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- 2023-05-11 发布
专题23 空间中的平行与垂直证明技巧
一．【学习目标】
（1）熟练掌握线面平行、面面平行的判定定理和性质，会把空间问题转化为平面问题．
（2）学会应用“化归思想”进行“线线问题、线面问题、面面问题”的互相转化．
（3）能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题．
（4）熟练掌握空间中线面垂直的有关性质与判定定理；运用公理、定理证明或判定空间图形的垂直关系的简单命题．不论何种“垂直”都能化归到“线线垂直”
二.【知识点及方法归纳】
1．直线与平面平行的判定
(1)判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线，那么这条直线和这个平面平行，即a∥b，a⊄α，b⊂α⇒a∥α.
(2)如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面平行，则a∥β.
2．直线与平面平行的性质
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交；那么这条直线就和平面平行，即a∥α，a⊂β，α∩β＝b，．
3．直线与平面垂直的判定
(1)(定义)如果一条直线和平面内任意一条直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直．
(2)(判定定理1)如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．用符号语言表示为：若m⊂α，n⊂α，m∩n＝B，l⊥m，l⊥n，则l⊥α.
(3)如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．用符号语言表示为：若a∥b，a⊥α，则b⊥α.
(4)(面面垂直的性质定理)如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．
(5)(两平面平行的性质定理)如果两个平面平行，那么与其中一个平面垂直的直线也与另一个平面垂直．
(6)如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线也垂直于第三个平面．
4..两平面平行的判断方法
(1)依定义采用反证法.
(2)依判定定理通过说明一平面内有两相交直线与另一平面平行来判断两平面平行.
(3)依据垂直于同一直线的两平面平行来判定.
(4)依据平行于同一平面的两平面平行来判定.
5.平行关系的转化程序
线线平行线面平行面面平行
从上易知三者之间可以进行任意转化，因此要判定某一平行的过程就是从一平行出发不断转化的过程.在解题时要把握这一点，灵活确定转化思路和方向.
三【解题方法总结】
1．证明直线与平面平行和直线与平面垂直常运用判定定理，即转化为线线的平行与垂直关系来证明．
2．直线与平面平行的判定方法：
(1)a∩α＝∅⇒a∥α(定义法)，
(2)⇒a∥α，
这里α表示平面，a，b表示直线．
3．证明线面垂直的方法主要有：(以下A为点，m，n，l，a，b表示直线，α，β表示平面)
(1)利用线面垂直的定义：a与α内任何直线垂直⇒a⊥α；
(2)利用判定定理：
⇒l⊥α；
(3)利用第二判定定理：a∥b，a⊥α，则b⊥α；
(4)利用面面平行的性质定理：α∥β，a⊥α，则a⊥β.
(5)利用面面垂直的性质定理：
α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l，则a⊥β.
4.面面垂直的证明方法：
(1)利用定义：α和β所成的二面角为直二面角⇒α⊥β；
(2)利用判定定理：若a⊥β，a⊂α，则α⊥β.
5.性质定理的恰当应用：
(1)若α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l，则a⊥β，用来证明线面垂直，也用来确定点到平面的垂线段.
(2)若α⊥β，点P∈α，P∈a，a⊥β，则a⊂α.
5.垂直关系的转化程序
线线垂直线面垂直面面垂直.
四．【典例分析及训练】
（一）平面的性质
例1．下列命题正确的是（ ）
A．在空间中两条直线没有公共点，则这两条直线平行
B．一条直线与一个平面可能有无数个公共点
C．经过空间任意三点可以确定一个平面
D．若一个平面上有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
【答案】B
【点睛】本题主要考查了平面的基本性质和空间中两直线的位置关系，其中解答中熟记平面的基本性质和空间中两直线的位置关系是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题。
练习1．正三棱柱中,所有棱长均为2,点分别为棱的中点,若过点作一截面,则截面的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在正三棱柱中，延长和交于点M，连接，交于点，分别连接，则过点的截面为四边形，利用正三棱柱的结构特征，分别利用勾股定理和余弦定理，即可求解.
【详解】
在正三棱柱中，延长和交于点M，连接，交于点，分别连接，则过点的截面为四边形，如图所示，
由，可得，
由，则，解得，则，
在直角中，，则，
在直角中，，则，
在直角中，，则，
在中，，
由余弦定理可得，
即，
所以截面的周长为，故选B.
