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- 2021-06-26 发布
江苏省启东中学2017-2018学年度第二学期期中考试
高二文科数学试卷
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．
1. 已知集合，集合，则______．
【答案】
【解析】由题意结合交集的定义可得：.
2. 函数的单调递减区间是______．
【答案】
【解析】本题考查导数及函数的单调性
函数的定义域为
由得
令，则，解得；又则
故函数的递减区间为
3. 已知命题的必要而不充分条件，则实数的取值范围是 ______．
【答案】
【解析】若是的必要不充分条件，则集合是集合的子集，
据此可得：实数的取值范围是.
4. 若函数，则______．
【答案】
【解析】，，结合导数的运算法则可得：
.
5. 已知函数，则函数的定义域为______．
【答案】
【解析】函数有意义，则：
，解得：，
据此可得函数的定义域为.
点睛：求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．
6. 设曲线在处的切线与直线平行，则实数的值为 ______．
【答案】
【解析】由函数的解析式可得：，
则函数在处的切线斜率为，
结合直线平行的结论可得：，解得：.
7. 函数的值域为______．
【答案】
【解析】函数的定义域为，则：
，，，
即函数的值域为.
8. 函数的极大值是______．
【答案】
【解析】函数的定义域为，且，
列表考查函数的性质如图所示：
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
则当时函数取得极大值：.
9. 若函数是偶函数，则的值为______．
【答案】3
【解析】设，则，函数为偶函数，则，
结合题中所给函数的解析式可得：，
则.
点睛：正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式．
10. 设函数为自然对数的底数，则的极小值为______．
【答案】
【解析】函数的定义域为，且，
列表考查函数的性质如图所示：
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
则当时函数取得极小值：.
11. 设函数的导函数为，若，则＝______．
【答案】
【解析】结合导数的运算法则可得：，
则，
导函数的解析式为：，
据此可得：.
12. 某种圆柱形的饮料罐的容积为，为了使得它的制作用料最少（即表面积最小），则饮料罐的底面半径为（用含的代数式表示）______．
【答案】
【解析】设饮料罐的底面半径为，高为，由题意可得：，故，
圆柱的表面积：
，
当且仅当，即时等号成立，
据此可知为了使得它的制作用料最少，则饮料罐的底面半径为.
点睛：求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数的最值的方法求解，注意结果应与实际情况相结合．用导数求解实际问题中的最大(小)值时，如果函数在开区间内只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点.
13. 已知函数是定义在上的偶函数，为奇函数，时，
，则在区间(4，5)内满足方程的实数的值为______．
【答案】
【解析】∵函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(x+1)为奇函数，
∴f(-x)=f(x)，f(-x+1)=-f(x+1)，
∴f(2+x)=-f(-x)=-f(x)，
∴f(x+4)=f(x)，函数的周期为，
由题意可得：，则，
当时，，由可得，
据此可得原方程的解为：.
14. 若函数有3个不同的零点，则实数的取值范围是 ______ ．
【答案】
【解析】由函数的解析式可得：
当时，，；
当时，，；
当时，，；
当时，，，此时函数单调递增；
则，绘制函数的图象如图所示，
函数有3个不同的零点，
则函数与函数有个不同的交点，
观察函数图象可得：.
点睛：函数零点的求解与判断方法：
(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数
(1)当在上是增函数，求实数的取值范围；
(2)当处取得极值，求函数上的值域.
【答案】（1）（2）
【解析】试题分析：
(1)由题意可得, 满足题意时在区间上横成立，即在区间
上横成立，据此可得
(2)由题意可得，且=0，据此可得结合导函数的解析式可得在上为减函数，在上增函数， 故函数的最大值函数的最小值函数的值域为.
试题解析：
(1),
因为在上是增函数，
所以在区间上横成立，
即在区间上横成立，
令 ，，在上单调增函数.
所以
(2) ，
因为处取得极值，所以=0，得出
,令，
在上为减函数，在上增函数，
又，函数的最大值函数的最小值
所以，函数上的值域为.
16. 已知函数为自然对数的底数.
(1)当时，求函数在点处的切线方程；
(2)求函数的单调区间.
【答案】（1）（2）当时，的单调递增区间为，无减区间.当时，的增区间为,减区间为
【解析】试题分析：
（1）由函数的解析式可得=3，=3，则在点处的切线方程为：
（2）结合函数的解析式有，分类讨论可得：当时，的单调递增区间为，无减区间.当时，的增区间为,减区间为.
试题解析：
（1），=3
=3，
函数在点处的切线方程为：，即：
（2），
⑴当时，恒成立，的单调递增区间为，无减区间.
⑵当时, 令，，
，，
的单调增区间为,单调减区间为.
综上：当时，的单调递增区间为，无减区间.
当时，的增区间为,减区间为.
点睛：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；
二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
17. 已知全集,, .
(1)求集合；
(2)函数 ，对一切，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】试题分析：
（1）由题意可得，，则.
(2)结合(1)的结论可知原问题等价于对一切 恒成立. 构造函数，令，结合导函数研究函数的单调性可得的最小值为. 则.
试题解析：
（1）求解一元二次不等式可得，求解分式绝对值不等式可得，
.
(2) 由得对一切 恒成立.
对一切 恒成立.
令， ，
在上单调递减，在上单调递增；
的最小值为. .
18. 已知命题：函数.
命题：，不等式恒成立.
(1)若函数的单调减区间是，求的值；
(2)若函数在区间上为单调增函数，且命题为真命题，求的取值范围．
【答案】（1）（2）
【解析】试题分析：
（1）令则，利用换元法可得函数的解析式为，结合二次函数的性质可得
为真命题均为真命题命题p为真命题，讨论可得0≤m≤4，命题q为真命题，由判别式小于零可得，故m的取值范围是.
试题解析：
（1）令则，
得出，所以，
为真命题均为真命题
命题p为真命题：若m=0,符合；
若m≠0,得出m>0,，即0