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- 2021-06-26 发布
武威一中2017—2018学年度第一学期期末试卷
高 二 数 学（文）
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：（共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 请将答案涂在机读答题卡）
1. 抛物线:的焦点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】 焦点坐标是 ,选B.
2. 在求平均变化率中，自变量的增量（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由导数的定义，可得自变量x的增量△x可以是正数、负数，不可以是0.
故选：D.
3. 双曲线的离心率是（ ）
A. 1 B. 2 C. D.
【答案】D
【解析】双曲线，有：.
有：.
离心率为：.
故选D.
4. 已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】A
【解析】试题分析：，，令，解得．
考点：导数的几何意义．
5. 已知，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】已知，有，
故选C.
6. 函数y=1+3x-x有（ ）
A. 极大值1，极小值-1， B. 极小值-2，极大值2
C. 极大值3，极小值-2， D. 极小值-1，极大值3
【答案】D
【解析】函数，求导得：.
令，得或1.
且在，函数单减；在，函数单增；在，函数单减.
当时，函数取得极小值-1；
当时，函数去得极大值3.
故选D.
7. 点P是椭圆上的点，、是椭圆的左、右焦点，则△的周长是（ ）
A. 12 B. 10 C. 8 D. 6
【答案】B
【解析】点P是椭圆上的点，、是椭圆的左、右焦点，
其中
由抛物线定义得：.
△的周长为.
故选B.
8. 抛物线y2=ax(a≠0)的准线方程是 ( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】抛物线y2=ax(a≠0)，
当时，抛物线开口向右
准线方程为
当时，抛物线开口向左
准线方程为
故选C.
9. 若函数的图像的顶点在第四象限,则函数的图像是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】∵函数f(x)=ax2+bx+c的图象开口向上且顶点在第四象限，
∴a>0,，
∴b<0，
∵f′(x)=2ax+b，
∴函数f′(x)的图象经过一，三，四象限，
∴A符合题意，
本题选择A选项.
10. 若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为（ ）
A. （0，+∞） B. （0，1） C. （1，+∞） D. （0，2）
【答案】B
【解析】方程x2+ky2=2化为标准形式：.
表示焦点在y轴上的椭圆，所以，解得.
故选B.
点睛：对于方程 有：
（1） 表示为焦点在轴上的椭圆；
（2） 表示为焦点在轴上的椭圆；
（3）表示圆.
11. 已知是R上的单调增函数，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】函数在上单增，只需恒成立，，则，，则,选D.
12. 设抛物线C:y2 =4x的焦点为F,直线L过F且与C交于A, B两点.若|AF|=3|BF|,则L的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
∵抛物线C方程为y2=4x,可得它的焦点为F(1,0)，显然直线斜率存在.
∴设直线l方程为y=k(x−1)
由消去x,得ky2−4y−4k=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2)，
可得y1+y2=,y1y2=−4…(∗)
∵|AF|=3|BF|，
∴y1+3y2=0,可得y1=−3y2,代入(∗)得−2y2=且−3y22=−4，
消去y2得k2=3,解之得k=±
∴直线l方程为y= (x−1)或y=− (x−1)
故选：C.
点睛：直线与抛物线问题，常用的手段为：设而不求，即直线与抛物线联立通过韦达定理建立等量关系.在设直线时，要注意直线的斜率是否存在，斜率不存在时要单独讨论才能进一步设有斜率时的直线方程.
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 双曲线的渐近线方程为_____________.
【答案】
【解析】双曲线的标准方程为：.
渐近线为：，整理得：.
答案：.
14. 函数的减区间是_____________.
【答案】（0,2）
【解析】函数，求导得：.
令，得.
所以函数的减区间是（0,2）.
答案：（0,2）.
点睛：求单调区间的步骤：(1)确定函数y＝f(x)的定义域；(2)求导数y′＝f′(x)；(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．
15. 若曲线在点处的切线平行于轴,则_____________.
【答案】
【解析】试题分析：由，得，∴，∵曲线在点处的切线平行于x轴，∴，即．
考点：利用导数研究曲线上某点处的切线方程．
16. 设椭圆的左、右焦点分别为是上的点,则的离心率为_____________.
