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- 2023-05-11 发布
2020届上海实验学校高三上9月月考试卷
一、填空题
1.已知集合，则=_______.
【答案】
【解析】
【分析】
先求，再利用交集的运算性质可得．
【详解】，.
故答案为：.
【点睛】本题考查集合间的基本运算，考查推理能力与计算能力，属于基础题．
2.命题：“若，则”逆否命题是______.
【答案】若，则
【解析】
【分析】
根据逆否命题的定义即可得到结论．
【详解】命题“若，则”的逆否命题是：若，则
故答案为：若，则
【点睛】本题主要考查四种命题之间的关系，即原命题与逆否命题的形式．
3.若函数的定义域为，则的定义域为_______.
【答案】
【解析】
【分析】
将整体代入区间，求出的范围即为的定义域.
【详解】因为函数的定义域为，
所以，
所以的定义域为.
故答案为：.
【点睛】本题考查抽象函数的定义域，求解抽象函数定义域要注意两个原则：一是已知或求解定义域，都是指自变量的取值范围；二是对应关系作用的对象范围要一致.
4.不等式 的解集为________________．
【答案】
【解析】
分析：直接利用分式不等式的解法，化简求解即可.
详解：原不等式且，
解得或.
故答案为：.
点睛：简单的分式不等式可以等价转化，利用一元二次不等式解法进行求解．
5.函数的反函数=_________.
【答案】
【解析】
【分析】
从条件中函数式，中反解出，再将，互换即得．
【详解】，
，
函数的反函数为.
故答案为：．
【点睛】本题主要考查反函数的求法，解题的关键是反解，考查基本运算求解能力，属于基础题．
6.函数在区间上的值域为______.
【答案】
【解析】
【分析】
由两个增函数和仍是增函数得函数在区间上单调递增，将区间端点代入函数解析式即可求出值域.
【详解】因函数与在区间上均为增函数，
所以在区间上为增函数，
当时，；当时，；
所以函数的值域为.
故答案为：.
【点睛】本题考查利用函数的单调性求函数的值域，考查基本的运算求解能力.
7.若，则满足的x的取值范围是_______.
【答案】
【解析】
【分析】
由已知得到关于的不等式，化为根式不等式，然后化为整式不等式解之．
【详解】由得到即，所以且，解得.
故答案为：．
【点睛】本题考查根式不等式的解法；一般的转化为整式不等式解之，但要注意定义域优先法则．
8.已知实数，满足约束条件，则的最大值_______．
【答案】2
【解析】
【分析】
作出可行域，求出区域的顶点坐标，将顶点坐标一一代入，即可判断函数的最大值。
【详解】作出不等式组表示的平面区域，如图
求得区域的顶点分别为，，，分别将三点代入目标函数得：，，，所以的最大值为
【点睛】本题考查了线性规划问题，作出可行域，当不等式组为线性约束条件，目标函数是线性函数，可行域为多边形区域时（或有顶点的无限区域），直接代端点即可求得目标函数的最值。
9.如图，已知正方形，其中，函数交于点，函数交于点，当最小时，则的值为_______
【答案】
【解析】
【分析】
通过函数解析式得到两点坐标，从而表示出，利用基本不等式得到最值，从而得到取最值时的条件，求解得到结果.
【详解】依题意得：，
则
当且仅当即时取等号，故
本题正确结果：
【点睛】本题考查基本不等式的应用，关键在于能够通过坐标构造出关于的基本不等式的形式，从而利用取等条件得到结果.
10.已知函数，设函数的最小值为，若不等式有解，则实数的取值范围为____.
【答案】
【解析】
【分析】
求出的分段函数的形式，根据二次函数的性质求出的范围即可．
【详解】，易得的最小值，
不等式有解，
有解，
即，
的取值范围为：．
故答案为：.
【点睛】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想以及转化思想，考查二次函数的性质，属中档题．
11.已知函数是奇函数，若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】
函数在区间上单调递增，通过数形结合列出不等式组，即可求实数的取值范围．
【详解】因为为奇函数，所以，作出函数的图象如图所示，
要使在上单调递增，结合的图象知：
所以，故实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】本题以分段函数为问题背景，考查函数的奇偶性、单调性，求解过程中要充分利用数形结合思想进行问题求解.
12.给出函数，这里，若不等式恒成立，为奇函数，且函数恰有两个零点，则实数的取值范围为_____.
【答案】
【解析】
【分析】
根据二次函数的性质求出的值，求出函数的解析式，根据函数的奇偶性求出的值，求出的解析式，结合函数的图象求出的范围即可．
【详解】若不等式恒成立，
即恒成立，
则△，解得：，
故.
