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- 2021-06-26 发布
2017-2018学年江西省高安中学高二1月月考
数学（文）试题
一、 选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分）
1．已知i是虚数单位，复数z＝(x2－4)＋(x2+x-6)i是纯虚数，则实数x的值为( )
A．－2 B．2 C．±2 D．-3
2．命题“”的否定是（ ）
A、 B、
C、 D、
3．下列不等式不成立的是（ ）
A. a2+b2+c2ab+bc+ca B . (a>0,b>0)
C. (a3) D. <
4．已知钝角三角形的面积为，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上
二人所得与下三人等，问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分
5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依
次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题
中，甲所得为（ ）
A．钱 B．钱 C．钱 D．钱
6．已知直线ax＋by﹣5=0与曲线y=x3在点P（1，1）处的切线互相垂直，则为（ ）
A． B． C． D．
7．某工厂进行节能降耗技术改造,在四个月的过程中，其煤炭消耗量(单位：吨)的情况如下表：
技术改造的月份x
1
2
3
4
煤炭消耗量y
4.5
4
3
2.5
显然煤炭消耗量y与技术改造的月份x之间有较好的线性相关关系，则其线性
回归方程为( )
A.y＝0.7x＋5.25 B.y＝－0.6x＋5.25 C.y＝－0.7x＋6.25 D.y＝－0.7x＋5.25
8．观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2 401，…，则72 017的末两位数字为( )
A．01 B．43 C．07 D．49
9．以－＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1
10．下列关于函数f(x)＝x3－3x2＋1(x∈R)的性质叙述错误的是( )
A．f(x)在区间(0,2)上单调递减
B．曲线y＝f(x)在点(2，－3)处的切线方程为y＝－3
C．f(x)在x＝0处取得最大值1
D．f(x)在其定义域上没有最大值
11． 已知抛物线 上有一条长为的动弦，则弦的中点到轴的最短距离
为（ ）
A． B． C． D．
12. 已知函数有三个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）
13.阅读如图所示的流程图，并回答问题．若a＝50.6，b＝0.65，
c＝log0.62，则输出的数是______ (用字母a，b或c表示)．
14． 若x，y满足约束条件则的最
大值为 .
15.设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝，
类比这个结论可知：四面体S－ABC的四个面的面积分别为S1、S 2、S3、S4，内切球半径
为r，四面体S－ABC的体积为V，则r等于 ．
16. 直线x=a（a＞0）分别与直线y=3x+3，曲线y=2x+lnx交于A、B两点，则
|AB|最小值为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．(本小题满分10分)已知分别为内角的对边,.
（1）若,求;（2）设,且,求的面积.
18、 (本小题满分12分)命题p：方程＋＝1是焦点在y轴上的椭圆，命题q：函数
f(x)＝x3－2mx2＋(4m－3)x－m在(－∞，＋∞)上单调递增，若p∧q为假，p∨q为真，
求实数m的取值范围．
19、 (本小题满分12分)数列的前项和.
(1)求此数列的通项公式;
（2）设,求数列的前项和.
20．(本小题满分12分)随着手机的发展，“微信”越来越成为人们交流的一种方式．某机构对“使用微信交流”的态度进行调查，随机抽取了50人，他们年龄的频数分布及对“使用微信交流”赞成人数如下表．
年龄（单位：岁）
[15，25）
[25，35）
[35，45）
[45，55）
[55，65）
[65，75）
频数
5
10
15
10
5
5
赞成人数
5
10
12
7
2
1
（Ⅰ）若以“年龄”45岁为分界点，由以上统计数据完成下面2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关；
年龄不低于45岁的人数
年龄低于45岁的人数
合计
赞成
不赞成
合计
（Ⅱ）若从年龄在[25，35）和[55，65）的被调查人中按照分层抽样的方法选取6人进行追踪调查，并给予其中2人“红包”奖励，求2人中至少有1人年龄在[55，65）的概率．
参考数据如下：
附临界值表：
P（K2≥k）
0.10
0.05
0.010
0.001
k
2.706
3.841
6.635
10.828
K2的观测值：K2=（其中n=a+b+c+d）
21.(本小题满分12分)已知F1（﹣c，0）、F2（c、0）分别是椭圆G：+=1
（0＜b＜a＜3）的左、右焦点，点P（2，）是椭圆G上一点，且
|PF1|﹣|PF2|=a．
（1）求椭圆G的方程；
（2）设直线与椭圆G相交于A、B两点，若⊥，其中O为坐标原点，判断O 到
直线的距离是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．
22.（本小题12分）已知
（1）若，求曲线，在点处的切线方程；
（2）若，求函数的单调区间；
（3）若不等式恒成立，求实数的的取值范围。
参考答案
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分）
1．B 2．C 3．D 4．D 5． D 6．A 7．D 8．C 9．A 10．C 11．C 12.D
二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）
13.a 14． 15． 16.4
三、解答题
17、（1）因为,由正弦定理,又因为,所以
..
