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- 2021-06-26 发布
静宁一中2018-2019学年度第二学期高二级期末试题（卷）
数学（理科）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用复数除法运算，将复数化简为的形式，由此得出正确选项.
【详解】依题意，原式，故选A.
【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查运算求解能力，属于基础题.
2.已知全集，集合，，那么集合（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先求得集合的补集，然后求其与集合的交集.
【详解】依题意，故，故选C.
【点睛】本小题主要考查集合补集的运算，考查集合交集的运算，属于基础题.
3.已知平面向量，的夹角为，，，则（ ）
A. 4 B. 2 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
将两边平方，利用向量数量积的运算求解得出数值，然后开方得到结果.
【详解】依题意.故选B.
【点睛】本小题主要考查向量的数量积运算，考查向量模的坐标表示，属于基础题.
4.抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
求得抛物线的焦点，双曲线的渐近线，再由点到直线的距离公式求出结果.
【详解】依题意，抛物线的焦点为，双曲线的渐近线为，其中一条为，由点到直线的距离公式得.故选C.
【点睛】本小题主要考查抛物线的焦点坐标，考查双曲线的渐近线方程，考查点到直线的距离公式，属于基础题.
5.函数（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
由于函数为偶函数又过（0，0）所以直接选A.
【考点定位】对图像的考查其实是对性质的考查，注意函数的特征即可，属于简单题.
6.若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
运行程序，当时退出程序，输出的值.
【详解】运行程序，，判断否，，判断否，，……，以此类推，，判断是，退出循环，输出，故选C.
【点睛】本小题主要考查计算循环结构程序框图输出的结果，属于基础题.
7.若函数在为增函数，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用函数的导函数在区间恒为非负数列不等式，用分离常数法求得的取值范围.
【详解】依题意，在区间上恒成立，即，当时，，故，在时为递增函数，其最大值为，故.所以选A.
【点睛】本小题主要考查利用导数求解函数单调性有关的问题，考查正切函数的单调性，属于中档题.
8.《数术记遗》是《算经十书》中的一部，相传是汉末徐岳（约公元世纪）所著，该书主要记述了：积算（即筹算）太乙、两仪、三才、五行、八卦、九宫、运筹、了知、成数、把头、龟算、珠算计数种计算器械的使用方法某研究性学习小组人分工搜集整理种计算器械的相关资料，其中一人种、另两人每人种计算器械，则不同的分配方法有（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
本题涉及平均分组问题，先计算出分组的方法，然后乘以得出总的方法数.
【详解】先将种计算器械分为三组，方法数有种，再排给个人，方法数有种，故选A.
【点睛】本小题主要考查简单的排列组合问题，考查平均分组要注意的地方，属于基础题.
9.在中，，，，则的面积为（ ）
A. 15 B. C. 40 D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先利用余弦定理求得，然后利用三角形面积公式求得三角形的面积.
【详解】由余弦定理得，解得，由三角形面积得，故选B.
【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于基础题.
10.展开式的系数是（ ）
A. -5 B. 10 C. -5 D. -10
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意利用二项展开式的通项公式，求出（1﹣x）5展开式x3的系数．
【详解】解：根据（1﹣x）5展开式的通项公式为Tr+1＝•（﹣x）r，令r＝3，可得x3
的系数是﹣＝﹣10，
故选：A．
点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
11.下列函数中，既是奇函数又在内单调递增的函数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由基本初等函数的单调性和奇偶性，对A、B、C、D各项分别加以验证，不难得到正确答案．
【详解】解：对于A，因为幂函数y＝x3是R上的增函数，所以y＝﹣x3是（0，+∞）上的减函数，故A不正确；
对于B，为偶函数，且在上没有单调性，所以B不正确；
对于C，在区间（0，1）上是减函数，在区间（1，+∞）上是增函数，故C不正确；
对于D，若f（x）＝x|x|，则f（﹣x）＝﹣x|x|＝﹣f（x），说明函数是奇函数，
而当x∈（0，+∞）时，f（x）＝x2，显然是（0，+∞）上的增函数，故D正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了函数奇偶性和单调性的判断与证明，属于基础题．
12.已知函数是函数的导函数，，对任意实数都有，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
令,,所以函数是减函数，
又，所以不等式的解集为
本题选择B选项.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.已知是第四象限角，，则_______；
【答案】
【解析】
【分析】
：由同角三角关系求解
【详解】：，设，由同角三角关系可得。
【点睛】：三角正余弦值的定义为，。
14.若实数，满足约束条件，则的最大值是_____．
【答案】8
【解析】
【分析】
画出可行域，将基准直线向下平移到可行域边界位置，由此求得目标函数的最大值.
【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点
处取得最大值，且最大值为.
【点睛】本小题主要考查利用线性规划求目标函数的最大值的方法，属于基础题.