【答案】
【解析】试题分析：在中，，，所以，结合椭圆定义得：，所以.
考点：由椭圆的标准方程求几何性质.
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 求椭圆的长轴的长轴和短轴长、离心率、交点坐标、顶点坐标.
【答案】渐近线
【解析】试题分析：将椭圆的方程化为标准方程，得到，进而得解.
试题解析：
椭圆化为标准方程：.其中：.
且焦点在y轴上.
长轴长；
短轴长
离心率:;
焦点坐标:;
顶点坐标:
18. 已知函数
（1）求这个函数的导数；
（2）求这个函数的图像在处的切线方程.
【答案】（1）；（2）.
【解析】试题分析：（1）利用函数乘积的求导法则求导即可；
（2）先求得在1处的导数值得切线斜率，进而得切线方程.
试题解析：
（1）;
（2）切线斜率，
所以切线方程.
19. （１）求焦点在 x轴上,虚轴长为12，离心率为 的双曲线的标准方程；
（2）求经过点的抛物线的标准方程；
【答案】（1）；（2）.
【解析】试题分析：（1）由虚轴长是12求出半虚轴b，根据双曲线的性质c2=a2+b2以及离心率，求出a2，写出双曲线的标准方程；
（2）设出抛物线方程，利用经过，求出抛物线中的参数，即可得到抛物线方程．
试题解析：
（１）解：焦点在x轴上，设所求双曲线的方程为=1．由题意，得 解得，．∴．所以焦点在x轴上的双曲线的方程为．
（2）解：由于点P在第三象限，所以抛物线方程可设为：或
在第一种情形下，求得抛物线方程为：；在第二种情形下，求得抛物线方程为：
20. 已知函数.
(1)求f(x)的单调递减区间；
(2)若f(x)在区间[－2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．
【答案】（1）单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)；（2）函数f(x)在区间[－2,2]上的最小值为－7.
【解析】试题分析：（1）先求出函数的导函数,令,解得的区间即为单减区间；（2）先求出端点的函数值和,然后比较两者大小,再根据函数在上单调递增,再上单调递减,得到和分别是函数在区间上的最大值和最小值；接下来联系已知条件,建立等式关系求出,从而求出最值．
试题解析：解：（1）
令，解得或
∴函数的单调递减区间为和．
（2）∵
，∴．
∵在上，
∴在上单调递增．
又由于在上单调递减，因此和分别是在区间上的最大值和最小值．
于是有，解得，
∴．
∴，即函数在区间上的最小值为．
考点：1．函数的最值；2．导数的应用．
21. 已知椭圆及直线．
（1）当为何值时，直线与椭圆有公共点？
（2）若直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程．
【答案】（1）；（2）.
【解析】试题分析：（1）将直线的方程与椭圆的方程联立，得到，利用即可求得m的取值范围；（2）利用两点间的距离公式，再借助于韦达定理即可得到：两交点AB之间的距离从而可求得m的值
试题解析：（1）把直线方程代入椭圆方程得，
即．， 解得
（2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为，，由（1）得，．
根据弦长公式得 ：．解得．方程为．
考点：直线与椭圆相交问题及相交弦问题
22. 已知函数在处取得极值.
（1）求常数k的值；
（2）求函数的单调区间与极值；
（3）设，且， 恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）极大值为极小值为；（3）.
【解析】试题分析：（1）因为函数两个极值点已知，令，把0和4代入求出k即可．
（2）利用函数的导数确定函数的单调区间，大于零和小于零分别求出递增和递减区间即可，把函数导数为0的x值代到f（x）中，通过表格，判断极大、极小值即可．
（3）要使命题成立，只需，由（2）得：和其中较小的即为g（x）的最小值，列出不等关系即可求得c的取值范围．
试题解析：
（1），由于在处取得极值，
∴
可求得
（2）由（1）可知，，
的变化情况如下表：
x
0
+
0
－
0
+
极大值
极小值
∴当为增函数，为减函数；
∴极大值为极小值为
(3) 要使命题， 恒成立，只需使,即即可.只需
由（2）得在单增，在单减.
∴，
.
点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：
（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；
（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为 ，若恒成立；
（3）若 恒成立，可转化为（需在同一处取得最值） .