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- 2023-05-06 发布
几何最值问题
1.如图，点的正方体左侧面的中心，点是正方体的一个顶点，正方体的棱长为，一只蚂蚁从点沿其表面爬到点的最短路程是（ ）
A．
B．
C．
D．
答案：C
解析：将正方体展开，连接，根据两点之间，线段最短，可知就是最短路径；过点做垂直于正方形的边长，垂足是点，根据正方形的性质和勾股定理知：
2.如图，正方体盒子的棱长为，的中点为，一只蚂蚁从点沿正方体的表面爬到点，蚂蚁爬行的最短距离是( )
A．
B．
C．
D．
答案：C
解析：将正方体展开如图所示，连接，根据两点之间，线段最短，知就是最短路径；在中，，故：
3.如图，是高为的圆柱底面圆上一点，一只蜗牛从点出发，沿角绕圆柱侧面爬行，当他爬到顶上时，他沿圆柱侧面爬行的最短距离是（ ）
A．
B．
C．
D．
答案：B
解析：将圆柱延点处展开如下图，根据两点之间，线段最短，可知是要求的最短路径，根据角直角三角形的性质得：
4.已知如图，直角梯形中，，，，，点在上移动，则当取最小值时，中边上的高为 ．
A．
B．
C．
D．
答案：D
解析：过点作于点，作点关于点的对称点，连接交于点；
∵，
∴四边形是矩形
∴
∴在中，
∴由勾股定理知：
在中，，
∴由勾股定理得：
∵
∴
∴
∵
故
在中，
∴
5.如图，在中，，，，经过点且与边相切的动圆与分别相交于点，则线段长度的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
答案：B
解析：
取的中点,取圆与直线的切点为，连接
∵，，
∴
由勾股定理知，是直角三角形
在中，是的中点，
∴
又∵
∴
∴当点三点共线且垂直于时，最小
∴
6.如图所示，正方形的面积为，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一点，使的和最小，则这个最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
答案：A
解析：
∵四边形是正方形
∴点关于直线的对称点是点
∴
根据两点之间，线段最短，当三点共线时最小，等于
∵是等边三角形
∴
7.如图，在锐角中，，的平分线交于点分别是和上的动点，则的最小值是___________．
答案：4
解析：过点作于点
∵是的角平分线
∴点关于的对称点正好落在上，连接
∴
根据点到直线的距离，垂线段最短，知的最小值就是
∴
8.已知边长为的正三角形，两顶点分别在平面直角坐标系的轴、轴的正半轴上滑动，点在第一象限，连结，则的长的最大值是 ．
A．
B．
C．
D．
答案：C
解析：
取的中点，连接、
在中，，
根据三角形三边性质，
∴当（此时点三点共线）时，最大
∴
9． 如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴的正半轴上，顶点的坐标为（），点的坐标为（），点为斜边上的一动点，则的最小值为（ ）．
A．
B．
C．
D．
答案：B
解析：如图，作关于的对称点，连接交于，连接，过 作于，则此时的值最小．
∵ ，
∴．
∵，
∴， ，．
由勾股定理得：．
由三角形面积公式得：，
即
∴．∴．
∵ ， ，
∴ ，∵ ，∴ ．
∵ ，∴ ，∴．
由勾股定理得：．
∵，∴．
在 中，由勾股定理得：．
即的最小值是．
所以应选B．
10.已知菱形的两条对角线分别为和，、分别是边、的中点，是对角线上一点，则的最小值=______．
答案：5
解析：
作关于的对称点，连接，交于，连接，此时的值最小，连接，
∵四边形是菱形，
∴
即在上，
∵，
∴，
∵为中点，
∴为中点，
∵为中点，四边形是菱形，
∴，，
∴四边形 是平行四边形，
∴，
∵四边形是菱形，
∴ ， ，
在 中，由勾股定理得：，
即，
∴，
故答案为：．
11.（1）观察发现
如图（1）：若点 、 在直线 同侧，在直线上找一点，使的值最小，做法如下：作点关于直线的对称点，连接，与直线的交点就是所求的点，线段的长度即为的最小值．
如图（2）：在等边三角形中，，点是的中点，是高，在 上找一点使 的值最小，做法如下：
作点关于的对称点，恰好与点重合，连接 交 于一点，则这点就是所求的点故 的最小值是多少？
（2）实践运用
如图（3）：已知的直径为，的度数为，点是的中点，在直径 上作出点，使 的值最小，则的值最小，则的最小值是多少？
（3）拓展延伸
如图（4）：点是四边形内一点，，，分别在边、上作出点，点，求周长的最小值．
解析：（1）观察发现
如图（2），的长为 的最小值，
∵在等边三角形 中， ，点 是 的中点
∴ ， ，
∴；
故答案为；
（2）实践运用
如图（3），过 点作弦 ，连结 交 于 点，连结 、 、、，
∵，
∴ 平分 ，即点 与点 关于 对称，
∵的度数为 ，点 是的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴，
∵ 的长就是 的最小值．
故答案为；
（3）拓展延伸，如图（4）．
12.如图，在边长为的正方形中，是边上的一点，且，点为对角线上的动点，则周长的最小值为________．
答案：6
解析：连接，，
∵四边形是正方形，
∴点与点关于直线对称，
∴的长即为的最小值，
∵,
∴周长的最小值．
故答案为：．
13.去冬今春，济宁市遭遇了年不遇的大旱，某乡镇为了解决抗旱问题，要在某河道建一座水泵站，分别向河的同一侧张村和李村送水.经实地勘查后，工程人员设计图纸时，以河道上的大桥为坐标原点，以河道所在的直线为轴建立直角坐标系（如图）.两村的坐标分别为.
