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- 2023-04-28 发布
小专题2 一元二次方程的实际应用
类型1 数字、传播与握手问题
1．(台州中考)有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是(A)
A.x(x－1)＝45 B.x(x＋1)＝45
C．x(x－1)＝45 D．x(x＋1)＝45
2．九(1)班张老师自编了一套健美操，他先教会一些同学，然后学会的同学每人教会相同的人数，每人每轮教会的人数相同，经过两轮，全班57人(含张老师)都能做这套健美操，问：每轮中每人必须教会几人？设每人每轮必须教会x人，可列方程为1＋x＋x2＝57．
3．有一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字小2，十位上的数字与个位上的数字的积的3倍刚好等于这个两位数，求这个两位数．
解：设十位上的数字为x，则个位上的数字为(x＋2)．根据题意，得
3x(x＋2)＝10x＋(x＋2)，整理，得3x2－5x－2＝0，解得x1＝2，x2＝－(不合题意，舍去)．
当x＝2时，x＋2＝4.
答：这个两位数是24.
类型2 增长率与利润问题
4．(恩施中考)某商品的售价为100元，连续两次降价x%后售价降低了36元，则x为(B)
A．8 B．20
6
C．36 D．18
5．(襄阳中考)受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2014年利润为2亿元，2016年利润为2.88亿元．
(1)求该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率；
(2)若2017年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2017年的利润能否超过3.4亿元？
解：(1)设该企业2014年到2016年利润的年平均增长率为x.根据题意，得
2(1＋x)2＝2.88.
解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不合题意，舍去)．
答：该企业2014年到2016年利润的年平均增长率为20%.
(2)如果2017年仍保持相同的年平均增长率，那么2017年该企业年利润为
2．88×(1＋20%)＝3.456(亿元)>3.4亿元．
答：该企业2017年的利润能超过3.4亿元．
6．(铜仁中考)某商店以20元/千克的单价新进一批商品，经调查发现，在一段时间内，销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)之间为一次函数关系，如图所示．
(1)求y与x的函数表达式；
(2)要使销售利润达到800元，销售单价应定为每千克多少元？
解：(1)当0＜x＜20时，y＝60；
当20≤x≤80时，设y与x的函数表达式为y＝kx＋b，
把(20，60)，(80，0)代入，可得
解得
∴y＝－x＋80.
∴y与x的函数表达式为
6
y＝
(2)依题意，得(x－20)(－x＋80)＝800.
解得x1＝40，x2＝60，
∴要使销售利润达到800元，销售单价应定为每千克40元或60元．
7．(山西中考)山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销量可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2 240元，请回答：
(1)每千克核桃应降价多少元？
(2)在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
解：(1)设每千克核桃应降价x元. 根据题意，得
(60－x－40)(100＋×20)＝2 240.
化简，得 x2－10x＋24＝0.
解得x1＝4，x2＝6.
答：每千克核桃应降价4元或6元.
(2)由(1)可知每千克核桃可降价4元或6元．
因为要尽可能让利于顾客，
所以每千克核桃应降价6元.
此时，售价为60－6＝54(元)，×100%＝90%.
答：该店应按原售价的九折出售.
类型3 面积问题
8．如图，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝12 cm，点P从点A出发沿AB以1 cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC以2 cm/s的速度向点C移动，则2__s或4__s后，△DPQ的面积等于28 cm2.
6
9．(襄阳中考)如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12 m的住房墙，另外三边用25 m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1 m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80 m2?
解：设矩形猪舍垂直于住房墙的一边长为x m，则平行于住房墙的一边长为(26－2x)m.依题意，得
x(26－2x)＝80.
解得x1＝5，x2＝8.
当x＝5时，26－2x＝16>12(舍去)；
当x＝8时，26－2x＝10<12.
答：所建矩形猪舍的长为10 m，宽为8 m.
10．(大同期中)2017年大同市政府出台了一系列惠民举措，其中御东新区西京街道绿化景观带正在如火如荼地进行当中．如图，施工过程中，在一块长为30米，宽为20米的矩形地面上，要修建两条同样宽度且互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条边平行)，剩余部分种上草坪，使草坪面积为551平方米．
(1)道路宽度应为多少？
(2)已知施工过程中草坪每平方米的成本为50元，道路每平方米的成本为30元，则完成这一处景观所要花费的金额是多少？
解：(1)设道路宽度为x米，
则(30－x)(20－x)＝551，
x2－50x＋49＝0，
6
(x－1)(x－49)＝0.
∵x＜20，∴x＝1.
答：道路宽度为1米．
(2)551×50＋(30×20－551)×30＝29 020(元)．
答：所要花费的金额是29 020元．
类型4 其他问题
11．如图，某天晚上8时，一台风中心位于点O正北方向160 km的点A处，台风中心以每小时20 km的速度向东南方向移动，在距台风中心≤120 km的范围内将受到台风影响，同时，在点O处有一辆汽车以每小时40 km的速度向东行驶．
(1)汽车行驶了多少小时后受到台风影响？
(2)汽车受到台风影响的时间有多长？
解：(1)以O为原点，OA所在直线为y轴，汽车行驶的路线为x轴，作出坐标系．
设当台风中心在M点，汽车在N点开始受到影响，设运动时间是t小时，过M作MC⊥x轴，作MD⊥y轴．
则△ADM是等腰直角三角形，AM＝20t，
则AD＝DM＝AM＝20t，
M的坐标是(20t，160－20t)，N的坐标是(40t，0)．
汽车受到影响，则MN＝120，
即(40t－20t)2＋(160－20t)2＝1202，
整理，得t2－8t＋14＝0，
解得x1＝4－，x2＝4＋.
答：汽车行驶了(4－)小时后受到台风影响．
(2)(4＋)－(4－)＝2(小时)．
答：汽车受到台风影响的时间有2小时．
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12．(教材P23数学活动的变式与应用)如图，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设长方形地面，请观察下列图形，并解答有关问题：
(1)在第n个图中，第一横行共(n＋3)块瓷砖，第一竖列共有(n＋2)块瓷砖，铺设地面所用瓷砖的总块数为n2＋5n＋6(用含n的代数式表示)；
(2)上述铺设方案，铺一块这样的长方形地面共用了506块瓷砖，求此时n的值；
(3)是否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形？请通过计算加以说明．
解：(2)根据题意，得n2＋5n＋6＝506，
解得n1＝20，n2＝－25(不符合题意，舍去)．
∴此时n的值为20.
(3)根据题意，得n(n＋1)＝2(2n＋3)，
解得n＝(不符合题意，舍去)．
∴不存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形．
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