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- 2023-05-11 发布
一、 学习目标
1．理解掌握空间点、直线、平面之间的位置关系．
2．熟练应用直线、平面平行和垂直的判定及其性质解决立体几何问题．
3．通过本章学习逐步提高学生的空间想像能力，学会用数学方法认识世界改造世界．
二、知识梳理：
1.平面
(1) 平面的概念： A.描述性说明； B.平面是无限伸展的；
(2). 平面的表示：通常用希腊字母α、β、γ表示，如平面α（通常写在一个锐角内）；
也可以用两个相对顶点的字母来表示，如平面BC。
(3) 点与平面的关系：点A在平面内，记作；点不在平面内，记作
点与直线的关系：点A的直线l上，记作：A∈l； 点A在直线l外，记作Al；
直线与平面的关系：直线l在平面α内，记作lα；直线l不在平面α内，记作lα。
2.公理即推论
（1）公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。
（即直线在平面内，或者平面经过直线）
应用：检验桌面是否平； 判断直线是否在平面内
用符号语言表示公理1：
（2）公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。
推论：一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定一平面。
公理2及其推论作用：①它是空间内确定平面的依据 ②它是证明平面重合的依据
（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线
符号：平面α和β相交，交线是a，记作α∩β＝a。
符号语言：
公理3的作用：
①它是判定两个平面相交的方法。
②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点。
③它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据。
（4）公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行
3.空间直线与直线之间的位置关系
(1). 异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线.
(2). 异面直线性质：既不平行，又不相交。
(3). 异面直线判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线. (4).异面直线所成角：直线a、b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a’∥a，b’∥b，则把直线a’和b’所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。两条异面直线所成角的范围是（0°，90°]，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直。
说明：（1）判定空间直线是异面直线方法：①根据异面直线的定义；②异面直线的判定定理。
（2）在异面直线所成角定义中，空间一点O是任取的，而和点O的位置无关。
②求异面直线所成角步骤：
A、利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上。 B、证明作出的角即为所求角 C、利用三角形来求角
4.等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两角相等或互补。
5.空间直线与平面之间的位置关系
直线在平面内——有无数个公共点．
三种位置关系的符号表示：aα a∩α＝A a∥α
6.平面与平面之间的位置关系：平行——没有公共点；α∥β
相交——有一条公共直线。α∩β＝b
7.空间中的平行问题
（1）直线与平面平行的判定及其性质
线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行。
线线平行线面平行
线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，
那么这条直线和交线平行。线面平行线线平行
（2）平面与平面平行的判定及其性质
两个平面平行的判定定理
（1）如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.
（线面平行→面面平行），
（2）如果在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面平行。
（线线平行→面面平行），
（3）垂直于同一条直线的两个平面平行，
两个平面平行的性质定理
（1）如果两个平面平行，那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。（面面平行→线面平行）
（2）如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行。（面面平行→线线平行）
8.空间中的垂直问题
（1）线线、面面、线面垂直的定义
①两条异面直线的垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直。
②线面垂直：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，就说这条直线和这个平面垂直。
③平面和平面垂直：如果两个平面相交，所成的二面角（从一条直线出发的两个半平面所组成的图形）是直二面角（平面角是直角），就说这两个平面垂直。
（2）垂直关系的判定和性质定理
①线面垂直判定定理和性质定理
判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。
性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
②面面垂直的判定定理和性质定理
判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。
9.空间角问题
（1）直线与直线所成的角
①两平行直线所成的角：规定为。
②两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角，叫这两条直线所成的角。
③两条异面直线所成的角：过空间任意一点O，分别作与两条异面直线a，b平行的直线
，形成两条相交直线，这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角。
（2）直线和平面所成的角
①平面的平行线与平面所成的角：规定为。 ②平面的垂线与平面所成的角：规定为。
③平面的斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。
求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：“一作，二证，三计算”。
在“作角”时依定义关键作射影，由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线，
在解题时，注意挖掘题设中两个主要信息：（1）斜线上一点到面的垂线；（2）过斜线上的一点或过斜线的平面与已知面垂直，由面面垂直性质易得垂线。
（3）二面角和二面角的平面角
①二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。
②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。
③直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。
两相交平面如果所组成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直；反过来，如果两个平面垂直，那么所成的二面角为直二面角
④求二面角的方法
定义法：在棱上选择有关点，过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角
垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个面的交线所成的角为二面角的平面角
三、典型例题
例1.如图所示，空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝
DH∶HC＝1∶2.