【点睛】本题主要考查了几何体的截面问题，其中解答中根据空间几何体的结构特征，利用平面的性质找出几何体的截面的形状是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.
练习2．在空间四边形的各边上的依次取点，若所在直线相交于点，则（ ）
A．点必在直线上 B．点必在直线上
C．点必在平面外 D．点必在平面内
【答案】B
【解析】由题意连接EH、FG、BD，则P∈EH且P∈FG，再根据两直线分别在平面ABD和BCD内，根据公理3则点P一定在两个平面的交线BD上．
【详解】
如图：连接EH、FG、BD，
∵EH、FG所在直线相交于点P，
∴P∈EH且P∈FG，
∵EH⊂平面ABD，FG⊂平面BCD，
∴P∈平面ABD，且P∈平面BCD，
由∵平面ABD∩平面BCD＝BD，
∴P∈BD，
故选：B．
【点睛】本题考查公理3的应用，即根据此公理证明线共点或点共线问题，必须证明此点是两个平面的公共点，可有点在线上，而线在面上进行证明．
【点睛】本小题主要考查空间异面直线的位置关系，考查线面平行等知识，属于基础题.
练习2．已知两条不同的直线和两个不同的平面，有如下命题：
①若，，，，则；
②若，，，则；
③若，，则．其中正确的命题个数为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】利用线面平行的性质定理和判定定理对三个命题分别分析解答．
【详解】对于①，若，，，，则与可能相交；故①错误；
对于②，若，，，满足线面平行的性质定理，故；故②正确；
对于③，若，，如果，则；故③错误；故选：B．
【点睛】本题考查了线面平行的性质定理和判定定理的运用，关键是正确运用定理进行分析解答．
（五）面面关系
例5．已知是不同的平面，是不同的直线，则下列命题不正确的是（ ）
A．若，，，则 B．若，，则，
C．若，，则 D．若，，则
【答案】B
【解析】由面面垂直的判定定理，判断A；由线面位置关系判断B；由线面垂直定理判断C；
由面面平行判断D；
【点睛】本题主要考查空间中线面、面面位置关系，需要考生熟记线面平行于垂直、面面平行与垂直的判定定理和性质定理，难度不大.
练习1．设为三个不同的平面，为两条不同的直线，则下列命题中假命题是（ ）
A．当时，若，则 B．当，时，若，则
C．当，时，若，则是异面直线 D．当，，若，则
【答案】C
【解析】对于A，根据平面与平面平行、垂直的性质，可得正确；
对于B，根据平面与平面平行、线面垂直的性质，可得正确；
对于C，可能异面，也可能平行，故错误；
对于D，由，可知，又，所以，可得正确.故选：C
【点睛】本题考查了空间线面垂直、面面垂直、面面平行的性质定理和判定定理的运用；牢固掌握运用定理是关键．
练习2．设为两两不重合的平面，为两两不重合的直线，给出下列四个命题：
①若，，则；②若，，，，则；
③若，，则；④若，，，，则
其中真命题的个数是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】对于①，②可在正方体中举例说明它们错误即可。
对③利用面面平行的定义即可判断其正确，对于④利用线面平行的性质来证明即可。
【详解】
对照下图，
对于①，令平面，平面,平面,
满足，，但是与不平行。所以①错误。
对于②，令平面，平面，，
满足，，，，但是与不平行，所以②错误。
对于③，利用面面平行的定义即可判断③正确，
对于④，，同理可得：，所以，所以④正确。
故选：B。
【点睛】本题主要考查了面面平行的判断及线面平行的判断，还考查了线面平行的性质，属于基础题。
（六）线面平行的判定
例6．如图,正方体的棱长为1,线段上有两个动点、,且，则下列结论错误的是( )
A． B．三棱锥的体积为定值
C．∥平面 D．△的面积与△的面积相等
【答案】D
【解析】，在平面的投影所在直线为，,由三垂线定理可以得到，故正确
，由几何体的性质及图形可知，故可得三棱锥以△为底面，点A到面的距离为△的高，△的面积为,点A到面的距离为，则三棱锥的体积为定值,故正确
，由正方体可得平面平面，又平面，则∥平面，故正确
，由题可知，△为等腰三角形，到线段的距离为△的高，点到线段的距离为，
△的高为，
, ,
故△的面积与△的面积不相等，故错误。故选
【点睛】本题考查了立体几何中线面的关系，运用线面平行、垂直来解答，在解答体积问题时注意高的取值，属于中档题
练习1．如图是几何体的平面展开图,其中四边形ABCD为正方形,E,F分别为PA,PD的中点,在此几何体中,给出下面4个结论:
①直线BE与直线CF共面； ②直线BE与直线AF异面；
③直线EF∥平面PBC； ④平面BCE⊥平面PAD.
