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  • 2021-06-26 发布

2019年高考数学高分突破复习练习专题七 第1讲

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第1讲 坐标系与参数方程 高考定位 高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程;参数方程与普通方程的互化,常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用.以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式,同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识.‎ 真 题 感 悟 ‎1.(2018·全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为 (θ为参数),直线l的参数方程为(t为参数).‎ ‎(1)求C和l的直角坐标方程;‎ ‎(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2),求l的斜率.‎ 解 (1)曲线C的直角坐标方程为+=1.‎ 当cos α≠0时,l的直角坐标方程为y=tan α·x+2-tan α,‎ 当cos α=0时,l的直角坐标方程为x=1.‎ ‎(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程,‎ 整理得关于t的方程 ‎(1+3cos2α)t2+4(2cos α+sin α)t-8=0.①‎ 因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内,‎ 所以①有两个解,设为t1,t2,则t1+t2=0.‎ 又由①得t1+t2=-,‎ 故2cos α+sin α=0,于是直线l的斜率k=tan α=-2.‎ ‎2.(2018·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为y=k|x ‎|+2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcos θ-3=0.‎ ‎(1)求C2的直角坐标方程;‎ ‎(2)若C1与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程.‎ 解 (1)由x=ρcos θ,y=ρsin θ,‎ 得C2的直角坐标方程为x2+y2+2x-3=0,‎ 即(x+1)2+y2=4.‎ ‎(2)由(1)知C2是圆心为A(-1,0),半径为2的圆.‎ 由题设知,C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的射线为l1,y轴左边的射线为l2.‎ 由于B在圆C2的外面,故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点,或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点.‎ 当l1与C2只有一个公共点时,A到l1所在直线的距离为2,‎ 所以=2,故k=-或k=0.‎ 经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;‎ 当k=-时,l1与C2只有一个公共点,l2与C2有两个公共点.‎ 当l2与C2只有一个公共点时,‎ A到l2所在直线的距离为2,‎ 所以=2,故k=0或k=.‎ 经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;‎ 当k=时,l2与C2没有公共点.‎ 综上,所求C1的方程为y=-|x|+2.‎ 考 点 整 合 ‎1.直角坐标与极坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点,x轴正半轴作为极轴,且在两坐标系中取相同的长度单位.设M 是平面内的任意一点,它的直角坐标、极坐标分别为(x,y)和(ρ,θ),则 ‎2.直线的极坐标方程 若直线过点M(ρ0,θ0),且极轴到此直线的角为α,则它的方程为ρsin(θ-α)=ρ0sin(θ0-α).‎ 几个特殊位置的直线的极坐标方程:‎ ‎(1)直线过极点:θ=α;‎ ‎(2)直线过点M(a,0)(a>0)且垂直于极轴:ρcos θ=a;‎ ‎(3)直线过M且平行于极轴:ρsin θ=b.‎ ‎3.圆的极坐标方程 几个特殊位置的圆的极坐标方程:‎ ‎(1)当圆心位于极点,半径为r:ρ=r;‎ ‎(2)当圆心位于M(r,0),半径为r:ρ=2rcos θ;‎ ‎(3)当圆心位于M,半径为r:ρ=2rsin θ.‎ ‎4.直线的参数方程 经过点P0(x0,y0),倾斜角为α的直线的参数方程为(t为参数).‎ 设P是直线上的任一点,则t表示有向线段的数量.‎ ‎5.圆、椭圆的参数方程 ‎(1)圆心在点M(x0,y0),半径为r的圆的参数方程为(θ为参数,0≤θ≤2π).‎ ‎(2)椭圆+=1的参数方程为(θ为参数).‎ 热点一 曲线的极坐标方程 ‎【例1】 (2017·全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρcos θ=4.