(1)若从节约经费考虑，水泵站建在距离大桥多远的地方可使所用输水管道最短？
(2)水泵站建在距离大桥多远的地方，可使它到张村、李村的距离相等？
答案：
（1）作点关于轴的对成点，连接，则点为.
设直线的函数关系式为，则
，解得.
∴当时，.
所以，水泵站建在距离大桥千米的地方，可使所用输水管道最短.
（2）作线段的垂直平分线，交于点，交轴于点，设点的坐标为.
在中，
在中，
∵，
∴，解得.
所以，水泵站建在距离大桥千米的地方，可使它到张村、李村的距离相等.
14.如图，已知直线，且与之间的距离为，点到直线的距离为，点 到直线的距离为，．试在直线上找一点，在直线上找一点，满足且的长度和最短，则此时（ ）
A．
B．
C．
D．
答案：B
解析：作点 关于直线 的对称点 ，连接 交直线 与点 ，过点 作 直线 ，连接 ，
∵ 到直线 的距离为 ， 与 之间的距离为 ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
过点 作 ，交 于点 ，
易得 ，， ，
在 中，，
在 中， ．
故选B．
15.下列图案给出了折叠一个直角边长为2的等腰直角三角形纸片（图1）的全过程：首先对折，如图2，折痕交于点；打开后，过点任意折叠，使折痕交于点，如图3；打开后，如图4；再沿折叠，如图5；打开后，折痕如图6．则折痕和长度的和的最小值是（ ）
答案：
解析：
作点关于点的对称点，连接
∴
∴
根据两点之间线段最短，可知的最小值就是
过点作于点
在中，
∴
16.如图，正方形中，，是上的一点，且，是上的一动点，求的最小值与最大值是（ ）．
解析：
找点关于的对称点，
由正方形的性质可知，就是点关于的对称点，
连接、，由可知，
当且仅当、、三点共线时，的值最小，该最小值为．
当点在上移动时，有三个特殊的位置我们要考察：
与的交点，即取最小值时；
当点位于点时，；
当点位于点时，．故的最大值为．
17.如图，在等腰中，，的上一点，满足，在斜边上求作一点使得长度之和最小是_______.
解析：
连接，易知
∴在中，
18.如图，，角内有点，，在角的两边找两点、(均不同于点)，使得的周长最小，则最小值是______.
答案：2
解析：
分别做点关于直线的对称点，连接交于点，连接，此时的周长最小
∵
∴是等腰直角三角形
∵
∴
∴的周长最小为
19.如图，菱形的两条对角线分别长6和8，点、分别是变、的中点，在对角线求作一点使得的值最小，最小值是______.
答案：5
解析：
作点关于的对称点，连接交于点，根据两点之间线段最短，点即为所求的点
∵分别是菱形边的中点
∴点是的中点
∴
20.如图，设正的边长为2，是边上的中点，是边上的任意一点，的最大值和最小值分别记为和．求的值．
A．
B．
C．
D．
答案：B
解析：
作点关于的对称点，连接、．
由点、关于对称可知，．
故
当且仅当、、共线时，等号成立，故．
另外两个临界位置在点和点处．
当点位于点处时，；
当点位于点处时，．
故，．
本题也可作点关于的对称点，连接、．
21.如图，一副三角板拼在一起，为的中点，．将沿对折于，为上一动点，则的最小值为 ．
答案：
解析：
根据点到直线的距离垂线段最小可知，当，最小
连接，过点作于点
易知四边形是正方形，所以设
∵
∴，
∴在中，，
∴由勾股定理知：
解之得：
22.如图，在直角坐标系中，点 、 的坐标分别为 和 ，点 是 轴上的一个动点，且 、 、 三点不在同一条直线上，当的周长最小时，点 的坐标是（ ）
答案：
解析：作 点关于 轴对称点 点，连接 ，交 轴于点 ，
此时 的周长最小，
∵点 、 的坐标分别为 和 ，
∴ 点坐标为： ， ，则 ，
即 ，∵ ，∴ ，
∴点 的坐标是 ，此时 的周长最小．
23.如图，在中，，，，点、分别在轴、轴上，当点在轴上运动时，点随之在轴上运动，在运动过程中，点到原点的最大距离是( )
解析：
取边的中点，连接
根据三角形三边关系，
∴当点三点共线时，有最大值
此时，