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- 2023-05-11 发布
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题组层级快练(六十三)
1．双曲线 x2
36－m2
－y2
m2
＝1(00)的离心率为 2，则 a＝( )
A．2 B. 6
2
C. 5
2 D．1
答案 D
解析 因为双曲线的方程为x2
a2
－y2
3
＝1，所以 e2＝1＋3
a2
＝4，因此 a2＝1，a＝1.选 D.
4．(2015·安徽，理)下列双曲线中，焦点在 y 轴上且渐近线方程为 y＝±2x 的是( )
A．x2－y2
4
＝1 B.x2
4
－y2＝1
C．y2－x2
4
＝1 D.y2
4
－x2＝1
答案 D
解析 由题意，选项 A，B 的焦点在 x 轴，故排除 A，B，D 项的渐近线方程为y2
4
－x2＝0，
即 y＝±2x.
5．(2015·湖北，文)若双曲线x2
a2
－y2
b2
＝1 的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率
为( )
A. 7
3 B.5
4
C.4
3 D.5
3
答案 D
解析 由已知可得双曲线的渐近线方程为 y＝±b
ax，点(3，－4)在渐近线上，∴b
a
＝4
3
，又 a2
＋b2＝c2，∴c2＝a2＋16
9 a2＝25
9 a2，∴e＝c
a
＝5
3
，故选 D.
6．(2017·北京西城期末)mn<0 是方程x2
m
＋y2
n
＝1 表示实轴在 x 轴上的双曲线的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 当 mn<0 时，分 m<0，n>0 和 m>0，n<0 两种情况．
①当 m<0，n>0 时，方程x2
m
＋y2
n
＝1 表示焦点在 y 轴上的双曲线；②当 m>0，n<0 时，方程x2
m
＋y2
n
＝1 表示焦点在 x 轴上的双曲线．因此，当 mn<0 时，方程x2
m
＋y2
n
＝1 不一定表示实轴在
x 轴上的双曲线．方程x2
m
＋y2
n
＝1 表示实轴在 x 轴上的双曲线时，m>0，n<0，必定有 mn<0.
由此可得：mn<0 是方程x2
m
＋y2
n
＝1 表示实轴在 x 轴上的双曲线的必要而不充分条件．故选
B.
7．(2017·河北邢台摸底)双曲线 x2－4y2＝－1 的渐近线方程为( )
A．x±2y＝0 B．y±2x＝0
C．x±4y＝0 D．y±4x＝0
答案 A
解析 依题意，题中的双曲线即y2
1
4
－x2＝1，因此其渐近线方程是y2
1
4
－x2＝0，即 x±2y＝0，
选 A.
8．已知双曲线x2
a2
－y2
b2
＝1(a>0，b>0)的两条渐近线均与圆 C：x2＋y2－6x＋5＝0 相切，则该
双曲线的离心率等于( )
A. 5
5 B. 6
2
C.3
2 D.3 5
5
答案 D
解析 圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝4，所以圆心坐标为 C(3，0)，半径 r＝2，双曲线的渐近
线为 y＝±b
ax.不妨取 y＝b
ax，即 bx－ay＝0，因为渐近线与圆相切，所以圆心到渐近线的距离
d＝ |3b|
a2＋b2
＝2，即 9b2＝4(a2＋b2)，所以 5b2＝4a2，b2＝4
5a2＝c2－a2，即 9
5a2＝c2.所以 e2＝9
5
，
e＝3 5
5
，故选 D.
9．(2015·新课标全国Ⅱ)已知 A，B 为双曲线 E 的左，右顶点，点 M 在 E 上，△ABM 为等
腰三角形，且顶角为 120°，则 E 的离心率为( )
A. 5 B．2
C. 3 D. 2
答案 D
解析 如图所示，设双曲线方程为x2
a2
－y2
b2
＝1(a>0，b>0)，|AB|＝|BM|，∠ABM＝120°.过点
M 作 MN⊥x 轴，垂足为 N，在 Rt△BMN 中，|BN|＝a，|MN|＝ 3a，故点 M 的坐标为 M(2a，
3a)，代入双曲线方程得 c2＝2a2⇒e＝ 2，故选 D 项．
10．已知双曲线 mx2－ny2＝1(m>0，n>0)的离心率为 2，则椭圆 mx2＋ny2＝1 的离心率为( )
A.1
2 B. 6
3
C. 3
3 D.2 3
3
答案 B
解析 由已知双曲线的离心率为 2，得
1
m
＋1
n
1
m
＝2.
