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- 2023-05-06 发布
7.翻折问题
1.在中，，，为延长线上一点，为内部一点，且．
（1）若，如图1，直接写出间的数量关系：___________；
（2）若，如图2，求证：；
（3）在（2）的条件下，如图3，将线段沿翻折，翻折后的点落在点处，且，连接，交的延长线于，若，求的长．
解析：（1）
提示：作于，交延长线于
∵，
∴
∵
∴，
∴
∴
∴
∴，
∴
∴
（2）作于，交延长线于
∵，
∴
∵
∴，
∴
∴，
∴，
∴
∴，
∴
∴
（3）作于，于
则，
由题意，
∴，
∴
∴
∵，
∴
∴，
∴
∴
由（2）知，，
∴
∵，
∴，
∴，
∴
∴，
∴
∴，
∴
∴
2.如图，在中，，翻折，使点落在斜边上某一点处，折痕为（点分别在边上）
（1）若与相似．
①当时，求的长；
②当时，求的长；
（2）当点是的中点时，与相似吗？请说明理由．
解析：（1）若与相似．
①当时，为等腰直角三角形，如答图1所示．
此时为边中点，．
②当时，有两种情况：
（I）若，如答图2所示．
∵，
∴．
由折叠性质可知，，
∴，即此时为边上的高．
在中，，
∴，
∴．
；
（II）若，如答图3所示．
∵，
∴．
由折叠性质可知，，
又∵，
∴，
∴．
同理可得：，
∴此时．
综上所述，当时，的长为或．
（2）当点是的中点时，与相似．理由如下：
如答图3所示，连接，与交于点．
∵是的中线，
∴，
∴．
由折叠性质可知，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴．
3.在矩形中，，点分别在边上，且．点为边上的一个动点，连接，把沿直线翻折得到．
（1）如图1，当时，
①填空：___________度；
②若，求的度数，并求此时的最小值；
（2）如图3，，连接，交边于点，且，为垂足，求的值．
解析：（1）①
②分两种情况：
第一种情况（如图1）
，
∴
由折叠可知：
又∵，
∴
∴
即，
∴
此时，当与重合时，的值最小，最小值是
第二种情况（如图2）
∵，
∴
即
由折叠可知：，
∴
∵，
∴
∴
此时，当与重合时，的值最小
设，则
在中，，
∴
∵
∴
∴，
∴
（2）过点作交于，
则
在矩形中，
∴
∴四边形为矩形，
∴
设，则
由折叠可知：
∴
在中，
在中，
∴
∵，
∴
∴
由折叠可知：
∴，
∴
∴
∴.
4.如图，为等边三角形，为内一点，且，把沿翻折，点落在点处，连接．
（1）求证：；
（2）连接，若，求的长．
解析：（1）将绕点逆时针旋转得，连接、
则是等边三角形，
∴
∵，∴
∴三点在同一直线上
∵，∴
由题意，
∴，
∴是等边三角形
∴
∴三点在同一直线上
∴
（2）过作于
∵是等边三角形，∴
设，则，，
在中，
解得
∴的长为或
5.已知矩形的一条边，将矩形折叠，使顶点落在边上的点处．
（1）如图1，已知折痕与边交于点，连结．
①求证：；
②若与的面积比为，求边的长；
（2）若图1中的点恰好是边的中点，求的度数；
（3）如图2，在（1）的条件下，擦去折痕、线段，连结．动点在线段上（点与点不重合），动点在线段的延长线上，且，连结交于点，作于点．试问当点在移动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段的长度．
解析：
（1）①∵四边形是矩形，∴
∴
∵是由沿折叠，
∴
∴
∵，
∴
②∵，的面积比为
∴，
∴
∵，
∴
设，则
在中，
∴，∴
即边的长为
（2）∵折叠后与重合，
∴，
∵，
∴
∵是的中点，
∴
∵，
∴
又，
∴
（3）线段的长度不变
作交于点
∵，
∴
∴
∴，
∴
∵，
∴
∵，
∴
∴
∵，
∴
由（1）得：
∴
∴，
∴，
∴
6.如图1，在平行四边形中，点是边的中点，连接并延长，交的延长线于点，且．连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）在图1中，若点是上一点，沿折叠，使点恰好落在线段上的点处（如图2），，求的长．
解析：（1）∵四边形是平行四边形，
∴
∴
∵是的中点，∴
∴，∴
∴四边形是平行四边形
∴
∵
∴，
∴，
∴
∴四边形是矩形
（2）
∵四边形是矩形，
∴
∵是由折叠得到的
∴
在中，
∴
设，则
在中，
即，解得
∴.