15.函数与函数在第一象限的图象所围成封闭图形的面积是_____．
【答案】
【解析】
【分析】
先求出直线与曲线的交点坐标，封闭图形的面积是函数y＝x与y＝在x∈[0，1]上的积分．
【详解】解：联立方程组可知，直线y＝x与曲线y＝的交点为（0，0）（1，1）；
∴所围成的面积为S＝.
故答案为．
【点睛】本题考查了定积分，找到积分区间和被积函数是解题关键，属于基础题．
16.直三棱柱-中，，，，
，则异面直线与所成角的余弦值为________.
【答案】
【解析】
【分析】
连接交于E，取AB中点F,连接EF,推出EF∥或其补角为所求，在三角形运用余弦定理求解即可
【详解】连接交于E，则E为为中点，取AB中点F,连接EF,故EF，则或其补角为所求，又EF=,
在三角形中，cos
故答案为
【点睛】本题考查异面直线所成角，熟记异面直线所成角定义，熟练找角，准确计算是关键，是基础题
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
17.已知等差数列满足，.
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设是等比数列的前项和，若，，求．
【答案】(I)；(Ⅱ)，或
【解析】
【分析】
（I）由，可计算出首项和公差，进而求得通项公式。
（Ⅱ）由，并结合（1）可计算出首项和公比，代入等比数列的求和公式可求得.
【详解】(I)设等差数列的公差为，∵．∴，，
解得，， ∴．
(Ⅱ)设等比数列的公比为，，，联立解得，，
∴，或．
【点睛】本题考查数列的基本公式。等差数列的通项公式 , 等比数列的前n项和公式 .
18.为了解某养殖产品在某段时间内的生长情况，在该批产品中随机抽取了120件样本，测量其增长长度（单位：），经统计其增长长度均在区间内，将其按，，，，，分成6组，制成频率分布直方图，如图所示其中增长长度为及以上的产品为优质产品．
（1）求图中的值；
（2）已知这120件产品来自于，B两个试验区，部分数据如下列联表：
将联表补充完整，并判断是否有99.99%的把握认为优质产品与A，B两个试验区有关系，并说明理由；
下面的临界值表仅供参考：
（参考公式：，其中）
（3）以样本的频率代表产品的概率，从这批产品中随机抽取4件进行分析研究，计算抽取的这4件产品中含优质产品的件数的分布列和数学期望E(X)．
【答案】（1）0.025；（2）见解析；（3）见解析
【解析】
【分析】
（1）根据面积之和为1，列出关系式，解出a的值. （2）首先根据频率分布直方图中的数据计算A,B这两个试验区优质产品、非优质产品的总和，然后根据表格填入数据，再根据公式计算即可.（3）以样本频率代表概率，则属于二项分布，利用二项分布的概率公式计算分布列和数学期望即可.
【详解】（1）根据频率分布直方图数据，得：
，
解得．
（2）根据频率分布直方图得：
样本中优质产品有，
列联表如下表所示：
试验区
试验区
合计
优质产品
10
20
30
非优质产品
60
30
90
合计
70
50
120
∴ ，
∴没有的把握认为优质产品与，两个试验区有关系．
（3）由已知从这批产品中随机抽取一件为优质产品的概率是，
随机抽取4件中含有优质产品的件数X的可能取值为0，1，2，3，4，且，
∴，
，
，
，
，
∴的分布列为：
0
1
2
3
4
E(X)
【点睛】本题考查频率分布直方图，独立性检验以及二项分布的分布列和期望值的计算，同时考查了学生分析问题的能力和计算能力，属于中档题.
19.如图，在四棱锥中，四边形为正方形，面，且，为中点．
（1）证明：//平面；
（2）证明：平面平面；
（3）求二面角的余弦值．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【解析】
【分析】
（1）连接BD与AC交于点O，连接EO，证明EO//PB，由线线平行证明线面平行即可；（2）通过证明CD平面PAD来证明平面平面；（3）以A为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，通过空间向量的方法求二面角的余弦值.
【详解】（1）证明：连结BD交AC于点O，连结EO．
O为BD中点，E为PD中点，
∴EO//PB．
EO平面AEC，PB平面AEC，
∴ PB//平面AEC．
（2）证明：PA⊥平面ABCD．平面ABCD，
∴．
又在正方形ABCD中且，
∴CD平面PAD．
又平面PCD，
∴平面平面．
（3）如图，以A为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．
由PA=AB=2可知A、B、C、D、P、E的坐标分别为
A（0, 0, 0）, B（2, 0, 0）,C（2, 2, 0）,
D（0, 2, 0）, P（0, 0, 2）, E（0, 1, 1） ．
PA平面ABCD，∴是平面ABCD的法向量，=（0, 0, 2）．
设平面AEC的法向量为,, ,
则,即
∴令 ,则.
∴,
二面角的余弦值为
【点睛】本题考查线面平行，面面垂直的判定定理，考查用空间向量求二面角，也考查了学生的空间想象能力和计算能力，属于中档题.
