綈 p ) ∨ ( 綈 q ). 3. “ ∀ x ∈ M , p ( x ) ” 的否定为 “ ∃ x 0 ∈ M , 綈 p ( x 0 ) ” ; “ ∃ x 0 ∈ M , p ( x 0 ) ” 的否定为 “ ∀ x ∈ M , 綈 p ( x ) ”. 例 3   (1) 已知函数 f ( x ) = 给 出下列两个命题: 命题 p :若 m = , 则 f ( f ( - 1)) = 0 ; 命题 q : ∃ m ∈ ( - ∞ , 0) , 方程 f ( x ) = 0 有解 . 那么,下列命题为真命题的是 A. p ∧ q B .( 綈 p ) ∧ q C. p ∧ ( 綈 q ) D .( 綈 p ) ∧ ( 綈 q ) √ 答案 解析 思维升华 当 x ≥ 0 时,若 m <0 , f ( x ) = m - x 2 <0. 故 ∀ m ∈ ( - ∞ , 0) ,方程 f ( x ) = 0 无解,从而命题 q 为假命题,所以 p ∧ ( 綈 q ) 为真命题,故选 C . 思维升华  命题 的否定和否命题是两个不同的概念:命题的否定只否定命题的结论,真假与原命题相对立 . √ 答案 解析 思维升华 所以 f ( x )> f (1) = 0 ,故 p 是真命题,即 綈 p 是假命题 . 故选 D . 思维升华  判断命题的真假要先明确命题的构成 . 由命题的真假求某个参数的取值范围,还可以考虑从集合的角度来思考,将问题转化为集合间的运算 . 跟踪演练 3   (1)(2017 届黑吉两省八校期中 ) 已知:命题 p :若函数 f ( x ) = x 2 + | x - a | 是偶函数,则 a = 0 ;命题 q : ∀ m ∈ (0 ,+ ∞ ) ,关于 x 的方程 mx 2 - 2 x + 1 = 0 有解 . 在 ① p ∨ q ; ② p ∧ q ; ③ ( 綈 p ) ∧ q ; ④ ( 綈 p ) ∨ ( 綈 q ) 中,为真命题的是 A. ②③ B . ②④ C . ③④ D . ①④ √ 答案 解析 解析  因为 f ( - x ) = f ( x ) ,所以 1 + | a + 1| = 1 + | a - 1| ,解得 a = 0 ,故命题 p 为真命题; 又因为当 Δ = 4 - 4 m ≥ 0 ,即 m ≤ 1 时,方程有解,所以 q 为假命题 . 所以 p ∨ q 与 ( 綈 p ) ∨ ( 綈 q ) 为真命题,故选 D. (2)(2017 届徐州丰县民族中学调研 ) 若命题 “ ∃ x 0 ∈ R ,使得 x + (1 - a ) x 0 + 1<0 ” 是假命题,则实数 a 的取值范围为 _________. 答案 解析 [ - 1,3 ] 解析  由题设可得 (1 - a ) 2 - 4 ≤ 0 ,解得- 1 ≤ a ≤ 3. Ⅱ 真题押题精练 真题体验 1.(2017· 北京改编 ) 若集合 A = { x | - 2< x <1} , B = { x | x < - 1 或 x >3} ,则 A ∩ B = _____________. { x | - 2< x < - 1} 答案 解析 解析  ∵ A = { x | - 2< x <1} , B = { x | x < - 1 或 x >3} , ∴ A ∩ B = { x | - 2< x < - 1}. 1 2 3 4 充分不必要 答案 解析 1 2 3 4 1 2 3 4 3.(2017· 山东改编 ) 已知命题 p : ∃ x ∈ R , x 2 - x + 1 ≥ 0 ;命题 q :若 a 2 < b 2 ,则 a < b . 下列命题为真命题的是 ____.( 填序号 ) ① p ∧ q ;  ② p ∧ ( 綈 q ) ;  ③ ( 綈 p ) ∧ q ;  ④ ( 綈 p ) ∧ ( 綈 q ). ② 解析  ∵ 一元二次方程 x 2 - x + 1 = 0 的判别式 Δ = ( - 1) 2 - 4 × 1 × 1 < 0 , ∴ x 2 - x + 1 > 0 恒成立, ∴ p 为真命题, 綈 p 为假命题 . ∵ 当 a =- 1 , b =- 2 时, ( - 1) 2 < ( - 2) 2 ,但- 1 >- 2 , ∴ q 为假命题, 綈 q 为真命题 . 