求证：(1)E、F、G、H四点共面；
(2) GE与HF的交点在直线AC上．
证明 (1)∵BG∶GC＝DH∶HC，∴GH∥BD，又EF∥BD，∴EF∥GH，∴E、F、G、H四点共面．
(2) ∵G、H不是BC、CD的中点，∴EF≠GH.
又EF∥GH，∴EG与FH不平行，则必相交，设交点为M.
⇒M∈面ABC且M∈面ACD⇒M在面ABC与面ACD的交线上⇒M∈AC.
∴GE与HF的交点在直线AC上．
变式练习1.如图所示，AB∩α＝P，CD∩α＝P，A，D与B，C分别在平面α的两侧，AC∩α＝Q，BD∩α＝R，求证：P、Q、R三点共线．
例2.如图，在四棱锥PABCD中，菱形ABCD的对角线交于点O，E、F分别是PC、DC的中点．平面PAD⊥平面ABCD，PD⊥AD.
求证：(1)平面EFO∥平面PDA；
(2)PD⊥平面ABCD.
(3)平面PAC⊥平面PDB.
【证明】 (1)∵四边形ABCD是菱形，∴O是AC的中点，
∵E、F分别是PC、DC的中点，∴EF∥PD.
又EF⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，∴EF∥平面PAD.
同理FO∥平面PAD.而EF∩FO＝F，EF、FO⊂平面EFO，∴平面EFO∥平面PDA.
(2)∵平面PAD⊥平面ABCD，PD⊥AD，
平面PAD∩平面ABCD＝AD，PD⊂平面PAD，∴PD⊥平面ABCD.
(3)∵PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PD，
∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
又PD∩DB＝D，∴AC⊥平面PBD，∵AC⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面PDB.
【方法规律】 (1)证明两平面平行，要寻找一个平面内两相交直线平行于另一平面内两相交直线；
(2)利用面面垂直的性质定理可证明线面垂直；
变式练习2.如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，点E，F分别是AB，BD的中点．
求证：(1)直线EF∥面ACD；
(2)平面EFC⊥平面BCD.
【证明】 (1)在△ABD中，
∵E，F分别是AB，BD的中点，∴EF∥AD.
又AD⊂平面ACD，EF⊄平面ACD，∴直线EF∥平面ACD.
(2)在△ABD中，∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD.
在△BCD中，∵CD＝CB，F为BD的中点，∴CF⊥BD.
∵CF∩EF＝F，∴BD⊥平面EFC，
又∵BD⊂平面BCD，∴平面EFC⊥平面BCD.
例3. 如图，正方体的棱长为1，B′C∩BC′＝O，
求：(1)AO与A′C′所成角的度数；
(2)AO与平面ABCD所成角的正切值；
(3)平面AOB与平面AOC所成角的度数.
在Rt△OAE中，OE＝，
AE＝＝ ＝，∴tan∠OAE＝＝.
(3)∵OC⊥OA，OC⊥OB，OA∩OB＝O，
∴OC⊥平面AOB.又∵OC⊂平面AOC，∴平面AOB⊥平面AOC，
即平面AOB与平面AOC所成角的度数为90°.
【方法规律】求线线角、线面角、面面角， 先找出(或作出)它们的平面角，再用解三角形的办法求其大小．
变式练习3．如图所示，在△ABC中，AB⊥BC，SA⊥平面ABC，DE垂直平分SC，且分别交AC，SC于点D，E，又SA＝AB，SB＝BC，求二面角EBDC的大小．
【答案】60°
【解析】 例4.在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，过E作EF⊥PB于点F.
(1)求证：PA∥平面EDB；
(2)求证：PB⊥平面EFD；
(3)求二面角CPBD的大小．
(3)由(2)知，PB⊥DF，EF⊥PB，∵∠EFD是二面角CPBD的平面角．由(2)知DE⊥EF，PD⊥DB.
设正方形ABCD的边长为a，则PD＝DC＝a，BD＝a，∴PB＝＝a，
PC＝＝a，∴在Rt△PDB中，DF＝＝＝a.
又∵DE＝PC＝a，∴在Rt△EFD中，sin ∠EFD＝＝＝，∴∠EFD＝60°.
∴二面角CPBD的大小是60°.
【方法规律】证线面平行、线面垂直可用判定定理或用性质定理．
变式练习4．如图(1)，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，AD＝AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将△ABF沿AF折起，得到如图(2)所示的三棱锥ABCF，其中BC＝.
