2018-2019学年甘肃省静宁县第一中学高二下学期第一次月考数学（理）试题 解析版 17页

绝密★启用前 甘肃省静宁县第一中学 2018-2019 学年高二下学期第一次月 考数学（理)试题 评卷人 得分 一、单选题 1．《聊斋志异》中有这样一首诗:“挑水砍柴不堪苦,请归但求穿墙术. 得诀自诩无所阻,额 上坟起终不悟.”在这里,我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”: ,则按照以上规律,若 具有 “穿 墙术”,则 (　　) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 因为 所以 ，选 C. 点睛：(一)　与数字有关的推理：解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与 序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等． (二)　与式子有关的推理：(1)与等式有关的推理．观察每个等式的特点，找出等式左 右两侧的规律及符号后可解．(2)与不等式有关的推理．观察每个不等式的特点，注意 是纵向看，找到规律后可解． (三)　与图形有关的推理：与图形变化相关的归纳推理，解决的关键是抓住相邻图形之 间的关系，合理利用特殊图形，找到其中的变化规律，得出结论，可用赋值检验法验证 其真伪性． 2．下面几种推理是合情推理的是(　　) ①由圆的性质类比出球的有关性质;②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和 是 归纳出所有三角形的内角和都是 ;③由 ,满足 , ,推出 是奇函数;④三角形内角和是 ,四边形内角和是 ,五边形 内角和是 ,由此得凸多边形内角和是 . A．①② B．①③④ C．①②④ D．②④ 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意可知：①是类比推理，②是归纳推理，③是演绎推理，④是归纳推理，据此确定 所给的命题是否属于合情推理即可. 【详解】 逐一考查所给的推理： ①由圆的性质类比出球的有关性质是类比推理，属于合情推理; ②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是 归纳出所有三角形的内角和 都是 是归纳推理，属于合情推理; ③由 ,满足 , ,推出 是奇函数是演绎推理，不属 于合情推理; ④三角形内角和是 ,四边形内角和是 ,五边形内角和是 ,由此得凸多边形内 角和是 是归纳推理，属于合情推理. 综上可得：合情推理的编号为①②④. 本题选择 C 选项. 【点睛】 一是合情推理包括归纳推理和类比推理，所得到的结论都不一定正确，其结论的正确性 是需要证明的． 二是在进行类比推理时，要尽量从本质上去类比，不要被表面现象所迷惑；否则只抓住 一点表面现象甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误． 三是应用三段论解决问题时，应首先明确什么是大前提，什么是小前提，如果大前提与 推理形式是正确的，结论必定是正确的．如果大前提错误，尽管推理形式是正确的，所 得结论也是错误的． 3．设 则 、 、三数(　　) A．至少有一个不大于 2 B．都小于 2 C．至少有一个不 小于 2 D．都大于 2 【答案】C 【解析】 【分析】 利用反证法：不妨设 、 、三数都小于 2，则 .结合均值不等式的结论可知 的最小值为 6，据此即可得出结论. 【详解】 利用反证法：不妨设 、 、三数都小于 2， 即： ，则 . 事实上： ， 当且仅当 时等号成立，即 的最小值为 6， 这与假设矛盾. 故 、 、三数至少有一个不小于 2. 本题选择 C 选项. 【点睛】 应用反证法时必须先否定结论，把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推理， 否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法．所谓矛盾主要指： ①与已知条件矛盾；②与假设矛盾；③与定义、公理、定理矛盾；④与公认的简单事实 矛盾；⑤自相矛盾. 4．在同一平面直角坐标系中，经过坐标伸缩变换 后，曲线 变为曲线 ，则曲线 的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 试题分析：根据题意，由于同一平面直角坐标系中，经过坐标伸缩变换 后曲线 C 变为曲线 ，那么可知 ，那么将已知的 x’,y’换为 x,y 得 到的解析式为 ，故选 A. 考点：伸缩变换 点评：本题考查了伸缩变换，理解其变形方法是解决问题的关键 5．