若为奇函数，则，解得：，
故，
函数，的图象，如图所示：
若函数恰有两个零点，
当时，零点为和；
当时，零点为和；
故答案：．
【点睛】本题综合考查函数的单调性、奇偶性、恒成立等问题，考查二次函数的图象与性质，求解过程中要充分利用图形进行分析问题和解决问题，特别是从图象观察出取值变化时，函数的零点是什么．
二、选择题
13.若a,b∈R，则a＞b＞0是a2＞b2的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【详解】根据不等式的性质，
由a＞b＞0可推出a2＞b2；
但，由a2＞b2无法推出a＞b＞0，如a=-2,b=1，
即a＞b＞0是a2＞b2的充分不必要条件，
故选A.
14.若，则的最小值为（ ）
A. 2 B. C. 4 D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据基本不等式求最值.
【详解】,当且仅当时取等号，故的最小值为，选C.
【点睛】本题考查根据基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属基础题.
15.设是定义在R上，以1为周期的函数，若函数在区间上的值域为，则在区间上的值域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据已知中是定义在上，以1为周期的函数，由函数在区间，上的值域为，，结合函数的周期性，我们可以分别求出在区间，，，，，，上的值域，进而求出在区间，上的值域．
【详解】函数，。
为上周期为1的函数，则，
，
或，
当时，，
利用（2）式可得：
当时，则，，
当时，则，，
当时，则，，
当时，则，，
利用（1）式可得：
当时，则，，
当时，则，，
当时，则，，
当时，则，，
由分段函数的值域是由每一段并起来，
在区间上的值域为
故答案：。
【点睛】本题考查函数的周期性及函数的值域，其中根据函数的周期性求出每个单位长度区间内函数的值域，再根据分段函数值域的求法，从而得到在区间上的值域是解答本题的关键．
16.已知函数的定义域为R，且对于任意x∈R，都有及成立，当且时，都有成立，下列四个结论中不正确命题是（ ）
A. B. 函数在区间上为增函数
C. 直线是函数的一条对称轴 D. 方程在区间上有4个不同的实根
【答案】B
【解析】
分析】
由函数的定义域为，且对于任意，都有，易得函数为偶函数，又由当、，且时，都有成立．则函数在区间，上为增函数，又由，可得，易得函数是的周期函数，然后对四个结论逐一进行判断，即可得到答案．
【详解】函数的定义域为，
又对于任意，都有，函数为偶函数，
又当、，且时，都有成立．
函数在区间，上为增函数，
又，令得：，
，函数是的周期函数，
则函数草图如下图所示：
对，，故正确；
对，函数在区间，上为减函数，故错误；
对，直线是函数的一条对称轴，故正确；
对，方程在区间，上有，，，共4个不同的实根．故正确；
故选：B.
【点睛】当遇到函数综合应用时，处理的步骤一般为：①根据“让解析式有意义”的原则，先确定函数的定义域；②再化简解析式，求函数解析式的最简形式，并分析解析式与哪个基本函数比较相似；③根据定义域和解析式画出函数的图象；④根据图象分析函数的性质．
三、解答题
17.如图，在正四棱锥中，，，分别为，的中点．
（1）求证：平面；
（2）求异面直线与所成角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】
【分析】
（1）设，则为底面正方形中心．连接，推导出，，由此能证明平面．
（2）由，，两两互相垂直，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成角的余弦值．
【详解】（1）设，则为底面正方形中心，连接．
因为为正四棱锥，所以平面．
所以．
又，且，
所以平面．
（2）因为，，两两互相垂直，如图建立空间直角坐标系．
因为，所以，所以．
设．
所以
则，设异面直线与所成角为，
则，
所以异面直线与所成角的余弦值.
【点睛】本题考查线面垂直的证明、异面直线所成角的求法，考查推理论证能力、运算求解能力及空间想象能力，建系时注意寻找三条两两互相垂直的直线，并设出单位长度，写好点的坐标．
18.已知函数
（1）若关于x的不等式的解集为R，求a的取值范围；
（2）当a <0时，解关于x的不等式。
【答案】（1）；（2）当时，；当时，；当
时，；
【解析】
【分析】
（1）将不等式转化为对任意的恒成立，再对进行分类讨论；
（2），求出方程的两根为，再比较两根的大小，进行不等式求解.
【详解】（1）对任意的恒成立，
当时，对任意的恒成立，所以成立；
当；
综上所述：.
（2）不等式，
方程的两根为，
当，即时，不等式的解集为；
当，即时，不等式的解集为；
当，即时，不等式的解集为；
【点睛】本题考查一元二次不等式恒成立问题及一元二次含参不等式的求解，考查分类讨论和数形结合思想，求解过程中注意分类讨论的标准为比较两根的大小.