20.已知函数．
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）若在上恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
【分析】
（1）利用导数求得斜率，再求得切点坐标，由此求得切线方程.（II）将原不等式分离常数得，构造函数，利用导数求得，由此求得的取值范围.
【详解】解：（Ⅰ）的导数为，
可得切线的斜率为1，切点为，
切线方程为，即；
（Ⅱ）若在上恒成立，
可得在上恒成立，
令，则，
，可得在上单调递增，
则，
可得在上单调递增，
则，
则．
【点睛】本小题主要考查切线方程的求法，考查利用导数求解不等式恒成立问题，属于中档题.
21.函数.
（Ⅰ）若时，求函数的单调区间；
（Ⅱ）设，若函数在上有两个零点，求实数取值范围.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）当时，，解不等式则单调区间可求；（Ⅱ）在上有两个零点，等价于在上有两解，分离参数，构造函数 ，求导求其最值即可求解
【详解】（Ⅰ）当时，的定义域为，
当，时，， 在和上单调递增.
当时，， 在上单调递减.
故 的单调增区间为 ，；单调减区间为
（Ⅱ）因为在上有两个零点，
等价于在上有两解，
令 则
令 则
在上单调递增，又
在上有，在有
时，，时，
在上单调递减，在上单调递增.
，，
由有两解及可知.
【点睛】本题考查函数的单调区间及函数最值，不等式恒成立，分离参数法，零点个数问题，准确计算是关键，是中档题
22.已知椭圆：的离心率为，且经过点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）与轴不垂直的直线经过，且与椭圆交于，两点，若坐标原点在以为直径的圆内，求直线斜率的取值范围．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
【分析】
（I）根据椭圆的离心率和椭圆上一点的坐标，结合列方程组，解方程组求得的值，进而求得椭圆方程.（II）设直线的方程为，代入椭圆方程，写出判别式和韦达定理，由坐标原点在以为直径的圆内得，利用向量的坐标运算代入化简，由此解得的取值范围.
【详解】解：（Ⅰ）由题意可得，解得，，
∴椭圆的方程为．
（Ⅱ）设直线的方程为，代入椭圆方程整理可得得，
，解得或，
设，，
又，，
∴，
∵坐标原点在以为直径的圆内，
∴，
∴ ，
解得或.
故直线斜率的取值范围为.
【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，属于中档题.
23.椭圆经过点，左、右焦点分别是，，点在椭圆上，且满足的点只有两个.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过且不垂直于坐标轴的直线交椭圆于，两点，在轴上是否存在一点，使得的角平分线是轴？若存在求出，若不存在，说明理由.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由题得点为椭圆的上下顶点，得到a,b,c的方程组，解方程组即得椭圆的标准方程；（Ⅱ）设直线的方程为，联立直线和椭圆方程得到韦达定理，根据得到. 所以存在点，使得的平分线是轴.
【详解】解：（I）由题设知点为椭圆的上下顶点，所以，b=c,,
故，,
故椭圆方程为 .
（Ⅱ）设直线的方程为，联立
消得
设，坐标为，则有
，，又，
假设在轴上存在这样的点，使得轴是的平分线，则有
而
将，，代入
有
即
因为，故. 所以存在点，使得的平分线是轴.
【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系和椭圆中的存在性问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
24.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线与曲线相交于不同的两点，，若是的中点，求直线的斜率.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）直接利用极化直的公式化简得到曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，再根据求出直线的斜率.
详解】解：（Ⅰ）由，，，得
即所求曲线的直角坐标方程为：
（Ⅱ）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，得
由是的中点知，
即
所以直线的斜率为.
【点睛】本题主要考查极直互化，考查直线参数方程t的几何意义解题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
25.选修4-5：不等式选讲
已知函数
（Ⅰ）解不等式；
（Ⅱ）对及，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1).
（2）.
【解析】
分析：（Ⅰ）由得.解含两个绝对值号的不等式，应讨论去掉绝对值号，。分三种情况解不等式即可。当时，由，解得；当时，不成立；当时，由，解得.三种情况取并集即得不等式
的解集为. （Ⅱ），不等式恒成立，只需，不等式 。因为，所以根据基本不等式可得。对，。由函数解析式可得对，，进而可求，根据三角不等式可得，进而可得，解不等式可得所求范围。
详解：（Ⅰ）
当时，由，解得；
当时，不成立；
当时，由，解得.
所以不等式的解集为.
（Ⅱ）因为，
所以.
由题意知对，，
即，
因为，
所以，解得.
点睛：⑴ 绝对值不等式解法的基本思路是：去掉绝对值号，把它转化为一般的不等式求解，转化的方法一般有：①绝对值定义法；②平方法；③零点区域法。
⑵ 不等式的恒成立可用分离变量法。若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也是求最值。一般有：
① 为参数）恒成立
②为参数）恒成立 。