点 到曲线 （其中是参数，且 ）上的点的最小距离为(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 消去参数可得曲线即： ，原问题等价于抛物线上的点到准线距离的最小值，结 合抛物线的性质确定最小值即可. 【详解】 消去参数可得曲线 （其中是参数，且 ）即： ， 则点 P 为抛物线的焦点，原问题等价于抛物线上的点到准线距离的最小值， 很明显抛物线的顶点到准线的距离最小，其最小值为： . 本题选择 B 选项. 【点睛】 本题主要考查参数方程化为直角坐标方程的方法，抛物线的定义及其性质的应用等知识， 意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 6．下列在曲线 ( 为参数)上的点是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 试题分析：参数方程消去参数变为普通方程可得 ，代入各点可得 在曲 线上 考点：参数方程 7．将直角坐标方程 转化为极坐标方程，可以是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 直角坐标方程 转化为极坐标方程即： ，据此化简可得极坐标方程. 【详解】 直角坐标方程 转化为极坐标方程即： ， 即 . 本题选择 D 选项. 【点睛】 本题主要考查直角坐标方程化为极坐标方程的方法，属于基础题. 8．函数 的单调递增区间是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 由题意可得 ，求解不等式 即可确定函数的单调递增区间. 【详解】 由函数的解析式可得： , 求解不等式 可得： ， 故函数 的单调递增区间是 . 本题选择 D 选项. 【点睛】 本题主要考查导函数求解函数单调性的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求 解能力. 9．已知函数 ，关于函数 的性质，有以下四个推断： ① 的定义域是 ； ② 的值域是 ； ③ 是奇函数； ④ 是区间（0,2）内的增函数. 其中推断正确的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】 分析：根据 f（x）的表达式求出其定义域，判断①正确；根据基本不等式的性质求出 f （x）的值域，判断②正确；根据奇偶性的定义，判断③正确；根据函数的单调性，判 断④错误． 详解：①∵函数 ， ∴f（x）的定义域是（﹣∞，+∞）， 故①正确； ②f（x）= ， x＞0 时：f（x）≤ ， x＜0 时：f（x）≥﹣ ， 故 f（x）的值域是 ， 故②正确； ③f（﹣x）=﹣f（x），f（x）是奇函数， 故③正确； ④由 f′（x）= ， 令 f′（x）＞0，解得：﹣1＜x＜1， 令 f′（x）＜0，解得：x＞1 或 x＜﹣1， ∴f（x）在区间（0，2）上先增后减， 故④错误； 故答案为：①②③． 点睛：本题考查了函数的定义域与值域，考查了奇偶性与单调性，考查了逻辑推理能力， 属于中档题. 10．若 ，则 k=( ) A．1 B．0 C．0 或 1 D．以上都不对 【答案】A 【解析】 由题设可得 ，则 或 ，应选答案 C。 11．曲线 在点 处的切线方程是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 试题分析： ，则所求切线方程为 ． 考点：利用导数求切线方程． 12．设 是定义在 上的奇函数，且 ,当 时，有 恒成立， 则不等式 的解集为 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 分析：构造函数 ， ，当 时， = = ， 在 上为减函数。 = = = ， 为偶函数。可以推测出 的图像，而 等价于 ，再结合图像推 测 的解集。进而即可解决 。 【详解】 设 ， ， 当 时， = = ， 在 上为减函数。 又 = = = ， 所以 为偶函数且 = =0。因此 的图像大致如图。 由图像可知，当 时，有 ，此时 ，故 ；当 时， 有 ，此时 ，故 ；所以 的解集为 。 又 等价于 ，所以 的解集为 .故选 D。 【点睛】 导数在函数单调性中的应用及函数不等式的求解问题，其中构造函数，利用导数与单调 之间的关系得出函数的单调性是解答的关键，可以根据条件推测图像，直观得出结论或 考虑某个具体的函数值，利用单调性的定义转化为自变量的不等关系，此类问题重点考 查转化思想，以及分析问题和解决问题的能力。 第 II 卷（非选择题) 请点击修改第 II 卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 13．