‎ ‎(1)设点M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且|OM|·|OP|=16,求点P 的轨迹C2的直角坐标方程;‎ ‎(2)设点A的极坐标为,点B在曲线C2上,求△OAB面积的最大值.‎ 解 (1)设P的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0),M的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1>0).‎ 由题设知|OP|=ρ,|OM|=ρ1=.‎ 由|OM|·|OP|=16得C2的极坐标方程为ρ=4cos θ(ρ>0).‎ 因此C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x≠0).‎ ‎(2)设点B的极坐标为(ρB,α)(ρB>0).‎ 由题设知|OA|=2,ρB=4cos α,于是△OAB的面积 S=|OA|·ρB·sin∠AOB=4cos α· ‎=2≤2+.‎ 当α=-时,S取得最大值2+.‎ 所以△OAB面积的最大值为2+.‎ 探究提高 1.进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式:x=ρcos θ,y=ρsin θ,ρ2=x2+y2,tan θ=(x≠0),要注意ρ,θ的取值范围及其影响,灵活运用代入法和平方法等技巧.‎ ‎2.由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时,如果不能直接用极坐标解决,可先转化为直角坐标方程,然后求解.‎ ‎【训练1】 (2018·江苏卷)在极坐标系中,直线l的方程为ρsin=2,曲线C的方程为ρ=4cos θ,求直线l被曲线C截得的弦长.‎ 解 因为曲线C的极坐标方程为ρ=4cos θ,‎ 所以曲线C是圆心为(2,0),直径为4的圆.‎ 因为直线l的极坐标方程为ρsin=2,‎ 则直线l过A(4,0),倾斜角为,‎ 所以A为直线l与圆C的一个交点.‎ 设另一个交点为B,则∠OAB=.‎ 连接OB.因为OA为直径,从而∠OBA=,‎ 所以AB=OA·cos∠OAB=4cos =2.‎ 因此,直线l被曲线C截得的弦长为2.‎ 热点二 参数方程及其应用 ‎【例2】 (2017·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的参数方程为(t为参数).‎ ‎(1)若a=-1,求C与l的交点坐标;‎ ‎(2)若C上的点到l距离的最大值为,求a.‎ 解 (1)a=-1时,直线l的普通方程为x+4y-3=0.‎ 曲线C的标准方程是+y2=1,‎ 联立方程解得或 则C与l交点坐标是(3,0)和.‎ ‎(2)直线l的普通方程是x+4y-4-a=0.‎ 设曲线C上点P(3cos θ,sin θ).‎ 则P到l距离d==,‎ 其中tan φ=.‎ 又点C到直线l距离的最大值为.‎ ‎∴|5sin(θ+φ)-4-a|的最大值为17.‎ 若a≥0,则-5-4-a=-17,∴a=8.‎ 若a<0,则5-4-a=17,∴a=-16.‎ 综上,实数a的值为a=-16或a=8.‎ 探究提高 ‎ ‎1.将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程,常用的消参方法有代入消参、加减消参、三角恒等式消参等,往往需要对参数方程进行变形,为消去参数创造条件.‎ ‎2.在与直线、圆、椭圆有关的题目中,参数方程的使用会使问题的解决事半功倍,尤其是求取值范围和最值问题,可将参数方程代入相关曲线的普通方程中,根据参数的取值条件求解.‎ ‎【训练2】 (2018·石家庄调研)已知在极坐标系中,点A,B,C是线段AB的中点.以极点为原点,极轴为x轴的正半轴,并在两坐标系中取相同的长度单位,建立平面直角坐标系,曲线Ω的参数方程是(θ为参数).‎ ‎(1)求点C的直角坐标,并求曲线Ω的普通方程;‎ ‎(2)设直线l过点C交曲线Ω于P,Q两点,求·的值.‎ 解 (1)将点A,B的极坐标化为直角坐标,得A(,1)和B(-,3).‎ 所以点C的直角坐标为(0,2).‎ 将消去参数θ,得x2+(y+2)2=4,‎ ‎∴曲线Ω的普通方程为x2+(y+2)2=4.‎ ‎(2)直线l的参数方程为(t为参数,α为直线l的倾斜角),‎ 代入x2+(y+2)2=4,整理得:t2+8tsin α+12=0.‎ 设点P,Q对应的参数值分别为t1,t2,则t1t2=12,‎ ·=||||=|t1t2|=12.‎ 热点三 极坐标与参数方程的综合应用 ‎【例3】 (2018·菏泽模拟)以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.已知直线l的参数方程为(t为参数,0≤φ<π),曲线C的极坐标方程为ρcos2θ=8sin θ.‎ ‎(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;‎ ‎(2)设直线l与曲线C相交于A,B两点,当φ变化时,求|AB|的最小值.‎ 解 (1)由消去t得 xsin φ-ycos φ+2cos φ=0,‎ 所以直线l的普通方程为xsin φ-ycos φ+2cos φ=0.