（2）,解得.
.
18. 对于命题p，由条件可得m＞2.
对于命题q，由f′(x)＝4x2－4mx＋(4m－3)≥0对x∈R恒成立，
得Δ＝(－4m)2－16(4m－3)≤0，解得1≤m≤3.
由p∧q为假，p∨q为真，得p与q一真一假．
若p真q假时，则可得解得m＞3.
若p假q真时，则可得解得1≤m≤2.
综上可得，m的取值范围是1≤m≤2或m＞3.
19、当时,,
(1) 当时,,
时,满足 综上,.
(2) ，
20.（Ⅰ）解：根据条件得2×2列联表：
年龄不低于45岁的人数
年龄低于45岁的人数
合计
赞成
10
27
37
不赞成
10
3
13
合 计
20
30
50
…（3分）
根据列联表所给的数据代入公式得到：…（5分）
所以有99%的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关； …（6分）
（Ⅱ）解：按照分层抽样方法可知：[55，65）抽取：（人）；
[25，35）抽取：（人） …（8分）
在上述抽取的6人中，年龄在[55，65）有2人，年龄[25，35）有4人．年龄在[55，65）记为（A，B）；年龄在[25，35）记为（a，b，c，d），则从6人中任取2名的所有情况为：（A，B）（A，a）、（A，b）、（A，c）、（A，d）、（B，a）、（B，b）、（B，c）、（B，d）、（a，b）、（a，c）、（a，d）（b，c）（b，d）（c，d）共15种情况，（9分）
其中至少有一人年龄在[55，65）岁情况有：（A，B）（A，a）、（A，b）、（A，c）、（A，d）、（B，a）、（B，b）、（B，c）、（B，d）共9种情况．（10分）
记至少有一人年龄在[55，65）岁为事件A，则…（11分）
∴至少有一人年龄在[55，65）岁之间的概率为． …（12分）
21.解：（1）由椭圆的定义可知：|PF1|+|PF2|=2a．由|PF1|﹣|PF2|=a．
∴丨PF1丨=a=3|PF2|，则=3，化简得：c2﹣5c+6=0，
由c＜a＜3，∴c=2，则丨PF1丨=3=a，则a=2，b2=a2﹣c2=4，
∴椭圆的标准方程为：；
（2）由题意可知，直线l不过原点，设A（x1，x2），B（x2，y2），
①当直线l⊥x轴，直线l的方程x=m，（m≠0），且﹣2＜m＜2，
则x1=m，y1=，x2=m，y2=﹣，由⊥，
∴x1x2+y1y2=0，即m2﹣（4﹣）=0，解得：m=±，
故直线l的方程为x=±，∴原点O到直线l的距离d=，
②当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+n，
则，消去y整理得：（1+2k2）x2+4knx+2n2﹣8=0，
x1+x2=﹣，x1x2=，
则y1y2=（kx1+n）（kx2+n）=k2x1x2+kn（x1+x2）+n2=，[]
由⊥，∴x1x2+y1y2=0，故+=0，
整理得：3n2﹣8k2﹣8=0，即3n2=8k2+8，①
则原点O到直线l的距离d=，∴d2=（）2==，②
将①代入②，则d2==，∴d=，
综上可知：点O到直线l的距离为定值．
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