专题53 离散型随机变量及其分布列、均值与方差-高考全攻略之备战2018年高考数学（理）考点一遍过 37页

‎（1）理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性.‎ ‎（2）理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用.‎ ‎（3）理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题.‎ 一、离散型随机变量的分布列 ‎1．随机变量的有关概念 随机变量：随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母，…表示．‎ 离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．‎ ‎2．离散型随机变量分布列的概念及性质 ‎（1）离散型随机变量的分布列的概念 设离散型随机变量X可能取的不同值为，，…，，X取每一个值 (i＝1，2，…，n)的概率，则下表称为随机变量X的概率分布，简称为X的分布列.‎ X ‎…‎ ‎…‎ P ‎…‎ ‎…‎ 有时也用等式表示X的分布列．‎ ‎（2）离散型随机变量的分布列的性质 ‎①(i＝1，2，…，n)；‎ ‎②．‎ ‎3．必记结论 ‎（1）随机变量的线性关系 若X是随机变量，，a，b是常数，则Y也是随机变量．‎ ‎（2）分布列性质的两个作用 ‎①利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值．‎ ‎②随机变量ξ所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率．‎ 二、常见的离散型随机变量的概率分布模型 ‎1．两点分布 若随机变量X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ P ‎1－p p 称X服从两点分布，而称为成功概率．‎ ‎2．超几何分布 在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品数，则事件发生的概率为，k＝0，1，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称分布列 X ‎0‎ ‎1‎ ‎…‎ m P ‎…‎ 为超几何分布列，如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X服从超几何分布.‎ ‎3．必记结论 ‎（1）两点分布实际上是n＝1时的二项分布．‎ ‎（2）某指定范围的概率等于本范围内所有随机变量的概率和．‎ 三、离散型随机变量的均值与方差 ‎1．离散型随机变量的均值与方差 一般地，若离散型随机变量X的分布列为：‎ X ‎…‎ ‎…‎ P ‎…‎ ‎…‎ ‎（1）称为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．‎ ‎（2）称为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根为随机变量X的标准差．‎ ‎2．均值与方差的性质 若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量，‎ 且E(aX＋b)＝aE(X)＋b；‎ D(aX＋b)＝a2D(X)．‎ 考向一 离散型随机变量分布列性质的应用 分布列的应用主要体现在分布列的性质上的应用，离散型随机变量的分布列的性质主要有三方面的作用：‎ ‎（1）利用“总概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值；‎ ‎（2）利用“离散型随机变量在一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率；‎ ‎（3）可以根据性质判断所得分布列结果是否正确.‎ 典例1 随机变量X的分布列为 X ‎-1‎ ‎0‎ ‎1‎ P a b c 其中a,b,c成等差数列,则P(|X|=1)等于 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D 典例2 已知随机变量ξ的分布列为 ξ ‎1‎ ‎2‎ ‎…‎ n-1‎ n P ‎…‎ x 其中n∈N*,则x的值为 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由分布列的性质,得++…++x=1,即(1-)+(-)+…+(-)+x=1-+x=1,所以x=.‎ ‎1．