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- 2021-06-26 发布
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一、解答题
1. 【河北衡水金卷2019届高三12月第三次联合质量测评】在直角坐标系中，直线l的参数方程为 (t为参数，)，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.
(1)当时，写出直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；
(2)已知点，设直线l与曲线C交于A，B两点，试确定的取值范围．
【答案】（1），；（2）
（2）由直线的参数方程为（为参数，）可知直线是过点P（-1，1）且倾斜角为的直线，又由（1）知曲线C为椭圆，所以易知点P（-1，1）在椭圆C内，
将代入中并整理得
，
设A，B两点对应的参数分别为，
则
所以
因为，所以，
所以
所以的取值范围为.
3. 【河北省衡水中学2018届高三第十次模拟考试】已知直线的参数方程为（为参数， ），以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为， 与交于不同的两点.
（1）求的取值范围；
（2）以为参数，求线段中点轨迹的参数方程.
【答案】（1）；（2）（为参数， ).
（2）由（*）可知，，代入中，
整理得的中点的轨迹方程为
（为参数， )
4. 【河北省衡水中学2018届高三第十次模拟考试】已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）设的最小值为，若的解集包含，求的取值范围.
【答案】（1） （2）
5. 【河北省衡水中学2019届高三上学期六调】设函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2），都有恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】（1）当时，
当解得当恒成立.
【解析】（1）∵，∴，
∴，
∴，∴，∴实数的最大值为.
（2）当时，
∴
∴或
∴实数的值为．
10. 【河北省衡水中学2018届高三第十七次模拟考试】已知函数，.
（1）解不等式；
（2）设，求证：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
（2）
，
当且仅当时等号成立．
11. ．【【衡水金卷】2018届四省名校高三第三次大联考】已知函数,.
（1）当时，解不等式；
（2）若对任意，都存在，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)；(2) .
（2）∵，
当且仅当时取等号，
∴的值域为
又在上单调递增，
∴的值域为，
13. 【河北省衡水中学2019届高三第一次摸底考试】在平面直角坐标系中，圆的参数方程为，为参数，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为
求圆的普通方程和圆的直角坐标方程；
若圆与圆相交于点，求弦的长．
【答案】(1),；（2）4.
转换为直角坐标方程为：，
即：．
由于，
整理得：．
（2）因为，所以，所以.
又，
所以，知， ，
所以，所以，
所以.
16. 【河北省衡水中学2018年高考押题(一)】已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为，直线与圆交于两点.
（1）求圆的直角坐标方程及弦的长；
（2）动点在圆上（不与重合），试求的面积的最大值.
【答案】（1）（2）
（2）直线的普通方程为 .
圆的参数方程为（为参数），
可设圆上的动点，
则点到直线的距离
当时，取最大值，且的最大值为
所以
即的面积的最大值为.
17. 【河北省衡水中学2018年高考押题(三)】已知直线的参数方程为（为参数），在以坐标原点为极点、轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，圆的极坐标方程为.
（1）求直线被圆截得的弦长；
（2）若的坐标为，直线与圆交于两点，求的值.
【答案】(1) .
(2)7.
（2）把代入，可得
（*）．
设是方程（*）的两个根，则，故．
18. 【河北省衡水中学2018年高考押题(三)】已知（为常数）.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若的值域为，且，求实数的取值范围.
【答案】(1).
(2).
（2）因为，所以，
由条件只需即，
解之得，即实数的取值范围是.
19. 【河北省衡水中学2018届高三十五模试题】设实数满足．
（1）若，求的取值范围；
（2）若，求证：．
【答案】（1）（2）见解析
【解析】
（1）解：∵，∴，
则由，
当时，由得，则；
当时，由得，则；
当时，由得， 解集为；
综上， 的取值范围是.
20. 【河北省衡水中学2018届高三十五模试题】在直角坐标系中，直线.以直角坐标系的原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且两个坐标系取相同单位长度，曲线的极坐标方程为，.
（1）求曲线的参数方程；
（2）求曲线上一点到直线的距离的最小值及此时点的坐标.
【答案】(1)（为参数且）；(2)答案见解析.
【解析】
（1）曲线，可化为，
由， 得：，
∵，∴
从而曲线的直角坐标方程为，
再化为参数方程为（为参数且）
（2）设，
则到的距离
又，∴当时，点的坐标为
点到直线的距离的最小值为.
21. 【河北省衡水中学2018届高三上学期七调考试】设函数．
（1）解关于的不等式；
（2）若实数，满足，求的最小值．
【答案】（1）；（2）.
22. 【河北省衡水中学2018届高三上学期七调考试】在平面直角坐标系中，以为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若直线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，将曲线上所有点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，然后再向右平移一个单位得到曲线．
（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）已知直线与曲线交于两点，点，求的值．
【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）
代入的直角坐标方程得，
设，对应的参数分别为，
则，
所以
23. 【河北省衡水中学2018届高三高考押题（一)】已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为，直线与圆交于，两点.
（1）求圆的直角坐标方程及弦的长；
（2）动点在圆上（不与，重合），试求的面积的最大值.
【答案】(1) .
(2) .
24. 【河北省衡水中学2018届高三高考押题（一)】已知函数.
（1）求函数的值域；
（2）若，试比较，，的大小.
【答案】(1) .
(2) .
【解析】（1）
根据函数的单调性可知，当时，.