7.在直角梯形中，，，点在射线上，将沿翻折，点落到点处，射线与射线交于点．
（1）如图1，当点在边上时，求证：.
（2）如图2，当点在边的延长线上时，线段的数量关系是：_______________；
（3）在（2）的条件下，过点作，垂足为点，设直线与直线交于点，若求的长．
解析：（1）过作，交的延长线于，连接
∵，
∴
∵，
∴
∴，
∴
∵，
∴
又
∴，
∴
∴
∵，
∴
∴
（2）
提示：过作于，连接
同（1）可证：
∵，
∴
（3）连接，作于，于
∵
∴，
∵，
∴
∴，，
设，则
∵，
解得，
∴
∵，
∴
∵，
∴
∴
又，
∴
∵，
∴
∴，
∴
∵，
∴
8.如图1，等腰直角三角板的一个锐角顶点与正方形的顶点重合，将此三角板绕点旋转，使三角板中该锐角的两条边分别交正方形的两边于点，连结．
（1）猜想三条线段之间的数量关系，并证明你的猜想；
（2）在图1中，过点作于点，请直接写出和的数量关系；
（3）如图2，将沿斜边翻折得到，分别是边上的点，，连接，过点作于点．试猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想．
答案：见解析
解析：（1）猜想：
证明：延长到，使，连接
∵四边形是正方形
∴
∴，
∴
∴
∴
∵
∴
∴
又∵
∴
∴
即
（2）
（3）猜想：
证明：延长到，使，连接
∵沿斜边翻折得到
∴
∴，
∴
∴
∴
∵，
∴
∴
∴
又∵，
∴
∴，
∴
∴
9.（1）如图1，将矩形纸片沿对角线折叠，使点落在点处，交于点．
求证：；
（2）若矩形纸片中，，将矩形沿过点的直线折叠，使点落在点处，折痕交线段（不含端点）于点，线段交直线于点．图2是该矩形折叠后的一种情况．请探究并解决以下问题：
①当为直角三角形时，求的长；
②当时，求的取值范围．
解析：（1）
由题意，
∵，
∴
∴，
∴
（2）①
∵不与端点重合
∴
∴当为直角三角形时，只能
连接
∵
∴
∴
∴，
∴
即，解得或
∴当为直角三角形时，的长为或
②
∵，
∴
∴
∵，
∴
10.已知矩形的一条边，将矩形折叠，使得顶点落在边上的点处．
（1）如图1，已知折痕与边交于点，连结．
①图中___
②若与的面积比为，求边的长为_____；
（2）若图1中的点恰好是边的中点，求的度数为_____度；
（3）如图2，在（1）的条件下，擦去折痕、线段，连结．动点在线段上（点与点不重合），动点在线段的延长线上，且，连结交于点，作于点．试问当点在移动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段的长度．
解析：（1）如图1，
①∵四边形是矩形，．
由折叠可得：．
．
．
．
．
②与的面积比为，
．
．
设，则．
在中，
，
．
解得：．
．
边的长为．
（2）如图1，
是边的中点，
．
，
．
，
．
．
，
．
的度数为．
（3）作，交于点，如图2．
，
．
．
．
，，
．
，
．
，
．
在和中，
．
．
．
．
．
由（1）中的结论可得：
．
．
．
∴在（1）的条件下，当点在移动过程中，线段的长度不变，长度为．
11.问题解决
如图（1），将正方形纸片折叠，使点落在边上一点（不与点，重合），压平后得到折痕．
当时，求的值为_____．
方法指导：
为了求得的值，可先求、的长，不妨设：=2
类比归纳
在图（1）中，若则的值等于______；（注：若答案不是整数，请化为小数）；若则的值等于______；若（为整数），则的值等于____．（用含的式子表示）
联系拓广
如图（2），将矩形纸片折叠，使点落在边上一点（不与点重合），压平后得到折痕设则的值等于______．（用含的式子表示）
解析：方法一：如图（1-1），连接
由题设，得四边形和四边形关于直线对称．
∴垂直平分．∴
∵四边形是正方形，
∴
∵
设,则
在中，．
∴解得，即
在和在中，
，
，
设则
∴
解得即
