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- 2021-06-26 发布
课时分层训练(三十五)
直接证明与间接证明
(对应学生用书第206页)
A组 基础达标
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．若a，b，c为实数，且aab>b2
C．< D．>
B [a2－ab＝a(a－b)，
∵a0，
∴a2>aB． ①
又ab－b2＝b(a－b)>0，∴ab>b2， ②
由①②得a2>ab>b2.]
2．用反证法证明命题：若整数系数的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理实数根，则a，b，c中至少有一个是偶数．下列假设中正确的是( )
【导学号：79170221】
A．假设a，b，c至多有一个是偶数
B．假设a，b，c至多有两个偶数
C．假设a，b，c都是偶数
D．假设a，b，c都不是偶数
D [“至少有一个”的否定为“一个都没有”，即假设a，b，c都不是偶数．]
3．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证0 B．a－c>0
C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0
C [由题意知0
⇐(a－c)(2a＋c)>0⇐(a－c)(a－b)>0.]
4．设x，y，z>0，则三个数＋，＋，＋( )
A．都大于2 B．至少有一个大于2
C．至少有一个不小于2 D．至少有一个不大于2
C [因为x>0，y>0，z>0，
所以＋＋＝＋＋≥6，
当且仅当x＝y＝z时等号成立，则三个数中至少有一个不小于2.]
5．(2018·南昌模拟)设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n
项之积为Tn，并且满足条件：a1＞1，a2 016a2 017＞1，＜0，下列结论中正确的是( )
A．q＜0
B．a2 016a2 018－1＞0
C．T2 016是数列{Tn}中的最大项
D．S2 016＞S2 017
C [由a1＞1，a2 016a2 017＞1得q＞0，由＜0，a1＞1得a2 016＞1，a2 017＜1,0＜q＜1，故数列{ an}的前2 016项都大于1，从第2 017项起都小于1，因此T2 016是数列{Tn}中的最大项．故选C．]
二、填空题
6．用反证法证明“若x2－1＝0，则x＝－1或x＝1”时，应假设________．
x≠－1且x≠1 [“x＝－1或x＝1”的否定是“x≠－1且x≠1”．]
7．设a>b>0，m＝－，n＝，则m，n的大小关系是__________．
m⇐a0，显然成立．]
8．下列条件：①ab>0，②ab<0，③a>0，b>0，④a<0，b<0，其中能使＋≥2成立的条件的个数是__________．
3 [要使＋≥2，只要>0，且>0，即a，b不为0且同号即可，故有3个．]
三、解答题
9．已知a≥b>0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2B．
[证明] 要证明2a3－b3≥2ab2－a2b成立，
只需证：2a3－b3－2ab2＋a2b≥0，
即2a(a2－b2)＋b(a2－b2)≥0，
即(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0. 8分
∵a≥b>0，∴a－b≥0，a＋b>0,2a＋b>0，
从而(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0成立，
∴2a3－b3≥2ab2－a2B． 12分
10．等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋，S3＝9＋3.
(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn；
(2)设bn＝(n∈N*)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列. 【导学号：79170222】
[解] (1)由已知得所以d＝2，故an＝2n－1＋，Sn＝n(n＋)．
(2)证明：由(1)得bn＝＝n＋.假设数列{bn}中存在三项bp，bq，br(p，q，r互不相等)成等比数列，则b＝bpbr，即(q＋)2＝(p＋)(r＋)，所以(q2－pr)＋(2q－p－r)＝0.
因为p，q，r∈N*，所以所以2＝pr，即(p－r)2＝0，
所以p＝r，这与p≠r矛盾，所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．
B组 能力提升
(建议用时：15分钟)
1．已知函数f(x)＝x，a，b是正实数，A＝f，B＝f()，C＝f，则A，B，C的大小关系为( )
A．A≤B≤C B．A≤C≤B
C．B≤C≤A D．C≤B≤A
A [∵≥≥，又f(x)＝x在R上是减函数．
∴f≤f()≤f，即A≤B≤C．]
2．在不等边三角形ABC中，a为最大边，要想得到∠A为钝角的结论，三边a，b，c应满足__________．
a2>b2＋c2 [由余弦定理cos A＝<0，得b2＋c2－a2<0，即a2>b2＋c2.]
3．若f(x)的定义域为[a，b]，值域为[a，b](a－2)，使函数h(x)＝是区间[a，b]上的“四维光军”函数？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由.
【导学号：79170223】
[解] (1)由题设得g(x)＝(x－1)2＋1，其图象的对称轴为x＝1，区间[1，b]在对称轴的右边，所以函数在区间[1，b]上单调递增. 2分
由“四维光军”函数的定义可知，g(1)＝1，g(b)＝b，
即b2－b＋＝b，解得b＝1或b＝3.
因为b>1，所以b＝3. 5分
(2)假设函数h(x)＝在区间[a，b](a>－2)上是“四维光军”函数，
因为h(x)＝在区间(－2，＋∞)上单调递减，
所以有即 10分
解得a＝b，这与已知矛盾．故不存在. 12分