将参数方程 （为参数）化成普通方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】 将参数方程化为普通方程，就是将其中的参数消掉，利用代入法，即可得出结论． 【详解】 将参数方程 （t 为参数），利用代入法，化成普通方程为 x﹣y+5 0． 故答案为： x﹣y+5 0． 【点睛】 本题考查了化参数方程为普通方程，解答此类问题的关键是如何把题目中的参数消掉， 常用的方法有代入法，加减消元法等，同时注意消参后变量的范围限制，是基础题． 14．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时,四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下,甲说:“罪 犯在乙、丙、丁三人之中”;乙说:“我没有作案,是丙偷的”;丙说:“甲、乙两人中有一人是 小偷”;丁说:“乙说的是事实”.经过调查核实,四人中有两人说的是真话,另外两人说的是 假话,且这四人中只有一人是罪犯,由此可判断罪犯是__________. 【答案】乙 【解析】 四人供词中，乙、丁意见一致，或同真或同假，若同真，即丙偷的，而四人 有两人说的是真话，甲、丙说的是假话，甲说“乙、丙、丁偷的”是假话， 即乙、丙、丁 没偷，相互矛盾；若同假，即不是丙偷的，则甲、丙说的是真话，甲说“乙、 丙、丁三人之中”，丙说“甲、乙两人中有一人是小偷”是真话， 可知犯罪 的是乙. 【点评】本体是逻辑分析题，应结合题意，根据丁说“乙说的是事实”发现， 乙、丁意见一致，从而找到解题的突破口，四人中有两人说的是真话，因此 针对乙、丁的供词同真和同假分两种情况分别讨论分析得出结论. 15． dx＝________. 【答案】π 【解析】设 y＝ ，则 x2＋y2＝4(y≥0)，由定积分的几何意义知 dx 的值等于半径为 2 的圆的面积的 .∴ dx＝ ×4π＝π. 16．已知可导函数 的导函数 满足 ,则不等式 的解集是__________. 【答案】 【解析】 【分析】 构造函数 ，结合题意确定函数的单调性，然后由函数的单调性求解不等式即 可. 【详解】 构造函数 ，则 ， 故函数 是 R 上的单调递增函数， 注意到不等式 即 ，即 ， 由函数的单调性可得 ，故不等式 的解集是 . 【点睛】 本题主要考查导函数研究函数的单调性，构造函数的方法等知识，意在考查学生的转化 能力和计算求解能力. 评卷人 得分 三、解答题 17．已知函数 ． 2 2 0 4 x−∫ 24 x− 2 2 0 4 x−∫ 1 4 2 2 0 4 x−∫ 1 4 （1）求 的单调递减区间； （2）若 在区间 上的最大值是 ，求它在该区间上的最小值. 【答案】(1) （－∞，－1），（3，＋∞）(2)-7 【解析】 试题分析：（Ⅰ）先求出函数 f（x）的导函数 f′（x），然后令 f′（x）＜0，解得的区间 即为函数 f（x）的单调递减区间； （Ⅱ）先求出端点的函数值 f（﹣2）与 f（2），比较 f（2）与 f（﹣2）的大小，然后根 据函数 f（x）在[﹣1，2]上单调递增，在[﹣2，﹣1]上单调递减，得到 f（2）和 f（﹣1） 分别是 f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值和最小值，建立等式关系求出 a，从而求出函 数 f（x）在区间[﹣2，2]上的最小值． 解：（Ⅰ）f′（x）=﹣3x2+6x+9． 令 f′（x）＜0，解得 x＜﹣1 或 x＞3， 所以函数 f（x）的单调递减区间为（﹣∞，﹣1），（3，+∞）． （Ⅱ）因为 f（﹣2）=8+12﹣18+a=2+a，f（2）=﹣8+12+18+a=22+a， 所以 f（2）＞f（﹣2）． 因为在（﹣1，3）上 f′（x）＞0，所以 f（x）在[﹣1，2]上单调递增， 又由于 f（x）在[﹣2，﹣1]上单调递减， 因此 f（2）和 f（﹣1）分别是 f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值和最小值，于是有 22+a=20，解得 a=﹣2． 故 f（x）=﹣x3+3x2+9x﹣2，因此 f（﹣1）=1+3﹣9﹣2=﹣7， 即函数 f（x）在区间[﹣2，2]上的最小值为﹣7． 点评：本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于 0 时 原函数单调递增，当导函数小于 0 时原函数单调递减．以及在闭区间上的最值问题等基 础知识，同时考查了分析与解决问题的综合能力． 18．已知抛物线 ，在点 ， 分别作抛物线的切线 ． （1）求切线 和 的方程； （2）求抛物线 与切线 和 所围成的面积 ． 【答案】（1）切线 方程： ，切线 方程： ；（2） . 【解析】 【分析】 （1）由题意可得 ，则切线的斜率为 ， ，据此可得切线方程； （2）联立直线方程可得 ，由定积分的定义可得所求面积为 ， 计算定积分确定面积的值 即可. 