方法二：同方法一，
如图（1－2），过点做交于点，连接
∵
∴四边形是平行四边形．
∴
同理，四边形也是平行四边形．∴
∵
在与中
∴
∵
∴
类比归纳
（或）；；
联系拓广
12.中，，为延长线上一点，为内部一点，且．
（1）若，如图1，直接写出间的数量关系：______；
（2）若，如图2，求证：；
（3）在（2）的条件下，如图3，将线段沿翻折，翻折后的点落在点处，且，连接，交的延长线于，若，求的长为______．
解析：
（1）
提示：作于交延长线于
∴AC＝BE
（2）作于交延长线于
（3）作于于
则
由题意，
由（2）知，，
,
13.如图1，四边形是一张正方形纸片，先将正方形对折，使与重合，折痕为，把这个正方形展平，然后沿直线折叠，使点落在上，对应点为．
（1）求的度数为______度；
（2）如图2，在图1的基础上，连接，试判断与的大小关系，并说明理由；
（3）如图3，按以下步骤进行操作：
第一步：先将正方形对折，使与重合，折痕为，把这个正方形展平，然后继续对折，使与重合，折痕为，再把这个正方形展平，设和相交于点；
第二步：沿直线折叠，使点落在上，对应点为；再沿直线折叠，使点落在上，对应点为；
第三步：设分别与相交于点，连接，．
试判断四边形的形状为______，并证明你的结论．
解析：（1）如图1，由对折可知，
∵四边形为正方形，
又由折叠可知，
∴在中，
解法二：如图1，连接．
（2）理由如下：
如图2，连接
由对折知，垂直平分
由折叠知，
∵四边形为正方形，
为等边三角形
∵四边形为正方形
由（1）知
由折叠知，
（3）四边形为正方形
如图3，连接
由（2）知，
由折叠知，
由对折知，
又∵四边形是正方形，
同理可得，
由对称性可知，
由两次对折可知，
，∴四边形为矩形
由对折知，于点于点
∴四边形为正方形
14.如图，在中，是边上一点，，是边上一动点（不与重合），过点作交于点．
（1）设，求关于的函数关系式；
（2）以为半径的与以为半径的能否相切？若能，求的值；若不能，请说明理由；
（3）将沿直线翻折，得到，连接，当时，求的长．
解析：（1）在中，
，∴，即
（2）对于；对于；圆心距
当两圆外切时，，
∴
解得
当两圆内切时，，
解得或（舍去），
（3）延长交于，则垂直平分
在中，，
，
当时，
，即，
∴，解得
15.如图①，把矩形纸片沿同时折叠，两点恰好落在边的点处，已知．
（1）求图①中矩形的边的长为______；
（2）求图①中四边形的面积为______；
（3）如图②，点是直线上的动点，点是直线上的动点，连接，求的最小值为______．
答案：24；57.6；24
解析：（1）由题意，
，
（2）连接
同理，
作于，则
（3）连接
由题意，
当点都落在线段上时，取得最小值
即等于线段的长
的最小值为
16.如图1，在梯形中，，为线段上的一动点，且和不重合，连接，过作交所在直线于．设．
（1）求与的函数关系式
（2）若点在线段上运动时，点总在线段上，求的取值范围
（3）如图2，若，将沿翻折至位置，，求长为______.
解析：（1）
在和中，
，
，
与的函数关系式为
（2）
∴当时，
∵点总在线段上，
，
（3）连接，过作于
由翻折可知
∴四边形为平行四边形
，
∴四边形为矩形
在中，
，
解得
或
17.如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，．
（1）如图1，是的中点，将沿翻折后得到，的延长线交于，求点的坐标为_____.
（2）如图2，点分别是线段上的动点，，如果以三点中的一点为圆心的圆恰好过另外两个点（三点不在同一条直线上），求点的坐标为______．
解析：（1）连接
由题意，
是的中点，
又
又
，
是的中点
，
（2）
设
①当点为圆心时，则
②当点为圆心时，则
过作于
则，
，
解得（舍去），
③当点为圆心时，则
，
解得
综上所述，点坐标为