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  • 2021-06-26 发布

高中数学选修第2章2_2_1同步练习

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高中数学人教A版选2-1 同步练习 若P是以F1、F2为焦点的椭圆+=1上一点,则三角形PF‎1F2的周长等于(  )‎ A.16           B.18‎ C.20 D.不确定 解析:选B.由椭圆的定义知‎2a=10,‎2c=2=8,所以三角形PF‎1F2的周长等于10+8=18.‎ 已知椭圆的焦点为(-1,0)和(1,0),点P(2,0)在椭圆上,则椭圆的方程为(  )‎ A.+=1 B.+y2=1‎ C.+=1 D.+x2=1‎ 解析:选A.c=1,a==2,∴b2=a2-c2=3.‎ ‎∴椭圆的方程为+=1.‎ 已知椭圆的焦点是F1(-1,0),F2(1,0),P为椭圆上一点,且|F‎1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项,则椭圆的方程为__________.‎ 解析:由题设知|PF1|+|PF2|=2|F‎1F2|=4,‎ ‎∴‎2a=4,‎2c=2,∴b=,‎ ‎∴椭圆的方程为+=1.‎ 答案:+=1‎ 椭圆+=1的焦距为2,则m等于__________.‎ 解析:∵‎2c=2,∴c=1.当椭圆的焦点在x轴上时,由4-m=1得m=3;当椭圆的焦点在y轴上时,由m-4=1得m=5.‎ 答案:3或5‎ ‎[A级 基础达标]‎ 若椭圆+=1过点(-2,),则其焦距为(  )‎ A.2 B.2 C.4 D.4 解析:选D.将点(-2,)代入椭圆方程求得b2=4,于是焦距‎2c=2=4.‎ 已知a=,c=2,则该椭圆的标准方程为(  )‎ A.+=1‎ B.+=1或+=1‎ C.+y2=1‎ D.+y2=1或x2+=1‎ 解析:选D.由a2=b2+c2,∴b2=13-12=1.分焦点在x轴和y轴上写标准方程.‎ 如果方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆,则实数a的取值范围是(  )‎ A.a>3 B.a<-2‎ C.a>3或a<-2 D.a>3或-63或-65),它的两个焦点分别为F1,F2,且|F‎1F2|=8,弦AB过F1,则△ABF2的周长为__________.‎ 解析:由已知c=4,∴a==.‎ 根据椭圆定义可得:△ABF2的周长为‎4a=4.‎ 答案:4 求适合下列条件的椭圆的标准方程:‎ ‎(1)椭圆上一点P(3,2)到两焦点的距离之和为8;‎ ‎(2)椭圆两焦点间的距离为16,且椭圆上某一点到两焦点的距离分别等于9和15.‎ 解:(1)①若焦点在x轴上,‎ 可设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0).‎ 由题意知‎2a=8,∴a=4,‎ 又点P(3,2)在椭圆上,‎ ‎∴+=1,得b2=.‎ ‎∴椭圆的标准方程为+=1.‎ ‎②若焦点在y轴上,设椭圆的标准方程为:‎ +=1(a>b>0),‎ ‎∵‎2a=8,∴a=4.‎ 又点P(3,2)在椭圆上,‎ ‎∴+=1,得b2=12.‎ ‎∴椭圆的标准方程为+=1.‎ 由①②知椭圆的标准方程为+=1或+=1.‎ ‎(2)由题意知,‎2c=16,‎2a=9+15=24,‎ ‎∴a=12,c=8,∴b2=80.‎ 又焦点可能在x轴上,也可能在y轴上,‎ ‎∴所求方程为 +=1或+=1.‎ ‎[B级 能力提升]‎ (2012·宜宾质检)“m>n>‎0”‎是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的(  )‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选C.m>n>0⇒>>0⇒方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆;反之,若方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆,则m>n>0.‎ 已知椭圆+=1的两个焦点F1,F2,M是椭圆上一点,且|MF1|-|MF2|=1,则△MF‎1F2是(  )‎ A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等边三角形 解析:选B.由椭圆定义知|MF1|+|MF2|=‎2a=4,且已知|MF1|-|MF2|=1,所以|MF1|=,|MF2|=.又|F‎1F2|=‎2c=2.所以有|MF1|2=|MF2|2+|F‎1F2|2.因此∠MF‎2F1=90°,△MF‎1F2为直角三角形.‎ 已知椭圆+=1上一点P与椭圆两焦点F1、F2连线的夹角为直角,则|PF1||PF2|=__________.‎ 解析:两焦点的坐标分别为F1(-5,0)、F2(5,0),由PF1⊥PF2,得|PF1|2+|PF2|2=|F‎1F2|2=100.‎ 而|PF1|+|PF2|=14,‎ ‎∴(|PF1|+|PF2|)2=196,100+2|PF1|·|PF2|=196,|PF1||PF2|=48.‎ 答案:48‎ 已知椭圆+=1上一点M的纵坐标为2.‎ ‎(1)求M的横坐标;‎ ‎(2)求过M且与+=1共焦点的椭圆的方程.‎ 解:(1)把M的纵坐标代入+=1,‎ 得+=1,即x2=9.‎ ‎∴x=±3.即M的横坐标为3或-3.‎ ‎(2)对于椭圆+=1,焦点在x轴上且c2=9-4=5,故设所求椭圆的方程为+=1(a2>5),‎ 把M点坐标代入得+=1,解得a2=15.‎ 故所求椭圆的方程为+=1.‎ (创新题)已知椭圆中心在原点,两焦点F1、F2在x轴上,且过点A(-4,3).若F‎1A⊥F‎2A,求椭圆的标准方程.‎ 解:设所求椭圆的标准方程为+=1(a>b>0).‎ 设焦点F1(-c,0),F2(c,0).‎ ‎∵F‎1A⊥F‎2A,∴·=0,‎ 而=(-4+c,3),‎ =(-4-c,3),‎ ‎∴(-4+c)·(-4-c)+32=0,‎ ‎∴c2=25,即c=5.‎ ‎∴F1(-5,0),F2(5,0).‎ ‎∴‎2a=|AF1|+|AF2|‎ ‎= + ‎=+=4.‎ ‎∴a=2,‎ ‎∴b2=a2-c2=(2)2-52=15.‎ ‎∴所求椭圆的标准方程为+=1.‎

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