19.某温室大棚规定，一天中，从中午12点到第二天上午8点为保温时段，其余4小时为工作作业时段，从中午12点连续测量20小时，得出此温室大棚的温度y（单位：度）与时间t（单位：小时，）近似地满足函数关系，其中，b为大棚内一天中保温时段的通风量。
（1）若一天中保温时段的通风量保持100个单位不变，求大棚一天中保温时段的最低温度（精确到0.1℃）；
（2）若要保持一天中保温时段的最低温度不小于17℃，求大棚一天中保温时段通风量的最小值。
【答案】（1）6.7℃；（2）256；
【解析】
【分析】
（1）根据分段函数和函数的单调性即可求出，
（2）根据分段函数，分离参数，利用二次函数的性质，求出即可．
【详解】（1），
①当，时，，此时函数单调递减，当时，，
②当，时，，
令，，，则，此时函数单调递增，当时，，
综上所述最低温度为，
（2），在，恒成立，
①当，时，，可得，
由于，在，单调递增，，
②当，时，，可得
由于，当时取等号，
综上所述，，
大棚一天中保温时段通风量的最小值为256．
【点睛】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查分段函数和二次函数的单调性，考查计算能力，属于中档题．
20.已知函数是定义域为上的奇函数，且
(1）求的解析式.
(2)用定义证明：在上是增函数.
（3）若实数满足，求实数的范围.
【答案】(1)；(2)见证明；(3).
【解析】
【分析】
(1)首先根据函数是定义域在上的奇函数可计算出的值，然后根据可计算出的值，即可得出结果；
(2)可根据增函数定义，通过设并计算的值得出结果；
(3)可通过奇函数的相关性质将转化为，然后列出算式即可得出结果。
【详解】(1)因为函数是定义域在上的奇函数,
所以，，
因为，所以，。
(2)在任取，设，即，
则，
因为，所以，，
即当时，，在是增函数。
(3)由题意可知，所以，
即，解得。
【点睛】本题考查函数的相关性质，主要考查奇函数的相关性质以及增函数的证明，奇函数有，可以通过增函数的定义来证明函数是增函数，考查化归与转化思想，考查计算能力，是中档题。
21.对于定义域为D的函数y=f（x），如果存在区间[m，n]D，同时满足：
①f（x）在[m，n]内是单调函数；
②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]．则称[m，n]是该函数的“和谐区间”．
（1）证明：[0，1]是函数y=f（x）=x2的一个“和谐区间”．
（2）求证：函数不存在“和谐区间”．
（3）已知：函数（a∈R，a≠0）有“和谐区间”[m，n]，当a变化时，求出n﹣m的最大值．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．
【解析】
试题分析：（1）根据二次函数的性质,在区间上单调递增,且值域也为满足“和谐区间”的定义,即可得到结论；（2）该问题是一个确定性问题,从正面证明有一定的难度,故可采用反证法来进行证明；（3）设是已知函数定义域的子集,我们可以用表示出的取值,转化为二次函数的最值问题后,根据二次函数的性质,可以得到答案.
试题解析：（1）y=x2在区间[0，1]上单调递增．
又f（0）=0，f（1）=1，
值域为[0，1]，
区间[0，1]是y=f（x）=x2的一个“和谐区间”．
（2）设[m，n]是已知函数定义域的子集．
故函数在[m，n]上单调递增．
若[m，n]是已知函数的“和谐区间”，则
故m、n是方程的同号的相异实数根．
x2﹣3x+5=0无实数根，
函数不存在“和谐区间”．
（3）设[m，n]是已知函数定义域的子集．
x≠0，
故函数在[m，n]上单调递增．
若[m，n]是已知函数的“和谐区间”，则
故m、n是方程，即的同号的相异实数根．
，
m，n同号，只须，即a＞1或a＜﹣3时，
已知函数有“和谐区间”[m，n]，
当a=3时，n﹣m取最大值
考点：1.函数的单调性的性质；2.集合的关系；3.二次函数的图象和性质.
【方法点晴】（1）根据二次函数的性质，我们可以得出区间上单调递增，且值域也为满足“和谐区间”的定义，即可得到结论．（2）该问题是一个确定性问题，从正面证明有一定的难度，故可采用反证法来进行证明，即先假设区间为函数的“和谐区间”，然后根据函数的性质得到矛盾，进而得到假设不成立，原命题成立．（3）设是已知函数定义域的子集，我们可以用表示出的取值，转化为二次函数的最值问题后，根据二次函数的性质，可以得到答案．