其中正确的有( )
A．1个 B．3个 C．2个 D．4个
【答案】B
【解析】①连接EF，由E、F分别为PA、PD的中点，可得EF∥AD，从而可得E，F，B，C共面，故直线BE与直线CF是共面直线；
②根据E∈平面PAD，AF⊂平面PAD，E∉AF，B∉平面PAD，可得直线BE与直线AF是异面直线；
③由①知EF∥BC，利用线面平行的判定可得直线EF∥平面PBC；
④由于不能推出线面垂直，故平面BCE⊥平面PAD不成立．
【详解】
①连接EF，则∵E、F分别为PA、PD的中点，∴EF∥AD，∵AD∥BC，∴EF∥BC，∴E，F，B，C共面，∴直线BE与直线CF是共面直线，故①正确；
②∵E∈平面PAD，AF⊂平面PAD，E∉AF，B∉平面PAD，∴直线BE与直线AF是异面直线，故②正确；
③由①知EF∥BC，∵EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，∴直线EF∥平面PBC，故③正确；
④由于不能推出线面垂直，故平面BCE⊥平面PAD不成立．
故选：B．
【点睛】本题考查空间线面位置关系，考查异面直线的判定，考查线面平行，属于中档题．
练习2．如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，是底面内一动点，若直线与平面不存在公共点，则三角形的面积的最小值为
A． B．1 C． D．
【答案】C
【解析】延展平面，可得截面,其中分别是所在棱的中点，可得平面,再证明平面平面,可知在上时，符合题意，从而得到与重合时三角形的面积最小，进而可得结果.
【详解】
延展平面，可得截面,其中分别是所在棱的中点，
直线与平面不存在公共点，所以平面,由中位线定理可得,
在平面内，在平面外，所以平面,
因为与在平面内相交，所以平面平面,
所以在上时，直线与平面不存在公共点，因为与垂直，所以与重合时最小，
此时，三角形的面积最小，最小值为，故选C.
【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理、面面平行的判定定理，属于难题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.
（七）面面平行的判定
例7．如图，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=NB=1，E为MC的中点，则下列结论不正确的是（ ）
A．平面平面ABN B． C．平面平面AMN D．平面平面AMN
【答案】C
【解析】分别过A，C作平面ABCD的垂线AP，CQ，使得AP=CQ=1，连接PM，PN，QM，QN，将几何体补成棱长为1的正方体．
练习1．a，b，c为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，给出的下列命题中，正确的个数为( )
①a∥b；②a∥b；③α∥β；④ α∥β.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】①由平行公理4知a∥b正确. ②a∥b或a与b相交或异面均可，故不正确；
③⇒α∥β或α，β相交，不正确；④ α∥β，由面面平行的性质知正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了直线与平面平行的判定，以及平面与平面平行的判定，同时考查了对定理的理解，属于综合题．
练习2．几何体ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M、N分别是下底面棱A1B1、B1C1的中点，P是上底面棱AD上的一点，，过P、M、N三点的平面交上底面于PQ， Q在CD上，则PQ等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，MN⊂平面A1B1C1D1
∴MN∥平面ABCD，又PQ=面PMN∩平面ABCD，∴MN∥PQ．
∵M、N分别是A1B1、B1C1的中点 ∴MN∥A1C1∥AC，
∴PQ∥AC，又，ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体，
∴ ，从而，∴
故选B.
