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- 2021-06-26 发布
课时分层训练(三十五)
直接证明与间接证明
(对应学生用书第206页)
A组 基础达标
(建议用时:30分钟)
一、选择题
1.若a,b,c为实数,且aab>b2
C.< D.>
B [a2-ab=a(a-b),
∵a0,
∴a2>aB. ①
又ab-b2=b(a-b)>0,∴ab>b2, ②
由①②得a2>ab>b2.]
2.用反证法证明命题:若整数系数的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有有理实数根,则a,b,c中至少有一个是偶数.下列假设中正确的是( )
【导学号:79170221】
A.假设a,b,c至多有一个是偶数
B.假设a,b,c至多有两个偶数
C.假设a,b,c都是偶数
D.假设a,b,c都不是偶数
D [“至少有一个”的否定为“一个都没有”,即假设a,b,c都不是偶数.]
3.分析法又称执果索因法,若用分析法证明:“设a>b>c,且a+b+c=0,求证0 B.a-c>0
C.(a-b)(a-c)>0 D.(a-b)(a-c)<0
C [由题意知0
⇐(a-c)(2a+c)>0⇐(a-c)(a-b)>0.]
4.设x,y,z>0,则三个数+,+,+( )
A.都大于2 B.至少有一个大于2
C.至少有一个不小于2 D.至少有一个不大于2
C [因为x>0,y>0,z>0,
所以++=++≥6,
当且仅当x=y=z时等号成立,则三个数中至少有一个不小于2.]
5.(2018·南昌模拟)设等比数列{an}的公比为q,其前n项和为Sn,前n
项之积为Tn,并且满足条件:a1>1,a2 016a2 017>1,<0,下列结论中正确的是( )
A.q<0
B.a2 016a2 018-1>0
C.T2 016是数列{Tn}中的最大项
D.S2 016>S2 017
C [由a1>1,a2 016a2 017>1得q>0,由<0,a1>1得a2 016>1,a2 017<1,0<q<1,故数列{ an}的前2 016项都大于1,从第2 017项起都小于1,因此T2 016是数列{Tn}中的最大项.故选C.]
二、填空题
6.用反证法证明“若x2-1=0,则x=-1或x=1”时,应假设________.
x≠-1且x≠1 [“x=-1或x=1”的否定是“x≠-1且x≠1”.]
7.设a>b>0,m=-,n=,则m,n的大小关系是__________.
m⇐a0,显然成立.]
8.下列条件:①ab>0,②ab<0,③a>0,b>0,④a<0,b<0,其中能使+≥2成立的条件的个数是__________.
3 [要使+≥2,只要>0,且>0,即a,b不为0且同号即可,故有3个.]
三、解答题
9.已知a≥b>0,求证:2a3-b3≥2ab2-a2B.
[证明] 要证明2a3-b3≥2ab2-a2b成立,
只需证:2a3-b3-2ab2+a2b≥0,
即2a(a2-b2)+b(a2-b2)≥0,
即(a+b)(a-b)(2a+b)≥0. 8分
∵a≥b>0,∴a-b≥0,a+b>0,2a+b>0,
从而(a+b)(a-b)(2a+b)≥0成立,
∴2a3-b3≥2ab2-a2B. 12分
10.等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=1+,S3=9+3.
(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn;
(2)设bn=(n∈N*),求证:数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列. 【导学号:79170222】
[解] (1)由已知得所以d=2,故an=2n-1+,Sn=n(n+).
(2)证明:由(1)得bn==n+.假设数列{bn}中存在三项bp,bq,br(p,q,r互不相等)成等比数列,则b=bpbr,即(q+)2=(p+)(r+),所以(q2-pr)+(2q-p-r)=0.
因为p,q,r∈N*,所以所以2=pr,即(p-r)2=0,
所以p=r,这与p≠r矛盾,所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列.
B组 能力提升
(建议用时:15分钟)
1.已知函数f(x)=x,a,b是正实数,A=f,B=f(),C=f,则A,B,C的大小关系为( )
A.A≤B≤C B.A≤C≤B
C.B≤C≤A D.C≤B≤A
A [∵≥≥,又f(x)=x在R上是减函数.
∴f≤f()≤f,即A≤B≤C.]
2.在不等边三角形ABC中,a为最大边,要想得到∠A为钝角的结论,三边a,b,c应满足__________.
a2>b2+c2 [由余弦定理cos A=<0,得b2+c2-a2<0,即a2>b2+c2.]
3.若f(x)的定义域为[a,b],值域为[a,b](a-2),使函数h(x)=是区间[a,b]上的“四维光军”函数?若存在,求出a,b的值;若不存在,请说明理由.
【导学号:79170223】
[解] (1)由题设得g(x)=(x-1)2+1,其图象的对称轴为x=1,区间[1,b]在对称轴的右边,所以函数在区间[1,b]上单调递增. 2分
由“四维光军”函数的定义可知,g(1)=1,g(b)=b,
即b2-b+=b,解得b=1或b=3.
因为b>1,所以b=3. 5分
(2)假设函数h(x)=在区间[a,b](a>-2)上是“四维光军”函数,
因为h(x)=在区间(-2,+∞)上单调递减,
所以有即 10分
解得a=b,这与已知矛盾.故不存在. 12分