根据真值表可知, p ∧ ( 綈 q ) 为真命题, p ∧ q , ( 綈 p ) ∧ q , ( 綈 p ) ∧ ( 綈 q ) 为假命题 . 1 2 3 4 答案 解析 4.(2016· 浙江改编 ) 命题 “ ∀ x ∈ R , ∃ n ∈ N * ,使得 n ≥ x 2 ” 的否定形式是 ___________________________. ∃ x 0 ∈ R , ∀ n ∈ N * ,使得 n < x 答案 解析 1 2 3 4 解析  原命题是全称命题,条件为 ∀ x ∈ R ,结论为 ∃ n ∈ N * ,使得 n ≥ x 2 ,其否定形式为特称命题 ( 存在性命题 ) ,条件中改量词,并否定结论 . 押题预测 1. 若集合 A = { x |1 ≤ 2 x ≤ 8} , B = { x |log 2 ( x 2 - x )>1} ,则 A ∩ B 等于 A.(2,3] B .[2,3] C.( - ∞ , 0) ∪ (0,2] D .( - ∞ ,- 1) ∪ [0,3] √ 答案 解析 押题依据  集合的运算在历年高考中的地位都很重要,已成为送分必考试题 . 集合的运算常与不等式 ( 特别是一元一次不等式、一元二次不等式 ) 的求解、函数的定义域、函数的值域等知识相交汇 . 押题依据 1 2 3 4 解析   A = [0,3 ] . 又 log 2 ( x 2 - x )>log 2 2 ,即 x 2 - x >2 , 解得 x < - 1 或 x >2 , 所以 B = ( - ∞ ,- 1) ∪ (2 ,+ ∞ ). 所以 A ∩ B = (2,3]. 1 2 3 4 2. 已知 “ x > k ” 是 “ < 1 ” 的充分不必要条件,则 k 的取值范围是 A.[2 ,+ ∞ ) B .[1 ,+ ∞ ) C.(2 ,+ ∞ ) D.( - ∞ ,- 1] √ 押题依据  充分、必要条件的判定一直是高考考查的重点,该类问题必须以其他知识为载体,综合考查数学概念 . 所以 x < - 1 或 x >2. 答案 解析 押题依据 1 2 3 4 答案 解析 押题依据 1 2 3 √ 4 1 2 3 押题依据  常用逻辑用语中命题真假的判断、充要条件、全称量词、存在量词及逻辑联结词是数学学习的重要工具,也是高考考查的热点问题 . 4 1 2 3 4 1 2 3 ③ 当 p ∨ q 为真命题时, p , q 不一定全真,因此 p ∧ q 不一定为真命题 ; 所以 ①② 为真,故选 C. 4 答案 解析 押题依据 1 2 3 4. 若 X 是一个集合, τ 是一个以 X 的某些子集为元素的集合,且满足: ① X 属于 τ ,空集 ∅ 属于 τ ; ② τ 中任意多个元素的并集属于 τ ; ③ τ 中任意多个元素的交集属于 τ ,则称 τ 是集合 X 上的一个拓扑 . 已知集合 X = { a , b , c } ,对于下面给出的四个集合 τ : ① τ = { ∅ , { a } , { c } , { a , b , c }} ; ② τ = { ∅ , { b } , { c } , { b , c } , { a , b , c }} ; ③ τ = { ∅ , { a } , { a , b } , { a , c }} ; ④ τ = { ∅ , { a , c } , { b , c } , { c } , { a , b , c }}. 其中是集合 X 上的一个拓扑的集合 τ 是 ______.( 填序号 ) ②④ 4 1 2 3 押题依据  以新定义为背景,考查元素与集合的关系,是近几年高考的热点,解题时可从集合的性质 ( 元素的性质、运算性质 ) 作为突破口 . 4 1 2 3 解析  ① τ = { ∅ , { a } , { c } , { a , b , c }} ,但是 { a } ∪ { c } = { a , c } ∉ τ ,所以 ① 错; ②④ 都满足集合 X 上的一个拓扑集合 τ 的三个条件 . 所以 ②④ 正确; ③ { a , b } ∪ { a , c } = { a , b , c } ∉ τ ,所以 ③ 错 . 4

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