【点睛】本题考查平面与平面平行的性质，是立体几何中面面平行的基本题型，本题要求灵活运用定理进行证明．
（十）
例10．如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，则下列结论正确的是（ ）
A．PB⊥AD B．平面PAB⊥平面PBC C．直线BC∥平面PAE D．直线CD⊥平面PAC
【答案】D
【解析】因为AD与PB在平面ABC内的射影AB不垂直，所以A答案不正确．
过点A作PB的垂线，垂足为H，若平面PAB⊥平面PBC，则AH⊥平面PBC，所以AH⊥BC.
又PA⊥BC，所以BC⊥平面PAB，则BC⊥AB，这与底面是正六边形不符，所以B答案不正确．
若直线BC∥平面PAE，则BC∥AE，但BC与AE相交，所以C答案不正确．
故选D.
【点睛】本题考查线面位置关系的判定与证明，熟练掌握空间中线面位置关系的定义、判定、几何特征是解答的关键，其中垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直．
练习1．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有
A．AG⊥平面EFH B．AH⊥平面EFH C．HF⊥平面AEF D．HG⊥平面AEF
【答案】B
【解析】分析折叠前与折叠后位置关系、几何量的变与不变，可得HA、HE、HF三者相互垂直，根据线面垂直的判定定理，进而可判断．
【详解】分析折叠前与折叠后位置关系、几何量的变与不变，可得HA、HE、HF三者相互垂直，∴AH⊥平面EFH，B正确；∵过A只有一条直线与平面EFH垂直，∴A不正确；
∵AG⊥EF，EF⊥AH，∴EF⊥平面HAG，∴平面HAG⊥AEF，过H作直线垂直于平面AEF，一定在平面HAG内，∴C不正确；∵HG不垂直于AG，∴HG⊥平面AEF不正确，D不正确．
故选：B．
【点睛】本题了考查直线与平面垂直的判定，一般利用线线⇔线面⇔
面面，垂直关系的相互转化判断，属于中档题．
练习2．如图，四棱柱中，分别是、的中点，下列结论中，正确的是（ ）
A． B．平面 C．平面 D．平面
【答案】D
【解析】连接交于，由于四边形是平行四边形，对角线平分，故是的中点.因为是的中点，所以是三角形的中位线，故，所以平面.故选D.
【点睛】本小题主要考查直线和平面的位置关系，考查棱柱的侧面是平行四边形这一几何性质，还考查了三角形的中位线以及线面平行的证明.两条直线平行，在直观图中，这两条直线是平行的，通过直观感知，再根据线面平行的判定定理即可得出正确的选项.属于基础题.
（十一）面面垂直
例11．如图，在三棱锥中，平面平面为等边三角形，其中分别为的中点，则三棱锥的体积为（）
A． B． C． D．
【答案】D
【点睛】本题考查平面与平面垂直的性质定理的应用，考查体积的计算，正确运用平面与平面垂直的性质定理是关键，是中档题．
练习1．如图所示，四棱锥的底面方正方形，侧面为等边三角形，且侧面底面，点在底面正方形内运动，且满足，则点在正方形的轨迹一定是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】先确定轨迹是2个平面的交线，PC的中垂面α和正方形ABCD的交线，再确定交线的准确位置，即找到交线上的2个固定点．
【详解】∵，∴点在的中垂面上，∴点在正方形内的轨迹一定是平面和正方形的交线．∵为正方形，侧面为等边三角形，∴．取的中点，有．
取的中点，易知，∴．又∵，∴平面，即平面与平面重合．∴点在正方形内的轨迹一定是线段．故选B.
【点睛】本题考查面面垂直的性质，轨迹的确定方法
练习2．如下图，梯形中，∥,,, ,将沿对角线折起．设折起后点的位置为，并且平面 平面.给出下面四个命题：
①；②三棱锥的体积为；③ 平面；
④平面平面.其中正确命题的序号是（ ）
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
【答案】B
【解析】利用折叠前四边形中的性质与数量关系，可证出，然后结合平面 平面，可得平面，从而可判断①③；三棱锥的体积为，可判断②；因为平面，从而证明，再证明平面，然后利用线面垂直证明面面垂直.
【详解】①，，，
，平面 平面，且平面 平面 ，平面，
平面，，故不成立，故①错误；②棱锥的体积为，故②错误；
③由①知平面，故③正确；④由①知平面，又平面，
，又，且、平面，,
平面，又平面,平面 平面，故④正确.故选：B.
