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  • 2023-05-11 发布

上海市上海实验学校2020届高三上学期9月第一次月考数学试题

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‎2020届上海实验学校高三上9月月考试卷 一、填空题 ‎1.已知集合,则=_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求,再利用交集的运算性质可得.‎ ‎【详解】,.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查集合间的基本运算,考查推理能力与计算能力,属于基础题.‎ ‎2.命题:“若,则”逆否命题是______.‎ ‎【答案】若,则 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据逆否命题的定义即可得到结论.‎ ‎【详解】命题“若,则”的逆否命题是:若,则 故答案为:若,则 ‎【点睛】本题主要考查四种命题之间的关系,即原命题与逆否命题的形式.‎ ‎3.若函数的定义域为,则的定义域为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将整体代入区间,求出的范围即为的定义域.‎ ‎【详解】因为函数的定义域为,‎ 所以,‎ 所以的定义域为.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查抽象函数的定义域,求解抽象函数定义域要注意两个原则:一是已知或求解定义域,都是指自变量的取值范围;二是对应关系作用的对象范围要一致.‎ ‎4.不等式 的解集为________________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析:直接利用分式不等式的解法,化简求解即可.‎ 详解:原不等式且,‎ 解得或.‎ 故答案为:.‎ 点睛:简单的分式不等式可以等价转化,利用一元二次不等式解法进行求解.‎ ‎5.函数的反函数=_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 从条件中函数式,中反解出,再将,互换即得.‎ ‎【详解】,‎ ‎,‎ 函数的反函数为.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题主要考查反函数的求法,解题的关键是反解,考查基本运算求解能力,属于基础题.‎ ‎6.函数在区间上的值域为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由两个增函数和仍是增函数得函数在区间上单调递增,将区间端点代入函数解析式即可求出值域.‎ ‎【详解】因函数与在区间上均为增函数,‎ 所以在区间上为增函数,‎ 当时,;当时,;‎ 所以函数的值域为.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查利用函数的单调性求函数的值域,考查基本的运算求解能力.‎ ‎7.若,则满足的x的取值范围是_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知得到关于的不等式,化为根式不等式,然后化为整式不等式解之.‎ ‎【详解】由得到即,所以且,解得.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查根式不等式的解法;一般的转化为整式不等式解之,但要注意定义域优先法则.‎ ‎8.已知实数,满足约束条件,则的最大值_______.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出可行域,求出区域的顶点坐标,将顶点坐标一一代入,即可判断函数的最大值。‎ ‎【详解】作出不等式组表示的平面区域,如图 求得区域的顶点分别为,,,分别将三点代入目标函数得:,,,所以的最大值为 ‎【点睛】本题考查了线性规划问题,作出可行域,当不等式组为线性约束条件,目标函数是线性函数,可行域为多边形区域时(或有顶点的无限区域),直接代端点即可求得目标函数的最值。‎ ‎9.如图,已知正方形,其中,函数交于点,函数交于点,当最小时,则的值为_______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过函数解析式得到两点坐标,从而表示出,利用基本不等式得到最值,从而得到取最值时的条件,求解得到结果.‎ ‎【详解】依题意得:,‎ 则 当且仅当即时取等号,故 本题正确结果:‎ ‎【点睛】本题考查基本不等式的应用,关键在于能够通过坐标构造出关于的基本不等式的形式,从而利用取等条件得到结果.‎ ‎10.已知函数,设函数的最小值为,若不等式有解,则实数的取值范围为____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出的分段函数的形式,根据二次函数的性质求出的范围即可.‎ ‎【详解】,易得的最小值,‎ 不等式有解,‎ 有解,‎ 即,‎ 的取值范围为:.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查了解绝对值不等式问题,考查分类讨论思想以及转化思想,考查二次函数的性质,属中档题.‎ ‎11.已知函数是奇函数,若函数在区间上单调递增,则实数a的取值范围为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 函数在区间上单调递增,通过数形结合列出不等式组,即可求实数的取值范围.