数学理卷·2017届四川省泸州市高三第三次教学质量诊断性考试（2017 13页

泸州市高2014级第三次教学质量诊断性考试 数学（理科）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.复数（其中是虚数单位）的虚部为（ ）‎ A． B． C．1 D．-1‎ ‎3.已知等比数列的公比，，则其前3项和的值为（ ）‎ A．24 B．28 C．32 D．16‎ ‎4.已知平面向量，，则的值是（ ）‎ A．1 B．5 C． D．‎ ‎5.如图，一环形花坛分成四块，现有3种不同的花供选种，要求在每块里种一种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（ ）‎ A．12 B．24 C．18 D．6‎ ‎6.已知抛物线的焦点为，过点且倾斜角为的直线与抛物线的准线交于点，则线段的长为（ ）‎ A．10 B．6 C．8 D．4‎ ‎7.设是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题中正确的是（ ）‎ A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 ‎8.已知函数的图象沿轴向左平移个单位后关于轴对称，则函数的一个单调递增区间是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9.我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有堩（音gèng，意为道路）厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠目自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现有程序框图描述，如图所示，则输出结果的值为（ ）‎ A．4 B．5 C．2 D．3‎ ‎10.已知中，，以为焦点的双曲线（）经过点，且与边交于点，若，则该双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11.已知一个三棱锥的三视图如下图所示，其中俯视图是顶角为的等腰三角形，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12.已知函数与（）的图象有且只有一个公共点，则所在的区间为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 展开式中，项的系数为 ．‎ ‎14.设不等式组表示的平面区域为，在区域内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是 ．‎ ‎15.若函数，（且）的值域是，则实数的取值范围是 ．‎ ‎16.已知数列的前项和（），则数列的通项公式 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知的三个内角的对边分别为，若.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，，求边上的高.‎ ‎18. 甲，乙两台机床同时生产一种零件，其质量按测试指标划分：指标大于或等于95为正品，小于95为次品，现随机抽取这两台车床生产的零件各100件进行检测，检测结果统计如下：‎ 测试指标 机床甲 ‎8‎ ‎12‎ ‎40‎ ‎32‎ ‎8‎ 机床乙 ‎7‎ ‎18‎ ‎40‎ ‎29‎ ‎6‎ ‎（1）试分别估计甲机床、乙机床生产的零件为正品的概率；‎ ‎（2）甲机床生产一件零件，若是正品可盈利160元，次品则亏损20元；乙机床生产一件零件，若是正品可盈利200元，次品则亏损40元，在（1）的前提下，现需生产这种零件2件，以获得利润的期望值为决策依据，应该如何安排生产最佳？‎ ‎19. 如图，在梯形中，，，，平面平面，四边形是矩形，，点在线段上.‎ ‎（1）当为何值时，平面？证明你的结论；‎ ‎（2）求二面角的平面角的余弦值.‎ ‎20. 已知点是圆上的任意一点，点为圆的圆心，点与点关于平面直角系的坐标原点对称，线段的垂直平分线与线段交于点.‎ ‎（1）求动点的轨迹的方程；‎ ‎（2）若轨迹与轴正半轴交于点，直线交轨迹于两点，求面积的取值范围.‎ ‎21. 已知函数（其中为自然对数的底数）‎ ‎（1）设过点的直线与曲线相切于点，求的值；‎ ‎（2）若函数的图象与函数的图象在内有交点，求实数的取值范围.