【点睛】本题通过折叠性问题，考查了面面垂直的性质，面面垂直的判定，考查了体积的计算，关键是利用好直线与平面、平面与平面垂直关系的转化，也要注意利用折叠前后四边形中的性质与数量关系.
（十二）平行垂直综合
例12．如图，四边形ABCD是圆柱OO′的轴截面，点P在圆柱OO′的底面圆周上，圆柱OO′的底面圆的半径OA=1，侧面积为2π，∠AOP=60°．
（1）求证：PB⊥平面APD；
（2）是否存在点G在PD上，使得AG⊥BD；并说明理由．
（3）求三棱锥D-AGB的体积．
【解析】（1）由为圆的直径，可得，再由平面，得，然后利用线面垂直的判定可得平面；
（2）存在，当点是中点时，．由侧面积公式求得，进一步得到，由是的中点，可得，再由（1）得，由线面垂直的判定可得平面，则；
（3）直接利用等积法求三棱锥的体积．
【详解】（1）证明：∵AB为圆O的直径，∴PB⊥PA，∵AD⊥平面PAB，∴PB⊥AD，
又PA∩AD=A，∴PB⊥平面APD；
（2）解：存在．当点G是PD中点时，AG⊥BD．事实上，由题意可知，2π×1×AD=2π，解得AD=1．
由∠AOP=60°，可得△AOP为等边三角形，得到AP=OA=1．在Rt△PAD中，∵AD=AP，G是PD的中点，
则AG⊥PD．由（1）得PB⊥AG，PD∩PB=P，∴AG⊥平面PBD，则AG⊥BD；
（3），在Rt△APB中，∵AB=2，AP=1，∴PB=，
∴．∴．
【点睛】本题考查空间中直线与直线，直线与平面间位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．
练习1．如图，几何体EF-ABCD中，四边形CDEF是正方形，四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，AD⊥DC，△ACB是腰长为2的等腰直角三角形，平面CDEF⊥平面ABCD．
（1）求证：BC⊥AF；
（2）求几何体EF-ABCD的体积．
【答案】（1）详见解析；（2）.
【解析】（1）推导出FC⊥CD，FC⊥BC，AC⊥BC，由此BC⊥平面ACF，从而BC⊥AF．
（2）推导出AC＝BC＝2，AB4，从而AD＝BCsin∠ABC＝22，由V几何体EF﹣ABCD＝V几何体A﹣CDEF+V几何体F﹣ACB，能求出几何体EF﹣ABCD的体积．
【详解】（1）因为平面CDEF⊥平面ABCD，平面CDEF∩平面ABCD=CD，
又四边形CDEF是正方形，所以FC⊥CD，FC⊂平面CDEF，所以FC⊥平面ABCD，所以FC⊥BC．
因为△ACB是腰长为2的等腰直角三角形，
所以AC⊥BC．又AC∩CF=C，所以BC⊥平面ACF．所以BC⊥AF．
（2）因为△ABC是腰长为2的等腰直角三角形，所以AC=BC=2，AB==4，
所以AD=BCsin∠ABC=2=2，CD=AB=BCcos∠ABC=4-2cos45°=2，∴DE=EF=CF=2，
由勾股定理得AE==2，因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AD．
又AD⊥DC，DE∩DC=D，所以AD⊥平面CDEF．所以V几何体EF-ABCD=V几何体A-CDEF+V几何体F-ACB
==+
==．
【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查几何体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
练习2．如图，在四棱锥中，，底面为直角梯形，，分别为中点，且，.
（1）平面；
（2）若为线段上一点，且平面，求的值；
（3）求四棱锥的体积.
【答案】（1）详见解析；（2）；（3）.
【解析】（1）连结，利用勾股定理逆定理可证明，又易证，可证明平面（2）连接，根据，平面可得，进而，利用为中点可得结论（3）OA是棱锥的高，求底面直角梯形的面积即可代入体积公式计算.
【详解】（1）证明：连结，为的中点
，且，又，是中点，，
由已知，
，且是平面内两条相交直线平面.
（2）连接，由已知底面为直角梯形，，
则四边形为平行四边形所以
因为平面，平面，平面平面，所以所以
因为为中点，所以为中点，所以，又因为点为的中点.所以.