‎ ‎【详解】因为为奇函数,所以,作出函数的图象如图所示,‎ 要使在上单调递增,结合的图象知:‎ 所以,故实数的取值范围是.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题以分段函数为问题背景,考查函数的奇偶性、单调性,求解过程中要充分利用数形结合思想进行问题求解.‎ ‎12.给出函数,这里,若不等式恒成立,为奇函数,且函数恰有两个零点,则实数的取值范围为_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据二次函数的性质求出的值,求出函数的解析式,根据函数的奇偶性求出的值,求出的解析式,结合函数的图象求出的范围即可.‎ ‎【详解】若不等式恒成立,‎ 即恒成立,‎ 则△,解得:,‎ 故.‎ 若为奇函数,则,解得:,‎ 故,‎ 函数,的图象,如图所示:‎ 若函数恰有两个零点,‎ 当时,零点为和;‎ 当时,零点为和;‎ 故答案:.‎ ‎【点睛】本题综合考查函数的单调性、奇偶性、恒成立等问题,考查二次函数的图象与性质,求解过程中要充分利用图形进行分析问题和解决问题,特别是从图象观察出取值变化时,函数的零点是什么.‎ 二、选择题 ‎13.若a,b∈R,则a>b>0是a2>b2的( )‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】根据不等式的性质,‎ 由a>b>0可推出a2>b2;‎ 但,由a2>b2无法推出a>b>0,如a=-2,b=1,‎ 即a>b>0是a2>b2的充分不必要条件,‎ 故选A.‎ ‎14.若,则的最小值为( )‎ A. 2 B. C. 4 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据基本不等式求最值.‎ ‎【详解】,当且仅当时取等号,故的最小值为,选C.‎ ‎【点睛】本题考查根据基本不等式求最值,考查基本分析求解能力,属基础题.‎ ‎15.设是定义在R上,以1为周期的函数,若函数在区间上的值域为,则在区间上的值域为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知中是定义在上,以1为周期的函数,由函数在区间,上的值域为,,结合函数的周期性,我们可以分别求出在区间,,,,,,上的值域,进而求出在区间,上的值域.‎ ‎【详解】函数,。‎ 为上周期为1的函数,则,‎ ‎,‎ 或,‎ 当时,,‎ 利用(2)式可得:‎ 当时,则,,‎ 当时,则,,‎ 当时,则,,‎ 当时,则,,‎ 利用(1)式可得:‎ 当时,则,,‎ 当时,则,,‎ 当时,则,,‎ 当时,则,,‎ 由分段函数的值域是由每一段并起来,‎ 在区间上的值域为 故答案:。‎ ‎【点睛】本题考查函数的周期性及函数的值域,其中根据函数的周期性求出每个单位长度区间内函数的值域,再根据分段函数值域的求法,从而得到在区间上的值域是解答本题的关键.‎ ‎16.已知函数的定义域为R,且对于任意x∈R,都有及成立,当且时,都有成立,下列四个结论中不正确命题是( )‎ A. B. 函数在区间上为增函数 C. 直线是函数的一条对称轴 D. 方程在区间上有4个不同的实根 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析】‎ 由函数的定义域为,且对于任意,都有,易得函数为偶函数,又由当、,且时,都有成立.则函数在区间,上为增函数,又由,可得,易得函数是的周期函数,然后对四个结论逐一进行判断,即可得到答案.‎ ‎【详解】函数的定义域为,‎ 又对于任意,都有,函数为偶函数,‎ 又当、,且时,都有成立.‎ 函数在区间,上为增函数,‎ 又,令得:,‎ ‎,函数是的周期函数,‎ 则函数草图如下图所示:‎ 对,,故正确;‎ 对,函数在区间,上为减函数,故错误;‎ 对,直线是函数的一条对称轴,故正确;‎ 对,方程在区间,上有,,,共4个不同的实根.故正确;‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】当遇到函数综合应用时,处理的步骤一般为:①根据“让解析式有意义”的原则,先确定函数的定义域;②再化简解析式,求函数解析式的最简形式,并分析解析式与哪个基本函数比较相似;③根据定义域和解析式画出函数的图象;④根据图象分析函数的性质.‎ 三、解答题 ‎17.如图,在正四棱锥中,,,分别为,的中点.‎ ‎(1)求证:平面;‎ ‎(2)求异面直线与所成角的余弦值.‎ ‎【答案】(1)证明见解析;(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)设,则为底面正方形中心.连接,推导出,,由此能证明平面.‎ ‎(2)由,,两两互相垂直,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出异面直线与所成角的余弦值.‎ ‎【详解】(1)设,则为底面正方形中心,连接.‎ 因为为正四棱锥,所以平面.‎ 所以.‎ 又,且,‎ 所以平面.‎ ‎(2)因为,,两两互相垂直,如图建立空间直角坐标系.‎ 因为,所以,所以.‎ 设.‎ 所以 则,设异面直线与所成角为,‎ 则,‎ 所以异面直线与所成角的余弦值.‎ ‎【点睛】本题考查线面垂直的证明、异面直线所成角的求法,考查推理论证能力、运算求解能力及空间想象能力,建系时注意寻找三条两两互相垂直的直线,并设出单位长度,写好点的坐标.‎ ‎18.已知函数 ‎(1)若关于x的不等式的解集为R,求a的取值范围;‎ ‎(2)当a <0时,解关于x的不等式。