解得 m＝3n.又 m>0，n>0，∴m>n，即1
n>1
m.
故由椭圆 mx2＋ny2＝1，得y2
1
n
＋x2
1
m
＝1.
∴所求椭圆的离心率为 e＝
1
n
－1
m
1
n
＝
1
n
－ 1
3n
1
n
＝ 6
3 .
11．已知双曲线的方程为x2
a2
－y2
b2
＝1(a>0，b>0)，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为
5
3 c(c 为双曲线的半焦距长)，则双曲线的离心率为( )
A. 5
2 B.3
2
C.3 5
5 D.2
3
答案 B
解析 双曲线x2
a2
－y2
b2
＝1 的渐近线为x
a
±y
b
＝0，焦点 A(c，0)到直线 bx－ay＝0 的距离为 bc
a2＋b2
＝ 5
3 c，则 c2－a2＝5
9c2，得 e2＝9
4
，e＝3
2
，故选 B.
12．已知点 F1，F2 分别是双曲线x2
a2
－y2
b2
＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过点 F1 且垂直于 x 轴
的直线与双曲线交于 A，B 两点，若△ABF2 是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围
是( )
A．(1， 3) B．( 3，2 2)
C．(1＋ 2，＋∞) D．(1，1＋ 2)
答案 D
解析 依题意，0<∠AF2F1<π
4
，故 00，b>0)，又由
顶点为(1，0)知 a＝1，所以 b＝ c2－a2＝1.故所求双曲线的方程为 x2－y2＝1.
14．(2016·浙江，文)设双曲线 x2－y2
3
＝1 的左、右焦点分别为 F1，F2.若点 P 在双曲线上，且
△F1PF2 为锐角三角形，则|PF1|＋|PF2|的取值范围是________．
答案 (2 7，8)
解析 由题意不妨设点 P 在双曲线的右支上，现考虑两种极限情况：当 PF2⊥x 轴时，|PF1|
＋|PF2|有最大值 8；当∠P 为直角时，|PF1|＋|PF2|有最小值 2 7.因为△F1PF2 为锐角三角形，
所以|PF1|＋|PF2|的取值范围为(2 7，8)．
15．已知曲线方程 x2
λ＋2
－ y2
λ＋1
＝1，若方程表示双曲线，则λ的取值范围是________．
答案 λ<－2 或λ>－1
解析 ∵方程 x2
λ＋2
－ y2
λ＋1
＝1 表示双曲线，∴(λ＋2)(λ＋1)>0，解得λ<－2 或λ>－1.
16．(2015·课标全国Ⅱ，文)已知双曲线过点(4， 3)，且渐近线方程为 y＝±1
2x，则该双曲线
的标准方程为________．
答案 x2
4
－y2＝1
解析 方法一：因为双曲线过点(4， 3)，且渐近线方程为 y＝±1
2x，故点(4， 3)在直线 y＝
1
2x 的下方．设该双曲线的标准方程为x2
a2
－y2
b2
＝1(a>0，b>0)，所以
42
a2
－（ 3）2
b2
＝1，
b
a
＝1
2
，
解得
a＝2，
b＝1，
故双曲线方程为x2
4
－y2＝1.
方法二：因为双曲线的渐近线方程为 y＝±1
2x，故可设双曲线为x2
4
－y2＝λ(λ>0)，又双曲线过
点(4， 3)，所以42
4
－( 3)2＝λ，所以λ＝1，故双曲线方程为x2
4
－y2＝1.
17．(2016·北京)双曲线x2
a2
－y2
b2
＝1(a>0，b>0)的渐近线为正方形 OABC 的边 OA，OC 所在的
直线，点 B 为该双曲线的焦点．若正方形 OABC 的边长为 2，则 a＝________．
答案 2
解析 双曲线x2
a2
－y2
b2
＝1 的渐近线方程为 y＝±b
ax，由已知可得两条渐近线方程互相垂直，由
双曲线的对称性可得b
a
＝1.又正方形 OABC 的边长为 2，所以 c＝2 2，所以 a2＋b2＝c2＝
(2 2)2，解得 a＝2.