（3）由（1）平面得为四棱锥的高，且
又因为是直角梯形，，，
所以直角梯形的面积为
则四棱锥的体积
【点睛】本题主要考查了线面垂直、平行的判定和性质，棱锥的体积，属于中档题.
练习3．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形．点E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F．
（1）求证：AB∥EF；
（2）若PA=AD，且平面PAD⊥平面ABCD，求证：AF⊥平面PCD．
【解析】（1）证明：底面ABCD是正方形，AB∥CD ,
又AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，AB∥平面PCD ,
又A，B，E，F四点共面，且平面ABEF∩平面PCD=EF，AB∥EF ;
（2）证明：在正方形ABCD中，CD⊥AD ,
又平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，CD⊂平面ABCD,CD⊄平面PAD
CD⊥平面PAD ,又AF⊂平面PAD ,CD⊥AF ,由（1）可知，AB∥EF，
又AB∥CD，C,D,E,F 在同一平面内，CD∥EF ,点E是棱PC中点， 点F是棱PD中点 ,
在△PAD中，PA=AD，AF⊥PD ,又PD∩CD=D，PD、CD⊂平面PCD,AF⊥平面PCD．
【点睛】本题主要考查了线面平行的性质定理和线面垂直的证明，属于基础题.
练习4．如图，三棱柱ABC–A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥侧面ABB1A1，AC=AA1=AB，∠AA1C1=60°，AB⊥AA1，H为棱CC1的中点，D为BB1的中点．
（1）求证：A1D⊥平面AB1H；
（2）若AB=，求三棱柱ABC–A1B1C1的体积．
【解析】（1）根据面面垂直的性质得到AH⊥A1D，再由条件得到A1D⊥AB1，于是根据线面垂直的判定得到结论成立；（2）方法一：取A1C1的中点G，连接AG，证明AG为三棱柱ABC–A1B1C1的高，然后根据体积公式求出结果．方法二：先求出，然后根据三棱柱ABC–A1B1C1的体积V=3求解．
【详解】（1）如图，连接AC1，因为为正三角形，H为棱CC1的中点，所以AH⊥CC1，从而AH⊥AA1，
又平面AA1C1C⊥平面ABB1A1，平面AA1C1C∩平面ABB1A1=AA1，AH⊂平面AA1C1C，所以AH⊥平面ABB1A1，
又A1D⊂平面ABB1A1，所以AH⊥A1D．①
设AB=a，因为AC=AA1=AB，所以AC=AA1=2a，DB1=a，．
因为AB⊥AA1，所以平行四边形ABB1A1为矩形，所以∠DB1A1=∠B1A1A=90°，所以，
所以∠B1AA1=∠DA1B1，又∠DA1B1+∠AA1D=90°，所以∠B1AA1+∠AA1D=90°，故A1D⊥AB1．②
由①②及AB1∩AH=A，可得A1D⊥平面AB1H．
（2）方法一：如图，取A1C1的中点G，连接AG，
因为为正三角形，
所以AG⊥A1C1，
因为平面AA1C1C⊥平面ABB1A1，平面AA1C1C∩平面ABB1A1=AA1，A1B1⊂平面ABB1A1，A1B1⊥AA1，
所以A1B1⊥平面AA1C1C，
又AG⊂平面AA1C1C，
所以A1B1⊥AG，
又A1C1∩A1B1=A1，
所以AG⊥平面A1B1C1，
所以AG为三棱柱ABC–A1B1C1的高，
经计算AG=，A1B1·A1C1=×2=，
所以三棱柱ABC–A1B1C1的体积V=·AG=．
方法二：如图，取AA1的中点M，连接C1M，
则C1M∥AH，
所以C1M⊥平面ABB1A1．
因为AB=，
所以AC=AA1=2，C1M=A1C1sin60°=2×，
所以·C1M=×2×，
所以三棱柱ABC–A1B1C1的体积V=3．
【点睛】（1）解决空间垂直问题的关键在于熟练把握空间垂直关系的判定与性质，注意平面图形中的一些线线垂直关系的利用，这是证明空间垂直关系的基础．另外要熟练运用“线线垂直”、“线面垂直”、“面面垂直”之间的相互转化．
（2）求空间几何体的体积的方法有两个：一是根据几何体的特征直接根据体积公式求解；二是将几何体分割成几个便于求体积的几何体后再进行求解．