已知随机变量ξ的分布列为 ξ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P 若随机变量η满足η=2ξ-1,则P(1≤η<5)=　　　　. ‎ 考向二 离散型随机变量的分布列、均值与方差 ‎1．求离散型随机变量X的分布列的步骤：‎ ‎（1）理解X的意义，写出X可能取的全部值；‎ ‎（2）求X取每个值的概率；‎ ‎（3）写出X的分布列.‎ ‎2．（1）与排列、组合有关分布列的求法．可由排列、组合、概率知识求出概率，再求出分布列．‎ ‎（2）与频率分布直方图有关分布列的求法．可由频率估计概率，再求出分布列．‎ ‎（3）与互斥事件有关分布列的求法．弄清互斥事件的关系，利用概率公式求出概率，再列出分布列．‎ ‎（4）与独立事件(或独立重复试验)有关分布列的求法．先弄清独立事件的关系，求出各个概率，再列出分布列．‎ ‎3．求解离散型随机变量X的均值与方差时，只要在求解分布列的前提下，根据均值、方差的定义求即可.‎ 典例3 某省电视台举行歌唱大赛,大赛依次设初赛,复赛,决赛三个轮次的比赛.已知某歌手通过初赛,复赛,决赛的概率分别为且各轮次通过与否相互独立.记该歌手参赛的轮次为 ‎(1)求的分布列和数学期望.‎ ‎(2)记“函数是偶函数”为事件,求发生的概率;‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎.‎ ‎(2)因为是偶函数,所以或 故=.‎ 典例4 某高校进行自主招生考试,有A、B、C 3个专业可供选报,每名考生必须选报且只能报其中1个专业,且选报每个专业的概率相等.现有甲、乙、丙、丁4名同学决定参加该校的自主招生考试,且每名同学对专业的选报是相互独立的.‎ ‎(1)求甲、乙2名同学都选报A专业的概率;‎ ‎(2)已知甲、乙2名同学没有选报同一专业,‎ ‎(i)求这3个专业恰有1个专业没人选报的概率;‎ ‎(ii)这4名同学中选A专业的人数记为ξ,求随机变量ξ的分布列、数学期望和方差.‎ 则所求概率为P(N)=.‎ ‎(ii)随机变量ξ的所有可能取值为0,1,2,3,‎ P(ξ=0)=,‎ P(ξ=1)=,‎ ‎2．气象部门提供了某地区今年六月份(30天)的日最高气温的统计表如下:‎ 日最高气温t/℃‎ t≤22‎ ‎2232‎ 天数 ‎6‎ ‎12‎ Y Z 由于工作疏忽,统计表被墨水污染,Y和Z数据不清楚,但气象部门提供的资料显示,六月份的日最高气温不高于32 ℃的频率为0.9.‎ 某水果商根据多年的销售经验,六月份的日最高气温t(单位:℃)对西瓜的销售影响如下表:‎ 日最高气温t/℃‎ t≤22‎ ‎2232‎ 日销售额X/千元 ‎2‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎(1)求Y,Z的值;‎ ‎(2)若视频率为概率,求六月份西瓜日销售额X的期望和方差;‎ ‎(3)在日最高气温不高于32 ℃时,求日销售额不低于5千元的概率.‎ ‎3．已知袋中装有大小相同的8个小球,其中5个白球编号分别为1,2,3,4,5;3个黑球编号分别为1,2,3,从袋中任意取出3个球.‎ ‎(1)求取出的3个小球编号都不相同的概率;‎ ‎(2)记X为取出的3个小球中编号的最大值,求X的分布列与数学期望;‎ ‎(3)记每次取出的3个小球所得的分数为Y,其中Y=2X+1(X为取出的3个小球中编号的最大值),求Y的数学期望.‎ 考向三 超几何分布 超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：‎ ‎①考察对象分两类；‎ ‎②已知各类对象的个数；‎ ‎③从中抽取若干个个体，考察某类个体个数X的概率分布．‎ 超几何分布是一种常见的离散型随机变量的概率分布模型，要熟记公式，正确运用.‎ 典例5 为参加全国第二届“登峰杯”科技创新大赛,某市重点中学准备举办一次选拔赛,共有60名高二学生报名参加,按照不同班级统计参赛人数,如表所示:‎ 班级 宏志班 珍珠班 英才班 精英班 参赛人数 ‎20‎ ‎15‎ ‎15‎ ‎10‎ ‎(1)从这60名高二学生中随机选出2人,求这2人在同一班级的概率;‎ ‎(2)现从这60名高二学生中随机选出2人作为代表,进行大赛前的发言,设选出的2人中宏志班的学生人数为X,求随机变量X的分布列和数学期望.‎ 则P(X=0)=, ‎ 典例6 为了统计某市网友2017年的“双十一”在某淘宝店的网购情况,随机抽查了该市60名网友当天的网购金额情况,得到如下数据统计表:‎ 网购金额(单位:千元)‎ 频数 频率 ‎(0,0.5]‎ ‎3‎ ‎0.05‎ ‎(0.5,1]‎ x p ‎(1,1.5]‎ ‎9‎ ‎0.15‎ ‎(1.5,2]‎ ‎15‎ ‎0.25‎ ‎(2,2.5]‎ ‎18‎ ‎0.30‎ ‎(2.5,3]‎ y q 合计 ‎60‎ ‎1.00‎ 网购金额超过2千元与不超过2千元的顾客的人数比恰为2∶3.