‎ ‎【答案】(1);(2)当时,;当时,;当 时,;‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)将不等式转化为对任意的恒成立,再对进行分类讨论;‎ ‎(2),求出方程的两根为,再比较两根的大小,进行不等式求解.‎ ‎【详解】(1)对任意的恒成立,‎ 当时,对任意的恒成立,所以成立;‎ 当;‎ 综上所述:.‎ ‎(2)不等式,‎ 方程的两根为,‎ 当,即时,不等式的解集为;‎ 当,即时,不等式的解集为;‎ 当,即时,不等式的解集为;‎ ‎【点睛】本题考查一元二次不等式恒成立问题及一元二次含参不等式的求解,考查分类讨论和数形结合思想,求解过程中注意分类讨论的标准为比较两根的大小.‎ ‎19.某温室大棚规定,一天中,从中午12点到第二天上午8点为保温时段,其余4小时为工作作业时段,从中午12点连续测量20小时,得出此温室大棚的温度y(单位:度)与时间t(单位:小时,)近似地满足函数关系,其中,b为大棚内一天中保温时段的通风量。‎ ‎(1)若一天中保温时段的通风量保持100个单位不变,求大棚一天中保温时段的最低温度(精确到0.1℃);‎ ‎(2)若要保持一天中保温时段的最低温度不小于17℃,求大棚一天中保温时段通风量的最小值。‎ ‎【答案】(1)6.7℃;(2)256;‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据分段函数和函数的单调性即可求出,‎ ‎(2)根据分段函数,分离参数,利用二次函数的性质,求出即可.‎ ‎【详解】(1),‎ ‎①当,时,,此时函数单调递减,当时,,‎ ‎②当,时,,‎ 令,,,则,此时函数单调递增,当时,,‎ 综上所述最低温度为,‎ ‎(2),在,恒成立,‎ ‎①当,时,,可得,‎ 由于,在,单调递增,,‎ ‎②当,时,,可得 由于,当时取等号,‎ 综上所述,,‎ 大棚一天中保温时段通风量的最小值为256.‎ ‎【点睛】本题考查利用数学知识解决实际问题,考查分段函数和二次函数的单调性,考查计算能力,属于中档题.‎ ‎20.已知函数是定义域为上的奇函数,且 ‎(1)求的解析式. ‎ ‎(2)用定义证明:在上是增函数.‎ ‎(3)若实数满足,求实数的范围.‎ ‎【答案】(1);(2)见证明;(3).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)首先根据函数是定义域在上的奇函数可计算出的值,然后根据可计算出的值,即可得出结果;‎ ‎(2)可根据增函数定义,通过设并计算的值得出结果;‎ ‎(3)可通过奇函数的相关性质将转化为,然后列出算式即可得出结果。‎ ‎【详解】(1)因为函数是定义域在上的奇函数,‎ 所以,,‎ 因为,所以,。‎ ‎(2)在任取,设,即,‎ 则,‎ 因为,所以,,‎ 即当时,,在是增函数。‎ ‎(3)由题意可知,所以,‎ 即,解得。‎ ‎【点睛】本题考查函数的相关性质,主要考查奇函数的相关性质以及增函数的证明,奇函数有,可以通过增函数的定义来证明函数是增函数,考查化归与转化思想,考查计算能力,是中档题。‎ ‎21.对于定义域为D的函数y=f(x),如果存在区间[m,n]D,同时满足:‎ ‎①f(x)在[m,n]内是单调函数;‎ ‎②当定义域是[m,n]时,f(x)的值域也是[m,n].则称[m,n]是该函数的“和谐区间”.‎ ‎(1)证明:[0,1]是函数y=f(x)=x2的一个“和谐区间”.‎ ‎(2)求证:函数不存在“和谐区间”.‎ ‎(3)已知:函数(a∈R,a≠0)有“和谐区间”[m,n],当a变化时,求出n﹣m的最大值.‎ ‎【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3).‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(1)根据二次函数的性质,在区间上单调递增,且值域也为满足“和谐区间”的定义,即可得到结论;(2)该问题是一个确定性问题,从正面证明有一定的难度,故可采用反证法来进行证明;(3)设是已知函数定义域的子集,我们可以用表示出的取值,转化为二次函数的最值问题后,根据二次函数的性质,可以得到答案.‎ 试题解析:(1)y=x2在区间[0,1]上单调递增.‎ 又f(0)=0,f(1)=1,‎ 值域为[0,1],‎ 区间[0,1]是y=f(x)=x2的一个“和谐区间”.‎ ‎(2)设[m,n]是已知函数定义域的子集.‎ 故函数在[m,n]上单调递增.‎ 若[m,n]是已知函数的“和谐区间”,则 故m、n是方程的同号的相异实数根.‎ x2﹣3x+5=0无实数根,‎ 函数不存在“和谐区间”.‎ ‎(3)设[m,n]是已知函数定义域的子集.‎ x≠0,‎ 故函数在[m,n]上单调递增.‎ 若[m,n]是已知函数的“和谐区间”,则 故m、n是方程,即的同号的相异实数根.‎ ‎,‎ m,n同号,只须,即a>1或a<﹣3时,‎ 已知函数有“和谐区间”[m,n],‎ 当a=3时,n﹣m取最大值 考点:1.函数的单调性的性质;2.集合的关系;3.二次函数的图象和性质.‎ ‎【方法点晴】(1)根据二次函数的性质,我们可以得出区间上单调递增,且值域也为满足“和谐区间”的定义,即可得到结论.(2)该问题是一个确定性问题,从正面证明有一定的难度,故可采用反证法来进行证明,即先假设区间为函数的“和谐区间”,然后根据函数的性质得到矛盾,进而得到假设不成立,原命题成立.(3)设是已知函数定义域的子集,我们可以用表示出的取值,转化为二次函数的最值问题后,根据二次函数的性质,可以得到答案.‎ ‎ ‎

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