- 247.75 KB
- 2021-06-26 发布
课时分层训练(四十四) 简单几何体的表面积与体积
(对应学生用书第285页)
A组 基础达标
一、选择题
1.(2017·北京高考)某三棱锥的三视图如图759所示,则该三棱锥的体积为( )
图759
A.60 B.30
C.20 D.10
D [
由三视图画出如图所示的三棱锥PACD,过点P作PB⊥平面ACD于点B,连接BA,BD,BC,根据三视图可知底面ABCD是矩形,AD=5,CD=3,PB=4,所以V三棱锥PACD=××3×5×4=10.
故选D.]
2.(2016·全国卷Ⅱ)如图7510是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为( )
图7510
A.20π B.24π
C.28π D.32π
C [由三视图可知圆柱的底面直径为4,母线长(高)为4,所以圆柱的侧面积为2π×2×4=16π,底面积为π·22=4π;圆锥的底面直径为4,高为2,所以圆锥的母线长为=4,所以圆锥的侧面积为π×2×4=8π.所以该几何体的表面积为S=16π+4π+8π=28π.]
3.(2016·全国卷Ⅲ)如图7511,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为( )
图7511
A.18+36 B.54+18
C.90 D.81
B [
由三视图可知该几何体是底面为正方形的斜四棱柱,其中有两个侧面为矩形,另两个侧面为平行四边形,则表面积为(3×3+3×6+3×3)×2=54+18.故选B.]
4.某几何体的三视图如图7512所示,且该几何体的体积是3,则主视图中的x的值是( )
图7512
A.2 B.
C. D.3
D [由三视图知,该几何体是四棱锥,底面是直角梯形,且S底=×(1+2)×2=3,
所以V=x·3=3,
解得x=3.]
5.(2018·石家庄质检)某几何体的三视图如图7513所示,则该几何体的体积是( )
【导学号:79140241】
图7513
A.16 B.20
C.52 D.60
B [由三视图得该几何体的直观图如图所示,其中四边形ABCD为邻边长分别为2,4的长方形,四边形CDEF为上底为2、下底为6、高为3的等腰梯形,所以该几何体可以看作是由两个底面为直角边长分别为3,4的直角三角形,高为2的三棱锥和一个底面为直角边长分别为3,4的直角三角形,高为2的三棱柱组成,则该几何体的体积为2×××3×4×2+×3×4×2=20,故选B.]
二、填空题
6.一个六棱锥的体积为2,其底面是边长为2的正六边形,侧棱长都相等,则该六棱锥的侧面积为________.
12 [设正六棱锥的高为h,棱锥的斜高为h′.
由题意,得×6××2××h=2,∴h=1,
∴斜高h′==2,
∴S侧=6××2×2=12.]
7.(2017·江苏高考)如图7514,在圆柱O1O2内有一个球O
,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切,记圆柱O1O2的体积为V1,球O的体积为V2,则的值是________.
图7514
[设球O的半径为R,
∵球O与圆柱O1O2的上、下底面及母线均相切,
∴圆柱O1O2的高为2R,底面半径为R.
∴==.]
8.(2017·天津高考)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为________.
π [设正方体的棱长为a,则6a2=18,∴a=.
设球的半径为R,则由题意知2R==3,
∴R=.
故球的体积V=πR3=π×3=π.]
三、解答题
9.如图7515,在三棱锥DABC中,已知BC⊥AD,BC=2,AD=6,AB+BD=
AC+CD=10,求三棱锥DABC的体积的最大值.
【导学号:79140242】
图7515
[解] 由题意知,线段AB+BD与线段AC+CD的长度是定值,∵棱AD与棱BC相互垂直,设d为AD到BC的距离,
则VDABC=AD·BC×d××=2d,
当d最大时,VDABC体积最大.
∵AB+BD=AC+CD=10,
∴当AB=BD=AC=CD=5时,
d有最大值=.
此时V=2.
10.如图7516,长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4.过点E,F的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.
图7516
(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);
(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值.
[解] (1)交线围成的正方形EHGF如图所示.
(2)如图,作EM⊥AB,垂足为M,则AM=A1E=4,EB1=12,EM=AA1=8.
因为四边形EHGF为正方形,所以EH=EF=BC=10.
于是MH==6,AH=10,HB=6.
故S=×(4+10)×8=56,
S=×(12+6)×8=72.
因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱,
所以其体积的比值为.]
B组 能力提升
11.(2018·东北三省四市模拟(一))点A,B,C,D在同一个球的球面上,AB=BC=1,∠ABC=120°.若四面体ABCD体积的最大值为
,则这个球的表面积为( )
A. B.4π
C. D.
D [因为AB=BC=1,∠ABC=120°,所以由正弦定理知△ABC外接圆的半径r=×=1,S△ABC=AB×BCsin 120°=.设外接圆的圆心为Q,则当DQ与平面ABC垂直时,四面体ABCD的体积最大,所以S△ABC×DQ=,所以DQ=3.设球心为O,半径为R,则在Rt△AQO中,OA2=AQ2+OQ2,即R2=12+(3-R)2,解得R=,所以球的表面积S=4πR2=,故选D.]
12.已知H是球O的直径AB上一点,AH∶HB=1∶2,AB⊥平面α,H为垂足,α截球O所得截面的面积为π,则球O的表面积为________.
【导学号:79140243】
π [如图,设球O的半径为R,则由AH∶HB=1∶2得
HA=·2R=R,
∴OH=.
∵截面面积为π=π·(HM)2,
∴HM=1.
在Rt△HMO中,OM2=OH2+HM2,
∴R2=R2+HM2=R2+1,
∴R=,
∴S球=4πR2=4π·=π.]
13.四面体ABCD及其三视图如图7517所示,平行于棱AD,BC的平面分别交四面体的棱AB,BD,DC,CA于点E,F,G,H.
图7517
(1)求四面体ABCD的体积;
(2)证明:四边形EFGH是矩形.
[解] (1)由该四面体的三视图可知,BD⊥DC,BD⊥AD,AD⊥DC,BD=DC=2,AD=1,
∴AD⊥平面BDC,
∴四面体ABCD的体积V=××2×2×1=.
(2)证明:∵BC∥平面EFGH,平面EFGH∩平面BDC=FG,平面EFGH∩平面ABC=EH,
∴BC∥FG,BC∥EH,∴FG∥EH.
同理EF∥AD,HG∥AD,∴EF∥HG,
∴四边形EFGH是平行四边形.
又∵AD⊥平面BDC,∴AD⊥BC,∴EF⊥FG.
∴四边形EFGH是矩形.