‎ ‎(1)求p,q的值,并补全频率分布直方图(如图);‎ ‎(2)从网购金额超过2千元与不超过2千元的顾客中用分层抽样的方法抽取15人,若需从这15人中随机选取3人进行问卷调查,设ξ为选取的3人中网购金额超过2千元的人数,求ξ的分布列和期望.‎ ‎(2)用分层抽样的方法,从中选取15人,则其中网购金额超过2千元的顾客有15×=6(人),网购金额不超过2千元的顾客有15×=9(人),故ξ的所有可能取值为0,1,2,3,‎ 则P(ξ=0)=,‎ P(ξ=1)=,‎ P(ξ=2)=,‎ P(ξ=3)=,‎ 所以ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ E(ξ)=0×+1×+2×+3×.‎ ‎4．为督导学校课外选修课的开展情况,某市教育督导部门从一所高中的四个选修专业中利用分层抽样的方法选出了14名学生进行调查,已知样本中各专业学生人数如下表:‎ 专业 泥塑 剪纸 武术 电工 人数 ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎(1)若从这14名学生中随机选出两名,求这两名学生来自同一选修专业的概率;‎ ‎(2)现要从这14名学生中随机选出两名学生参加座谈,设其中来自剪纸专业的人数为X,令Y=2X-1,求随机变量Y的分布列及数学期望E(Y).‎ 考向四 利用均值、方差进行决策 均值能够反映随机变量取值的“平均水平”，因此，当均值不同时，两个随机变量取值的水平可见分晓，由此可对实际问题作出决策判断；若两随机变量均值相同或相差不大，则可通过分析两变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳定程度，进而进行决策.‎ 典例7 某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、周二两天内采摘完毕,基地员工一天可以完成一处种植区的采摘.由于下雨会影响药材品质,基地收益如下表所示:‎ 周一 无雨 无雨 有雨 有雨 周二 无雨 有雨 无雨 有雨 收益 ‎20万元 ‎15万元 ‎10万元 ‎7.5万元 若基地额外聘请工人,可在周一当天完成全部采摘任务.无雨时收益为20万元;有雨时收益为10万元.额外聘请工人的成本为a万元.已知下周一和下周二有雨的概率相同,两天是否下雨互不影响,基地收益为20万元的概率为0.36.‎ ‎(1)若不额外聘请工人,写出基地收益X的分布列及基地的预期收益;‎ ‎(2)该基地是否应该外聘工人,请说明理由.‎ 则其预期收益E(Y)=20×0.6+10×0.4-a=16-a,‎ E(Y)-E(X)=1.6- a．‎ 综上,当额外聘请工人的成本高于1.6万元时,不外聘工人;成本低于1.6万元时,外聘工人;成本恰为1.6万元时,是否外聘工人均可以.‎ 典例8 某种产品的质量以其质量指标值衡量,质量指标值越大,表明质量越好.记其质量指标值为k,当k≥85时,产品为一级品;当75≤k<85时,产品为二级品;当70≤k<75时,产品为三级品.现用两种配方(分别称为A配方和B配方)做实验,各生产了100件这种产品,并测量了每件产品的质量指标值,得到下面试验结果(以下均视频率为概率):‎ A配方的频数分布表 指标值分组 ‎[75,80)‎ ‎[80,85)‎ ‎[85,90)‎ ‎[90,95)‎ 频数 ‎10‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎20‎ B配方的频数分布表 指标值分组 ‎[70,75)‎ ‎[75,80)‎ ‎[80,85)‎ ‎[85,90)‎ ‎[90,95)‎ 频数 ‎5‎ ‎10‎ ‎15‎ ‎40‎ ‎30‎ ‎(1)若从B配方产品中有放回地随机抽取3件,记“抽出的B配方产品中至少1件二级品”为事件C,求事件C的概率;‎ ‎(2)若两种新产品的利润率y与质量指标值k满足关系: y=(其中0,‎ 所以E(A)较大.‎ 所以从长期来看,投资A配方产品的平均利润率较大.‎ ‎5．根据气象预报,某地区近期有小洪水的概率为0.25,有大洪水的概率为0.01,该地区某工地上有一台大型设备,遇到大洪水时要损失60000 元,遇到小洪水时要损失10000 元.为保护设备,有以下3种方案:‎ 方案1:运走设备,搬运费为3800元;‎ 方案2:建保护围墙,建设费为2000元,但围墙只能防小洪水;‎ 方案3:不采取措施,希望不发生洪水.‎ 试比较哪一种方案好.‎ ‎1．已知离散型随机变量X的分布列为 X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 则X的数学期望E(X)=‎ A． B．