【详解】 （1）因为 ， ， 都在抛物线上，则 ， ， 所以切线 方程： ，切线 方程： . （2）由 ，解得 ， 则两切线交点坐标为 .所以抛物线 与切线 和 所围成的面积为 . 【点睛】 本题主要考查导函数研究函数的切线方程，利用定积分求解面积的方法等知识，意在考 查学生的转化能力和计算求解能力. 19．已知 在 处取得极值，且 ． （1）求 、 的值； （2）若对 ， 恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 【分析】 （1）由题意可得 ，结合题意可知 ， ，列出方程组 可得 a,b 的值. （2） ，结合导函数的符号可确定函数的单调性，从而求得函数的最 小值，据此即可确定实数的取值范围. 【详解】 （1） ， 又 在 处取得极值， ，又 ，即： ， 解得 ． （2） ， 当 时， ，函数单调递增； 当 时， ，函数单调递减； 函数的解析式为 ， ， 所以 ． 【点睛】 本题主要考查已知函数的极值求参数的方法，利用导函数研究恒成立问题的方法等知识， 意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 20．已知曲线 ： （为参数）和曲线 : ( 为参数). （1）化 ， 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （2）若 上的点 对应的参数为 ， 为 上的动点，求 中点 到直线 ： （为参数）距离的最小值及此时 点的坐标. 【答案】（1）见解析；（2）距离最小值为 ， 点坐标为 . 【解析】 【分析】 (1)消去参数和参数 即可确定曲线的普通方程，然后由方程确定其表示曲线的形状和位 置即可； （2）由题意可得 ，结合中点坐标公式可设 . 利用点到 直线距离公式和三角函数的性质确定距离的最小值及 点的坐标即可. 【详解】 （1）分别消去曲线 和 中的参数， 可得到 ： ， ： . 是圆心为 ，半径为 的圆. 是中心为坐标原点，焦点在 轴上，长半轴长是 ，短半轴长是 的椭圆. （2）当 时， ， 设 ，故 . 为直线 ， 到 的距离 ， 从而当 ， ， 取最小值 . 所以，此时 点的坐标为 . 【点睛】 本题主要考查参数方程及其应用，三角函数求最值的方法等知识，意在考查学生的转化 能力和计算求解能力. 21．在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点为 极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 . （1）写出 的普通方程和 的直角坐标方程； （2）设点 在 上，点 在 上，求 的最小值以及此时 的直角坐标. 【答案】（1） ： ， ： ；（2） ，此时 . 【解析】 试题分析：（1） 的普通方程为 ， 的直角坐标方程为 ；（2）由 题意，可设点 的直角坐标为 到 的距离 当且仅当 时， 取得最小值，最小值为 ，此时 的直角坐标为 . 试题解析： （1） 的普通方程为 ， 的直角坐标方程为 . （2）由题意，可设点 的直角坐标为 ，因为 是直线，所以 的最小值 即为 到 的距离 的最小值， . 当且仅当 时， 取得最小值，最小值为 ，此时 的直角坐标为 . 考点：坐标系与参数方程. 【方法点睛】参数方程与普通方程的互化：把参数方程化为普通方程，需要根据其结构 特征，选取适当的消参方法，常见的消参方法有：代入消参法；加减消参法；平方和 （差）消参法；乘法消参法；混合消参法等．把曲线 的普通方程 化为参数方程 的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性．注意方程中的参数的变 化范围． 视频 22．已知两个函数 ， . （1）若对任意 ，都有 成立，求实数的取值范围； （2）若对任意的 ， ，都有 成立，求实数的取值范 围． 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 【分析】 (1)构造函数 ，则 ．由导函数研究函数的性质可得函数的最小值为 ，结合题意得到关于 c 的不等式，求解不等式即可确定 c 的取 值范围； （2）原问题等价于 ， .分别求得 和 ，据此可得 c 的取值范围. 【详解】 (1)设 ， 则 ． 由 ， 得 或 . 当 时 ， 的变动与值如下表： 由表得 ， ， 若对任意 ，都有 成立， 需 ，即 . （2）要对任意的 ， ，都有 成立， 则需 ， . 二次函数 开口向上，对称轴为 ，则 ； .令 得 ， （舍去）， 因为 、 、 ， 所以 ； 则 . 【点睛】 本题主要考查导数研究函数的单调性，导数研究函数的极值与最值等知识，意在考查学 生的转化能力和计算求解能力.