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- 2023-05-11 发布
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临沧市一中2017—2018学年下学期高三第1次月考
数学试卷 (理科)
注意事项：
1. 本卷满分150分，考试时间120分钟,答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在
答题纸上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘在答题纸的指定位置上；
2. 选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；
非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写,字体要工整、笔迹要清楚；
一、 选择题（每小题5分，共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）
1．设集合，，则=（ ）
A． B． C． D．
2．在复平面内，复数对应的点的坐标为，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知中，，，则的值是( )
A． B． C. D．
4．设， 为的展开式的第一项（为自然对数的底数），,若任取，则满足的概率是( )
A． B． C. D．
5．函数的图象大致是（ ）
6．已知一个简单几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为，则该几何体的表面积为（ ）
A． B． C． D．
7．已知，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
8.执行如下程序框图，则输出结果为（ ）
A．20200 B．-5268.5 C．5050 D．-5151
9. 如图，设椭圆:的右顶点为，右焦点为， 为椭圆在第二象限上的点，直线交椭圆于点，若直线平分线段于，则椭圆的离心率是（ ）
A. B. C. D.
10.设函数为定义域为的奇函数，且，当时， ，则函数在区间上的所有零点的和为（ ）
A. 6 B. 7 C. 13 D. 14
11、已知函数，其中为函数的导数，求（ ）
A. 2 B . 2019 C. 2018 D. 0
12.已知直线 ，若存在实数 使得一条曲线与直线 有两个不同的交点，且以这两个交点为端点的线段长度恰好等于 ，则称此曲线为直线 的“绝对曲线”.下面给出的四条曲线方程：
① ；② ；③ ；④ .
其中直线 的“绝对曲线”的条数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）
13、已知实数满足，且，则实数的取值范围
14、双曲线的左右焦点分别为、， 是双曲线右支上一点， 为的内心， 交轴于点，若，且，则双曲线的离心率的值为 .
15.若平面向量满足，则在方向上投影的最大值是 .
16.观察下列各式：
；
；
；
；
若按上述规律展开后，发现等式右边含有“2017”这个数，则的值为
三、 解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17-21为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答）
17.(本小题满分10分）
已知等差数列中,公差, ，且成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若为数列的前项和，且存在，使得成立，求实数的取值范围.
18. （本小题满分12分）
为了解学生寒假期间学习情况，学校对某班男、女学生学习时间进行调查，学习时间按整小时统计，调查结果绘成折线图如下：
（I）已知该校有名学生，试估计全校学生中，每天学习不足小时的人数．
（II）若从学习时间不少于小时的学生中选取人，设选到的男生人数为
，求随机变量的分布列．
（III）试比较男生学习时间的方差与女生学习时间方差的大小．（只需写出结论）．
19.（本小题满分12分）
如图所示，四棱锥的底面为矩形，已知,.过底面对角线作与平行的平面交于.
(1) 试判定点的位置，并加以证明；
(2) 求二面角的余弦值.
20．（本小题满分12分）
在平面直角坐标平面中，的两个顶点为，平面内两点、同时满足：①；②；③．
（1）求顶点的轨迹的方程；
（2）过点作两条互相垂直的直线，直线与的轨迹相交弦分别为，设弦的中点分别为．
①求四边形的面积的最小值；
②试问：直线是否恒过一个定点？若过定点，请求出该定点，若不过定点，请说明理由．
21．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）当，求函数的图象在处的切线方程；
（2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；
（3）已知均为正实数，且，求证：
请考生在第22、23题中任选一道作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22． 【选修4-4：坐标系与参数方程】（10分）
在极坐标系中，曲线的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为轴正半轴（两坐标系取相同的单位长度）的直角坐标系中，曲线的参数方程为：（为参数）．
（1）求曲线的直角坐标方程与曲线的普通方程；
（2）将曲线经过伸缩变换后得到曲线，若分别是曲线和曲线
上的动点，求的最小值．
22． 【选修4-5：不等式选讲】（10分）
已知=（）．
（Ⅰ）当时，解不等式．
（Ⅱ）若不等式对恒成立，求实数的取值范围．
临沧市一中2017—2018学年下学期高三第1次月考
理科数学参考答案
1-5: B D A C D 6-10: D A C C A 11-12:A C
13、 14、 15、 16、
17、解：（1）由题意可得即………………2分
又因为，所以 所以.………………5分
（2）因为，所以.………………7分
因为存在，使得成立，所以存在，使得成立，
即存在，使得成立.………………9分
又，（当且仅当时取等号），
所以.即实数的取值范围是.………………12分
三、 解：
（I）由折线图可得共抽取了20人，其中男生中学习时间不足小时的有8人，女生中学习时间不足小时的有4人。
∴可估计全校中每天学习不足小时的人数为： 人． ……………2分
（II）学习时间不少于本的学生共人，其中男学生人数为人，故的所有可能取值为， ， ， ， ．……………3分
由题意可得；
；
；
；
．……………7分
所以随机变量的分布列为
∴均值． ……………10分
（Ⅲ）由折线图可得.……………12分
19、解：（1）为的中点，证明如下：
连接，因为平面.平面平面，平面，所以，又为的中点，所以为的中点. ................4分
（2）连接，因为四边形为矩形，所以.因为，所以.同理，得，所以平面.以为原点，为轴，过平行于的直线为轴，过平行于的直线为轴建立空间直角坐标系（如图所示）. ................6分
易知，，，，，，
则. ................8分
显然，是平面的一个法向量.设是平面的一个法向量，
则，即，取，
则，................10分
所以，
所以二面角的余弦值为. .........12分
20、1．（1）；（2）①的最小值的，②直线恒过定点．
试题解析：（1）∵
∴由①知
∴为的重心
设，则，由②知是的外心
∴在轴上由③知，由，得，化简整理得： ．
（2）解： 恰为的右焦点，
①当直线的斜率存且不为0时，设直线的方程为，
由，
设则，
①根据焦半径公式得，
又，
所以，同理，
则，
当，即时取等号．
②根据中点坐标公式得，同理可求得，
则直线的斜率为，
∴直线的方程为，
整理化简得，
令，解得
∴直线恒过定点，
②当直线有一条直线斜率不存在时，另一条斜率一定为0，直线即为轴，过点，
综上， 的最小值的，直线恒过定点．
21.【答案】（Ⅰ）当时，则
则
∴函数的图像在时的切线方程为
（Ⅱ）∵函数在上单调递增∴在上无解
当时，在上无解满足
当时，只需∴①
∵函数在上单调递增∴在上恒成立
即在上恒成立
设
∵∴则在上单调递增
∴在上的值域为
∴在上恒成立则②
综合①②得实数的取值范围为
（Ⅲ）由（2）知，当时，在上单调递增
于是当时，
当时，
∴即，
同理有，
三式相加得
22、解：（1）∵的极坐标方程是，∴，整理得，∴的直角坐标方程为.……3分
曲线：，∴,故的普通方程为．……5分
（2）将曲线经过伸缩变换后得到曲线的方程为，则曲线的参数方程为（为参数）.设，则点到曲线的距离为
.
当时，有最小值，所以的最小值为.……10分
23、解：（Ⅰ）当时，等式，即，
等价于或或，（2分）
解得或，（4分）
所以原不等式的解集为；（5分）
（Ⅱ）设==，则=，
则在上是减函数，在上是增函数，
∴当=时，取最小值且最小值为， 8分
∴，解得，∴实数的取值范围为． 10分
