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- 2023-04-30 发布
2.4 概率的简单应用
一、选择题
1．东营市某学校组织知识竞赛，共设有20道试题，其中有关中国优秀传统文化试题10道，实践应用试题6道，创新能力试题4道，小捷从中任选一道试题作答，他选中创新能力试题的概率是( )
A. B. C. D.
2．2017·张家界某校高一年级今年计划招四个班的新生，并采取随机摇号的方法分班，小明和小红既是该校的高一新生，又是好朋友，那么小明和小红分在同一个班的机会是( )
A. B. C. D.
3．有两枚质地均匀的正方体骰子，骰子各个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6，甲、乙两人做游戏，规定：每人掷1次，若两人掷出的点数之和为偶数，甲得1分，若两人掷出的点数之和为奇数，乙得1分，此游戏规则( )
A．对甲有利 B．对乙有利
C．是公平的 D．以上都不对
4．如图K－13－1是某市7月1日至10日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择7月1日至7月8日中的某一天到达该市，并连续停留3天，则此人在该市停留期间有且仅有1天空气质量优良的概率是( )
图K－13－1
A. B. C. D.
二、填空题
5．某市的电话号码为8位数，小明想给小红打电话，可他只记得前面的6个号码，
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后2个只知道相加之和为7，小明按这个特征任意拨一次电话，则拨对的概率为________．
6．如图K－13－2所示，一只蚂蚁从点A出发到处寻觅食物．假定蚂蚁在每个岔路口都等可能的随机选择一条向左下或右下的路径(比如A岔路口可以向左下到达B处，也可以向右下到达C处，其中A，B，C都是岔路口)．那么，蚂蚁从出发到达E处的概率是________．
图K－13－2
7．抽屉里放着黑、白两种颜色的袜子各1双(除颜色外其余都相同)，在看不见的情况下随机摸出两只袜子，他们恰好同色的概率是________．
8．2017·南宁红树林中学共有学生1600人，为了解学生最喜欢的课外体育运动项目的情况，学校随机抽查了200名学生，其中有85名学生表示最喜欢的课外体育运动是跳绳，则可估计该校学生中最喜欢的课外体育运动项目为跳绳的学生有________人．
三、解答题
9．2017·连云港为落实“垃圾分类”，环卫部门要求垃圾按A，B，C三类分别装袋、投放，其中A类指废电池、过期药品等有毒垃圾，B类指剩余食品等厨余垃圾，C类指塑料、废纸等可回收垃圾．甲投放了一袋垃圾，乙投放了两袋垃圾，这两袋垃圾不同类．
(1)直接写出甲投放的垃圾恰好是A类的概率；
(2)求乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同类的概率．
10．某商场为了吸引顾客，设立了可以自由转动的转盘(如图K－13－3，转盘被均匀分为20份)，并规定：顾客每购买200元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域，那么顾客就可以分别获得200元、100元、50元的购物券，凭购物券可以在该商场继续购物．如果顾客不愿意转转盘，那么可以直接获得购物券30元．
(1)求转动一次转盘获得购物券的概率；
(2)转转盘和直接获得购物券，你认为哪种方式对顾客更合算？
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图K－13－3
11．A，B两组卡片共五张，A中三张分别写有数字2，4，6，B中两张分别写有数字3，5，它们除数字外没有任何区别．
(1)随机地从A中取一张，求抽到数字2的概率．
(2)随机地分别从A，B两组卡片中各抽取一张，请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果，现制定这样一个游戏规则：若选出的两数之积为3的倍数，则甲获胜；否则乙获胜．请问这样的游戏规则对甲、乙双方公平吗？为什么？
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12．为了考察甲、乙两种成熟期小麦的株高长势状况，现从中各随机抽取6株，并测得它们的株高(单位：cm)如下表所示：
甲
63
66
63
61
64
61
乙
63
65
60
63
64
63
(1)请分别计算表内两组数据的方差，并借此比较哪种小麦的株高长势比较整齐．
(2)现将进行两种小麦优良品种杂交试验，需从表内的甲、乙两种小麦中，各随机抽取一株进行配对，以预估整体配对状况．请你用列表或画树状图的方法，求所抽取的两株配对小麦株高恰好都等于各自平均株高的概率．
132016·绍兴月考小红和小明在操场做游戏，规则是：每人蒙上眼睛在一定距离外向设计好的图形内掷小石子，若掷中阴影部分则小红胜，否则小明胜，未掷入图形内则重掷一次．
(1)若第一次设计的图形(图K－13－4①)是半径分别为20 cm和30 cm的同心圆．求游戏中小红获胜的概率．你认为游戏对双方公平吗？请说明理由；
(2)若第二次设计的图形(图②)是两个矩形，其中大矩形的长为80 cm、宽为60 cm，且小矩形到大矩形的边宽相等．要使游戏对双方公平，则边宽x应为多少厘米？
(3)依据以上做法，你能否在一个任意正方形内部设计一个小正方形阴影部分使游戏对双方公平？若能，请你画出示意图，并写上必要说明.