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，曲线（为参数）经伸缩变换后的曲线为，以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（1）求曲线的极坐标方程；‎ ‎（2）是曲线上两点，且，求的取值范围.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数，若的最小值为2.‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）若，且均为正实数，且满足，求的最小值.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5:ACBBC 6-10:DBBAD 11、12:AD 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16. ‎ 三、解答题 ‎17.解：‎ ‎（1）因为，‎ 所以，‎ 因为，‎ 所以 所以 即，‎ 即，‎ 因为，，所以，‎ 所以或，‎ 故；‎ ‎（2）由及得，，‎ 由余弦定理：得，‎ 解得：，‎ 由得，，‎ 设边上的高为，则，‎ 即，‎ 所以.‎ ‎18.解：‎ ‎（1）因为甲机床为正品的频率为，‎ 乙机床为正品的频率约为，‎ 所以估计甲、乙两机床为正品的概率分别为；‎ ‎（2）若用甲机床生产这2件零件，设可能获得的利润为320元、140元、-40元，它们的概率分别为 ‎，，‎ ‎，‎ 所以获得的利润的期望，‎ 若用乙机床生产这2件零件，设可能获得的利润为为400元、160元、-80元，它们的概率分别为 ‎，，，‎ 让你以获得的利润的期望；‎ 若用甲、乙机床各生产1件零件，设可能获得的利润为360元、180元、120元、-60元，它们的概率分别为 ‎，，‎ ‎，‎ 所以获得的利润的期望 ‎，‎ ‎∵，‎ 所以安排乙机床生产最佳.‎ ‎19. 解：‎ ‎（1）当时，平面，证明如下：‎ 在梯形中，设，连接，‎ 因为，，‎ 所以，又，‎ 因为∽,‎ 因此，‎ 所以，因为是矩形，‎ 所以四边形是平行四边形，‎ 所以，‎ 又平面，平面，‎ 所以平面；‎ ‎（2）在平面内过点作，‎ 因为平面平面，且交线为，‎ 则平面，即，，‎ 以点为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，‎ 则，，，，‎ 所以，，，，‎ 设平面的法向量为，则，‎ ‎∴，取，‎ 同理可得平面的法向量，‎ 所以，‎ 因为二面角是锐角，所以其余弦值是.‎ ‎20.解：‎ ‎（1）由题意知圆的圆心为，半径为4，‎ 所以，‎ 由椭圆的定义知，动点的轨迹是以为焦点，4为长轴长的椭圆，‎ 设椭圆的方程为（），且焦距为，则：‎ ‎，即，‎ 故椭圆的方程为；‎ ‎（2）把直线，‎ 代入椭圆方程消去得：，‎ 由得：或，‎ 因为直线与椭圆相交于两点，，‎ 则，，‎ 因为点，直线与轴交于点 的面积 ‎，‎ 当且仅当，即时取等号，‎ 满足 所心面积的取值范围是.‎ ‎21.解：‎ ‎（1）因为函数，所以，‎ 故直线的斜率为，‎ 点的切线的方程为，‎ 因直线过，‎ 所以，‎ 即 解之得，‎ ‎（2）令，所以，‎ 设，则，‎ 因函数的图象与函数的图象在内有交点，‎ 设为在内的一个零点，‎ 由，‎ 所以在和上不可能单增，也不可能单减，‎ 所以在和上均存在零点，‎ 即在上至少有两个零点，‎ 当时，，在上递增，不可能有两个及以上零点；‎ 当时，，在上递减，不可能有两个及以上零点；‎ 当时，令，得，‎ ‎∴在上递减，在上递增，‎ 所以 设，则，‎ 令，得，‎ 当时，，递增，‎ 当时，，递减，‎ 所以，‎ ‎∴恒成立，‎ 若有两个零点，则有，，，‎ 由，，得，‎ 当，设的两个零点为，则在递增，在递减，在递增，‎ ‎∴，，‎ 所以在内有零点，‎ 即函数的图象与函数的图象在内有交点，‎ 综上，实数的取值范围是.‎ ‎22.解：‎ ‎（1）曲线化为普通方程为：，‎ 又即代入上式可知：‎ 曲线的方程为，即，‎ ‎∴曲线的极坐标方程为.‎ ‎（2）设，（），‎ ‎∴‎ ‎，‎ 因为，‎ 所以的取值范围是 ‎23.解：‎ ‎（1）①当时，即时，‎ 则当时，，‎ 解得或（舍）；‎ ‎②当时，即时，‎ 则当时，，‎ 解得（舍）或 ‎③当时，即，，‎ 此时，不满足条件，‎ 综上所述，或；‎ ‎（2）由题意知，，‎ ‎∵‎ 当且仅当时取“”，‎ ‎∴，所以的最小值为18‎