18.如图所示，双曲线的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，F1，F2 分别为左、
右焦点，双曲线的左支上有一点 P，∠F1PF2＝π
3
，且△PF1F2 的面积为 2 3，
又双曲线的离心率为 2，求该双曲线的方程．
答案 3x2
2
－y2
2
＝1
解析 设双曲线的方程为x2
a2
－y2
b2
＝1，∴F1(－c，0)，F2(c，0)，P(x0，y0)．
在△PF1F2 中，由余弦定理，得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cosπ
3
＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|.
即 4c2＝4a2＋|PF1|·|PF2|.
又∵S△PF1F2＝2 3，∴1
2|PF1|·|PF2|·sinπ
3
＝2 3.
∴|PF1|·|PF2|＝8.∴4c2＝4a2＋8，即 b2＝2.
又∵e＝c
a
＝2，∴a2＝2
3.∴所求双曲线方程为3x2
2
－y2
2
＝1.
1．(2015·广东，理)已知双曲线 C：x2
a2
－y2
b2
＝1 的离心率 e＝5
4
，且其右焦点为 F2(5，0)，则双
曲线 C 的方程为( )
A.x2
4
－y2
3
＝1 B.x2
9
－y2
16
＝1
C.x2
16
－y2
9
＝1 D.x2
3
－y2
4
＝1
答案 C
解析 因为双曲线 C 的右焦点为 F2(5，0)，所以 c＝5.因为离心率 e＝c
a
＝5
4
，所以 a＝4.
又 a2＋b2＝c2，所以 b2＝9.故双曲线 C 的方程为x2
16
－y2
9
＝1.
2．(2015·天津，文)已知双曲线x2
a2
－y2
b2
＝1(a>0，b>0)的一个焦点为 F(2，0)，且双曲线的渐近
线与圆(x－2)2＋y2＝3 相切，则双曲线的方程为( )
A.x2
9
－y2
13
＝1 B.x2
13
－y2
9
＝1
C.x2
3
－y2＝1 D．x2－y2
3
＝1
答案 D
解析 双曲线的一条渐近线方程为 y＝b
ax，即 bx－ay＝0.
由题意，得
c2＝a2＋b2，
c＝2，
2b
b2＋a2
＝ 3，
解得 a2＝1，b2＝3，
从而双曲线的方程为 x2－y2
3
＝1.
3．设 F1，F2 分别为双曲线x2
a2
－y2
b2
＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，双曲线上存在一点 P 使得
|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝9
4ab，则该双曲线的离心率为( )
A.4
3 B.5
3
C.9
4 D．3
答案 B
解析 由双曲线的定义，得||PF1|－|PF2||＝2a.又|PF1|＋|PF2|＝3b，所以(|PF1|＋|PF2|)2－(|PF1|
－|PF2|)2＝9b2－4a2，即 4|PF1|·|PF2|＝9b2－4a2.又 4|PF1|·|PF2|＝9ab，因此 9b2－4a2＝9ab，
即 9
b
a
2
－9b
a
－4＝0，则
3b
a
＋1 3b
a
－4 ＝0，解得b
a
＝4
3
b
a
＝－1
3
舍去 ，则双曲线的离心率 e
＝ 1＋
b
a
2
＝5
3.
4．若双曲线x2
a2
－y2
b2
＝1 的离心率为 3，则其渐近线方程为( )
A．y＝±2x B．y＝± 2x
C．y＝±1
2x D．y＝± 2
2 x
答案 B
解析 由离心率为 3，可知 c＝ 3a，∴b＝ 2a.
∴渐近线方程为 y＝±b
ax＝± 2x，故选 B.
5．(2015·北京，理)已知双曲线x2
a2
－y2＝1(a>0)的一条渐近线为 3x＋y＝0，则 a＝________．
答案 3
3
解析 因为双曲线x2
a2
－y2＝1(a>0)的一条渐近线为 y＝－ 3x，所以1
a
＝ 3，故 a＝ 3
3 .