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图K－13－4
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1．[答案] A
2．[解析] A 画树状图如下：
∴小明和小红分在同一个班的机会是＝.
3．[解析] C 抛掷两枚质地均匀的正方体骰子，掷得点数之和为偶数的概率是，点数之和为奇数的概率是，所以游戏规则是公平的．
4．[答案] C
5．[答案]
[解析] 和为7的两个自然数有(0，7)，(7，0)，(1，6)，(6，1)，(2，5)，(5，2)，(3，4)，(4，3)，共8种，其中只有1种是正确的，故应填.
6．[答案]
7．[答案]
8．[答案] 680
[解析] 用样本估计总体，样本中喜欢跳绳的频率＝，所以估计该校学生喜欢跳绳的学生有×1600＝680(人)．
9．解：(1)甲投放的垃圾恰好是A类的概率是.
(2)画树状图如图所示：
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由图可知，共有18种等可能的结果，其中乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同类的结果有12种．
所以P(乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同类)＝＝.
10．解：(1)P(转动一次转盘获得购物券)＝＝.
(2)200×＋100×＋50×＝40(元)．
∵40元＞30元，∴选择转转盘对顾客更合算．
11．解：(1)P(抽到数字2)＝.
(2)这样的游戏规则对甲、乙双方不公平．理由：画树状图如下：
一共有6种等可能的结果．甲获胜的情况有4种，P(甲获胜)＝＝，乙获胜的情况有2种，P(乙获胜)＝＝＜，所以，这样的游戏规则对甲、乙双方不公平．
12．解：(1)x甲＝(63＋66＋63＋61＋64＋61)÷6＝63，
x乙＝(63＋65＋60＋63＋64＋63)÷6＝63，
S甲2＝[(63－63)2＋(66－63)2＋(63－63)2＋(61－63)2＋(64－63)2＋(61－63)2]＝3，
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S乙2＝[(63－63)2＋(65－63)2＋(60－63)2＋(63－63)2＋(64－63)2＋(63－63)2]＝.
∵S甲2＞S乙2.
∴乙种小麦长势比较整齐．
(2)列表如下：
乙
甲
63
65
60
63
64
63
63
(63，63)
(63，65)
(63，60)
(63，63)
(63，64)
(63，63)
66
(66，63)
(66，65)
(66，60)
(66，63)
(66，64)
(66，63)
63
(63，63)
(63，65)
(63，60)
(63，63)
(63，64)
(63，63)
61
(61，63)
(61，65)
(61，60)
(61，63)
(61，64)
(61，63)
64
(64，63)
(64，65)
(64，60)
(64，63)
(64，64)
(64，63)
61
(61，63)
(61，65)
(61，60)
(61，63)
(61，64)
(61，63)
∴共有36种等可能的结果，其中小麦株高恰好都等于各自平均株高(记为事件A)的情况有6种．
∴P(A)＝.
13解：(1)游戏对双方不公平．
理由：P(小红获胜)＝＝，P(小明获胜)＝.
∵>，
∴游戏对双方不公平．
(2)根据题意，得(80－2x)(60－2x)＝×80×60，
解得x1＝10，x2＝60(不符合题意，舍去)．
∴要使游戏对双方公平，则边宽x应为10 cm.
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(3)画小正方形与大正方形边长比为1即可，具体过程略．
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