‎ 由ρcos2θ=8sin θ,得(ρcos θ)2=8ρsin θ,‎ 把x=ρcos φ,y=ρsin φ代入上式,得x2=8y,‎ 所以曲线C的直角坐标方程为x2=8y.‎ ‎(2)将直线l的参数方程代入x2=8y,‎ 得t2cos2φ-8tsin φ-16=0,‎ 设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,‎ 则t1+t2=,t1t2=-,‎ 所以|AB|=|t1-t2|= ‎==.‎ 当φ=0时,|AB|的最小值为8.‎ 探究提高 1.涉及参数方程和极坐标方程的综合题,求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解.当然,还要结合题目本身特点,确定选择何种方程.‎ ‎2.数形结合的应用,即充分利用参数方程中参数的几何意义,或者利用ρ和θ的几何意义,直接求解,能达到化繁为简的解题目的.‎ ‎【训练3】 已知曲线C的参数方程为(θ为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρsin=4.‎ ‎(1)写出曲线C的极坐标方程和直线l的普通方程;‎ ‎(2)若射线θ=与曲线C交于O,A两点,与直线l交于B点,射线θ=与曲线C交于O,P两点,求△PAB的面积.‎ 解 (1)由(θ为参数),消去θ.‎ 得普通方程为(x-2)2+y2=4.‎ 从而曲线C的极坐标方程为ρ2-4ρcos θ=0,即ρ=4cos θ,‎ 因为直线l的极坐标方程为ρsin=4,‎ 即ρsin θ+ρcos θ=4,‎ ‎∴直线l的直角坐标方程为x+y-8=0.‎ ‎(2)依题意,联立射线θ=与曲线C的极坐标方程,‎ 得A,B两点的极坐标分别为,,‎ 联立射线θ=与曲线C的极坐标方程,‎ 得P点极坐标为,∴|AB|=2,‎ ‎∴S△PAB=×2×2sin=2.‎ ‎1.在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长等几何问题时,如果不能直接用极坐标解决,或用极坐标解决较麻烦,可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决.‎ ‎2.要熟悉常见曲线的参数方程、极坐标方程,如:圆、椭圆、及过一点的直线,在研究直线与它们的位置关系时常用的技巧是转化为普通方程解答.‎ ‎3.过定点P0(x0,y0),倾斜角为α的直线参数方程的标准形式为(t为参数),t的几何意义是的数量,即|t|表示P0到P的距离,t有正负之分.使用该式时直线上任意两点P1,P2对应的参数分别为t1,t2,则|P1P2|=|t1-t2|,P1P2的中点对应的参数为(t1+t2).‎ ‎1.(2017·江苏卷)在平面坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为(t为参数),曲线C的参数方程为(s为参数).设P为曲线C上的动点,求点P到直线l的距离的最小值.‎ 解 由消去t.‎ 得l的普通方程为x-2y+8=0,‎ 因为点P在曲线C上,设点P(2s2,2s).‎ 则点P到直线l的距离d==,‎ 所以当s=时,d有最小值=.‎ 因此当P的坐标为(4,4)时,曲线C上的点P到直线l的距离取最小值.‎ ‎2.(2017·全国Ⅲ卷)在直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程为(t为参数),直线l2的参数方程为(m为参数).设l1与l2的交点为P,当k变化时,P的轨迹为曲线C.‎ ‎(1)写出C的普通方程;‎ ‎(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l3:ρ(cos θ+sin θ)-=0,M为l3与C的交点,求M的极径.‎ 解 (1)由l1:(t为参数)消去t,‎ 得l1的普通方程y=k(x-2),①‎ 同理得直线l2的普通方程为x+2=ky,②‎ 联立①,②消去k,得x2-y2=4(y≠0).‎ 所以C的普通方程为x2-y2=4(y≠0).‎ ‎(2)将直线l3化为普通方程为x+y=,‎ 联立得 ‎∴ρ2=x2+y2=+=5,‎ ‎∴l3与C的交点M的极径为.‎ ‎3.(2018·安徽联合质检)在平面直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C1的极坐标方程为ρ2-2ρsin-2=0,曲线C2的极坐标方程为θ=,C1与C2相交于A,B两点.‎ ‎(1)把C1和C2的极坐标方程化为直角坐标方程,并求点A,B的直角坐标;‎ ‎(2)若P为C1上的动点,求|PA|2+|PB|2的取值范围.‎ 解 (1)由题意知,曲线C1与曲线C2的直角坐标方程分别为C1:(x+1)2+(y-1)2=4,C2:x-y=0.‎ 联立得或 即A(-1,-1),B(1,1)或A(1,1),B(-1,-1).‎ ‎(2)设P(-1+2cos α,1+2sin α),不妨设A(-1,-1),B(1,1),则|PA|2+|PB|2‎ ‎=(2cos α)2+(2sin α+2)2+(2cos α-2)2+(2sin α)2‎ ‎=16+8sin α-8cos α=16+8sin,‎ 所以|PA|2+|PB|2的取值范围为[16-8,16+8].‎ ‎4.(2018·湖南六校联考)已知直线l的参数方程为(t为参数).