2‎ C． D．3‎ ‎2．某离散型随机变量ξ的分布列如下表,且E(ξ)=1.5,则P(ξ≥2)=‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎0.1‎ m n ‎0.1‎ A．0.3 B．0.4‎ C．0.5 D．0.6‎ ‎3．已知某离散型随机变量X的分布列如下表所示,则随机变量X的方差D(X)等于 X ‎0‎ ‎1‎ P m ‎2m A． B．‎ C． D．‎ ‎4．某12人的兴趣小组中,有5名三好学生,现从中任意挑选6人参加竞赛,用表示这6人中三好学生的人数,则下列概率等于的是 A． B．‎ C． D．‎ ‎5．已知袋中有20个大小相同的球,其中记上0号的有10个,记上n号的有n个(n=1,2,3,4).现从袋中任取一球,X表示所取球的标号.若η=aX+b,E(η)=1,D(η)=11,则a+b的值是 A．1或2 B．0或2‎ C．2或3 D．0或3‎ ‎6．已知离散型随机变量的概率分布如下：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎0.3‎ ‎3‎ ‎4‎ 随机变量，则的数学期望为 A．1.1 B．3.2‎ C．11 D．22+1‎ ‎7．节日期间,某种鲜花的进价是每束2.5元,售价是每束5元,节后对没售出的鲜花以每束1.6元处理.已知前5年节日期间这种鲜花的需求量ξ(单位:束)的统计如下表,若进这种鲜花500束在今年节日期间销售,则期望利润是 ‎ ξ ‎200‎ ‎300‎ ‎400‎ ‎500‎ P ‎0.20‎ ‎0.35‎ ‎0.30‎ ‎0.15‎ A．706元 B．690元 C．754元 D．720元 ‎8．如图,旋转一次圆盘,指针落在圆盘3分处的概率为a,落在圆盘2分处的概率为b,落在圆盘0分处的概率为c,已知旋转一次圆盘得分的数学期望为2分,则ab的最大值为 ‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎9．把半圆弧分成4等份,以这些分点(包括直径的两端点)为顶点,作出三角形,从这些三角形中任取3个不同的三角形,则这3个不同的三角形中钝角三角形的个数的期望为 A． B．‎ C．3 D．2‎ ‎10．已知随机变量X的分布列为 X ‎1‎ ‎2‎ ‎…‎ k ‎…‎ P ‎…‎ ‎…‎ 则P(232)=1-P(t≤32)=0.1,‎ 所以Z=30×0.1=3,‎ Y=30-(6+12+3)=9.‎ 所以六月份西瓜日销售额X的分布列为 X ‎2‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ P ‎0.2‎ ‎0.4‎ ‎0.3‎ ‎0.1‎ 所以E(X)=2×0.2+5×0.4+6×0.3+8×0.1=5,‎ D(X)=(2-5)2×0.2+(5-5)2×0.4+(6-5)2×0.3+(8-5)2×0.1=3.‎ ‎(3)因为P(t≤32)=0.9,P(22E(X3)>E(X2),故采取方案2的平均损失最少,所以方案2好.‎ 考点冲关 ‎1．【解析】A ‎【解析】由数学期望的公式可得E(X)=1×+2×+3×.故选A．‎ ‎2．【解析】C ‎【解析】由题意可知,,解得m=n=0.4,所以P(ξ≥2)=0.5.‎ ‎3．【解析】B ‎【解析】由m+2m=1,得m=,‎ ‎∴E(X)=0×+1×,D(X)=(0-)2×+(1-)2×,故选B．‎ ‎4．【解析】B ‎【解析】表示抽到三好学生的人数为3，故基本事件有，概率为.‎ ‎5．【解析】B 故选B．‎ ‎6．【解析】B ‎【解析】由0.3＋3k＋4k＝1得k＝0.1,‎ ‎∴,‎ ‎.‎ ‎7．【解析】A ‎【解析】用频率估计概率,则节日期间这种鲜花需求量的期望E(ξ)=200×0.20+300×0.35+400×0.30+‎ ‎500×0.15=340(束).‎ 设利润为η,则η=5ξ+1.6(500-ξ)-500×2.5=3.4ξ-450,‎ 则E(η)=E(3.4ξ-450)=3.4E(ξ)-450=3.4×340-450=706(元).‎ ‎8．【解析】D ‎【解析】由题意可得数学期望为3a+2b=2,‎ ab=×3a×2b≤()2=,‎ 当且仅当⇒时取等号,所以ab的最大值为.‎ ‎9．【解析】B ‎【解析】从5个点中任选3个点可构成个三角形，其中钝角三角形有7个，所以从这10个三角形中任取3个不同的三角形，钝角三角形的个数. ‎ ‎∵,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,故选B．‎ ‎10．【解析】‎ ‎【解析】P(2,所以p>.‎ 又p++q=1,q≥0,所以p≤.‎ 故