6．(2015·山东，文)过双曲线 C：x2
a2
－y2
b2
＝1(a>0，b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直
线，交 C 于点 P.若点 P 的横坐标为 2a，则 C 的离心率为________．
答案 2＋ 3
解析 设直线方程为 y＝b
a(x－c)，由
x2
a2
－y2
b2
＝1，
y＝b
a
（x－c），
得 x＝a2＋c2
2c
，由a2＋c2
2c
＝2a，e＝c
a
，解
得 e＝2＋ 3(e＝2－ 3舍去)．
7．(2017·济宁模拟)如图所示，正六边形 ABCDEF 的两个顶点 A，D 为双
曲线的两个焦点，其余 4 个顶点都在双曲线上，则该双曲线的离心率是
( )
A. 3＋1 B. 3－1
C. 3 D. 2
答案 A
解析 令正六边形的边长为 m，则有|AD|＝2m，|AB|＝m，|BD|＝ 3m，该双曲线的离心率
等于 |AD|
||AB|－|BD||
＝ 2m
3m－m
＝ 3＋1.
8．(2013·全国Ⅰ)已知双曲线 C：x2
a2
－y2
b2
＝1(a>0，b>0)的离心率为 5
2
，则 C 的渐近线方程为
( )
A．y＝±1
4x B．y＝±1
3x
C．y＝±1
2x D．y＝±x
答案 C
解析 ∵e＝c
a
＝ 5
2
，∴e2＝c2
a2
＝a2＋b2
a2
＝5
4.
∴a2＝4b2，b
a
＝1
2.∴渐近线方程为 y＝±1
2x.
9．(2017·山东滕州月考)已知双曲线x2
25
－y2
9
＝1 的左、右焦点分别为 F1，F2，若双曲线的左
支上有一点 M 到右焦点 F2 的距离为 18，N 是 MF2 的中点，O 为坐标原点，则|NO|等于( )
A.2
3 B．1
C．2 D．4
答案 D
解析 由双曲线x2
25
－y2
9
＝1，知 a＝5，由双曲线定义|MF2|－|MF1|＝2a＝10，得|MF1|＝8，∴
|NO|＝1
2|MF1|＝4.
10．(2017·湖南六校联考)已知双曲线x2
a2
－y2
b2
＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2，以
F1F2 为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3，4)，则此双曲线的方程为( )
A.x2
16
－y2
9
＝1 B.x2
3
－y2
4
＝1
C.x2
9
－y2
16
＝1 D.x2
4
－y2
3
＝1
答案 C
解析 由已知可得交点(3，4)到原点 O 的距离为圆的半径，则半径 r＝ 32＋42＝5，故 c＝5，
a2＋b2＝25，又双曲线的一条渐近线 y＝b
ax 过点(3，4)，故 3b＝4a，可解得 b＝4，a＝3，故
选 C.
11．(2017·杭州学军中学模拟)过双曲线 C1：x2
a2
－y2
b2
＝1(a>0，b>0)的左焦点 F 作圆 C2：x2＋
y2＝a2 的切线，设切点为 M，延长 FM 交双曲线 C1 于点 N.若点 M 为线段 FN 的中点，则双
曲线 C1 的离心率为( )
A. 5 B. 5
2
C. 5＋1 D. 5＋1
2
答案 A
解析 设双曲线 C1 的右焦点为 F1.根据题意，得|FN|＝2b，|F1N|＝2a.根据双曲线的定义得|FN|
－|F1N|＝2a⇒b＝2a，则 e＝ 5.
12．(2017·辽宁五校协作体月考)已知 F1，F2 分别为双曲线的左、右焦点，P 为双曲线右支上
的任意一点，若|PF1|2
|PF2|
的最小值为 8a，则双曲线的离心率 e 的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．(1，2]
C．(1， 3] D．(1，3]
答案 D
解析 设|PF2|＝m(m≥c－a)，
则根据双曲线的定义，得|PF1|＝2a＋m.
所以|PF1|2
|PF2|
＝（2a＋m）2
m
＝4a2
m
＋4a＋m≥8a，当且仅当 m＝2a 时等号成立．所以 c－a≤2a，
解得 e≤3，所以 1
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