在以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C的极坐标方程为ρ2=4ρcos θ+2ρsin θ-4.‎ ‎(1)求直线l普通方程和曲线C的直角坐标方程;‎ ‎(2)设直线l与曲线C交于A,B两点,求|OA|·|OB|.‎ 解 (1)由消去t,‎ 得y-=(x-1),即y=x.‎ ‎∴直线l的普通方程为y=x.‎ 曲线C:ρ2=4ρcos θ+2ρsin θ-4.‎ ‎∴其直角坐标方程x2+y2=4x+2y-4,‎ 即(x-2)2+(y-)2=3.‎ ‎(2)易由y=x,得直线l的极坐标方程为θ=.‎ 代入曲线C的极坐标方程为ρ2-5ρ+4=0,‎ 所以|OA|·|OB|=|ρA·ρB|=4.‎ ‎5.(2016·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=4cos θ.‎ ‎(1)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程;‎ ‎(2)直线C3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tan α0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.‎ 解 (1)消去参数t得到C1的普通方程x2+(y-1)2=a2,C1是以(0,1)为圆心,a为半径的圆.‎ 将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入C1的普通方程中,‎ 得到C1的极坐标方程为ρ2-2ρsin θ+1-a2=0.‎ ‎(2)曲线C1,C2的公共点的极坐标满足方程组 若ρ≠0,由方程组得16cos2θ-8sin θcos θ+1-a2=0,由已知tan θ=2,可得16cos2θ-8sin θcos θ=0,‎ 从而1-a2=0,解得a=-1(舍去),a=1.‎ a=1时,极点也为C1,C2的公共点,且在C3上.‎ 所以a=1.‎ ‎6.(2018·全国Ⅲ卷)在平面直角坐标系xOy中,⊙O的参数方程为(θ为参数),过点(0,-)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A,B两点.‎ ‎(1)求α的取值范围;‎ ‎(2)求AB中点P的轨迹的参数方程.‎ 解 (1)⊙O的直角坐标方程为x2+y2=1.‎ 当α=时,l与⊙O交于两点.‎ 当α≠时,记tan α=k,则l的方程为y=kx-.‎ l与⊙O交于两点当且仅当<1,‎ 解得k<-1或k>1,即α∈或α∈.‎ 综上,α的取值范围是.‎ ‎(2)l的参数方程为(t为参数,<α<).‎ 设A,B,P对应的参数分别为tA,tB,tP,‎ 则tP=,且tA,tB满足t2-2tsin α+1=0.‎ 于是tA+tB=2sin α,tP=sin α.‎ 又点P的坐标(x,y)满足 所以点P的轨迹的参数方程是 (α为参数,<α<).‎ ‎7.(2018·武汉调研)在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,以x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ2=,直线l与曲线C交于A,B两点.‎ ‎(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;‎ ‎(2)已知点P的极坐标为,求|PA|·|PB|的值.‎ 解 (1)l的普通方程为x+y-1=0;‎ 又∵ρ2+ρ2sin2θ=2,∴x2+y2+y2=2,‎ 即曲线C的直角坐标方程为+y2=1.‎ ‎(2)点P的直角坐标为.‎ 法一 P在直线l上,直线l的参数方程为 (t′为参数),‎ 代入曲线C的直角坐标方程得 +2-2=0,‎ 即t′2+t′-=0,‎ ‎|PA|·|PB|=|t1′|·|t2′|=|t1′t2′|=.‎ 法二 3x2-4x=0x1=0,x2=,‎ ‎∴A(0,1),B,‎ ‎∴|PA|==,‎ ‎|PB|==,‎ ‎|PA|·|PB|=·=.‎ ‎8.(2018·郑州质检)在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数).以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为ρ=2cos θ.‎ ‎(1)求直线l和圆C的普通方程;‎ ‎(2)已知直线l上一点M(3,2),若直线l与圆C交于不同两点A,B,求+的取值范围.‎ 解 (1)直线l的参数方程为 得普通方程为xsin α-ycos α+2cos α-3sin α=0,‎ 将ρ=,cos θ=代入圆C的极坐标方程ρ=2cos θ中,‎ 得圆的普通方程为x2+y2-2x=0.‎ ‎(2)直线l的参数方程为代入圆的方程为x2+y2-2x=0,得t2+(4cos α+4sin α)t+7=0(*),‎ 设点A,B对应的参数值分别为t1,t2,‎ 由题意t1+t2=-4(cos α+sin α),t1·t2=7.‎ +== ‎=|sin α+cos α|.‎ 因为方程(*)有两个不同的实根,‎ 所以Δ=16(cos α+sin α)2-28>0,‎ 则|sin α+cos α|>.‎ 又sin α+cos α=sin∈[-,],‎ 所以|sin α+cos α|∈.‎ 所以|sin α+cos α|∈.‎ 所以<+≤.‎