(1) (2)
(1)证明：DE∥平面BCF；
(2)证明：CF⊥平面ABF；
(3)当AD＝时，求三棱锥FDEG的体积VFDEG.
【解析】 (1)证明：在等边三角形ABC中，AD＝AE，∴＝，在折叠后的三棱锥ABCF中也成立，∴DE∥BC.∵DE⊄平面BCF，BC⊂平面BCF，∴DE∥平面BCF.
(2)证明：在等边三角形ABC中，F是BC的中点，∴AF⊥BC，BF＝CF＝.
∵在三棱锥ABCF中，BC＝，∴BC2＝BF2＋CF2，∴CF⊥BF.
∵BF∩AF＝F，∴CF⊥平面ABF.
(3)由(1)可知GE∥CF，结合(2)可得GE⊥平面DFG.
∴VFDEG＝VEDFG＝××DG×FG×GE＝××××＝.
四、课堂练习
1.直线及平面，使成立的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
2.如图，是直三棱柱，，点和分别是和的中点，若，则与所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】取BC的中点D，连接，，DA，由于都是中点，所以,因此，,为所求角，设,则,即。故选A。
3.已知六棱锥PABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB.则下列命题中正确的有___________．(填序号)
①PA⊥AD；②平面ABC⊥平面PBC；③直线BC∥平面PAE；④直线PD与平面ABC所成角为30°.
【答案】①③
4.如图所示，四棱锥P—ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PD的中点，又二面角P—CD—B为45°.
（1）求证：AF∥平面PEC；
（2）求证：平面PEC⊥平面PCD；
（3）设AD=2，CD=2,求点A到平面PEC的距离.
【答案】（1）（2）证明略，（3）1
五、课后练习
1.在空间四边形ABCD中，E、F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB=CF∶FB=1∶3，则对角线AC和平面DEF的位置关系是( )
A.平行 B.相交 C.在内 D.不能确定
【答案】A
【解析】∵AE：EB=CF：FB=1：3，∴AC∥EF.可以证明AC平面DEF.若AC平面DEF，则AD平面DEF，BC平面DEF.由此可知ABCD为平面图形，这与ABCD是空间四边形矛盾，故AC平面DEF.∵AC∥EF，EF平面DEF.∴AC∥平面DEF.故选A。
2.、是不同的直线，、、是不同的平面，有以下四命题：
① 若，则; ②若，则;
③ 若，则; ④若，则.
其中真命题的序号是 （ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【答案】A
3．如图所示，正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为( )
A.B.C.D.
【答案】D
4．已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，则侧棱与底面所成的角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如图所示，设VA=VB=VC=2a，AB=BC=AC=a，
因为是正三棱锥，所以顶点P的射影0为底面中心，也是重心，
所以∠VB0即为侧棱与底面所成的角B0=，∴cos∠VBO==。故选A．
5.如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中，①与平行 ；②与是异面直线 ；③与成角 ；④与垂直．以上四个说法中，正确说法的序号是__________．
【答案】③④
【解析】将展开图折回，可得原正方体如下图（1），由此可知，与显然不平行，故①错误；由图（2）及正方体的性质易知，故②错误；由图（3）易知，为正三角形，，所以与成角，故③正确；如图（4），一方面，另一方面，且，于是可得平面，进而可得，故④正确；综上可知，正确命题的序号是③④.
6．已知三棱锥D-ABC的三个侧面与底面全等，且AB=AC=，BC=2，则以BC为棱，以面BCD与面BCA为面的二面角为。
【答案】
7.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、M、N分别是B1C1、A1D1、A1B1、BD、B1C的中点，
求证：(1)MN∥平面CDD1C1；(2)平面EBD∥平面FGA．
【答案】 略
8.如图，将一副三角板拼接，使它们有公共边BC，且使两个三角形所在的平面互相垂直，若∠BAC＝90°，AB＝AC，∠CBD＝90°，∠BDC＝60°，BC＝6。
A
B
D
C
⑴ 求证：平面平面ACD；
⑵ 求二面角的平面角的正切值；
⑶ 设过直线AD且与BC平行的平面为，求点B到平面的距离。
【答案】（1）略（2）2；（3）
⑶过点D作DG//BC，且CB＝DG，连AG
∥平面ADG∴B到平面ADG的距离与C到平面ADG的距离h
、