专题02+平面向量与复数（仿真押题）-2017年高考数学（理）命题猜想与仿真押题 10页

专题02 平面向量与复数（仿真押题）‎ ‎2017年高考数学（理）命题猜想与仿真押题 ‎1．在等腰梯形ABCD中，＝－2，M为BC的中点，则＝(　　)‎ A.＋　　　　 B.＋ C.＋ D.＋ 解析：因为＝－2，所以＝2.又M是BC的中点，所以＝＝(＋＋)＝(＋＋)＝＋，故选B.‎ 答案：B ‎2．已知e1，e2是不共线向量，a＝me1＋2e2，b＝ne1－e2，且mn≠0，若a∥b，则等于(　　)‎ A．－ B. C．－2 D．2‎ 解析：∵a∥b，∴a＝λb，即me1＋2e2＝λ(ne1－e2)，则，故＝－2.‎ 答案：C ‎3.如图，在等腰直角三角形ABO中，OA＝OB＝1，C为AB上靠近点A的四等分点，过点C作AB的垂线l，P为垂线上任一点，则·(－)＝(　　)‎ A．－ B. C．－ D. 答案：A ‎4．设向量a＝(cos α，－1)，b＝(2，sin α)，若a⊥b，则tan＝(　　)‎ A．－ B. C．－1 D．0‎ 解析：由已知可得，a·b＝2cos α－sin α＝0，∴tan α＝2，tan＝＝，故选B.‎ 答案：B ‎5.如图，在半径为1，圆心角为90°的直角扇形OAB中，Q为上一点，点P在扇形内(含边界)，且＝t＋(1－t)·(0≤t≤1)，则·的最大值为(　　)‎ A. B. C. D．1‎ 答案：D ‎6．设复数z满足＝i(i为虚数单位)，则z2 016＝(　　)‎ A．21 008 B．21 008i C．－21 008 D．－21 008i 解析：由＝i得z－i＝zi＋i，z＝＝＝－1＋i，则z2＝(－1＋i)2＝－2i，从而z2 016＝(z2)1 008＝(－2i)1 008＝21 008×i1 008＝21 008×(i4)252＝21 008.故选A.‎ 答案：A ‎7．如图在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是 、，则复数的值是（ ）‎ A．﹣1+2i B．﹣2﹣2i C．1+2i D．1﹣2i ‎【答案】A ‎8．设复数（为虚数单位），则的共轭复数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为，所以.‎ ‎9．复数满足，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A.‎ ‎【解析】由题意得，，∴，故选A．‎ ‎10.函数y＝tan的部分图象如图所示，则(＋)·＝(　　) ‎ A.4 B.6‎ C.1 D.2‎ 解析　由条件可得B(3，1)，A(2，0)，‎ ‎∴(＋)·＝(＋)·(－)＝2－2＝10－4＝6.‎ 答案　B ‎11.已知a，b均为单位向量，(2a＋b)·(a－2b)＝－，则向量a，b的夹角为(　　)‎ A. B. C. D. 解析　因为a，b均为单位向量，所以(2a＋b)·(a－2b)＝2－2－3a·b＝－，解得a·b＝，所以cos〈a，b〉＝＝，又〈a，b〉∈，所以〈a，b〉＝.‎ 答案　A ‎12.已知两个非零向量a，b的夹角为60°，且|a|＝|b|＝3，c＝ta＋(1－t)b，若b⊥c，则t＝________.‎ ‎13. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，且AC＝BC＝3，点M满足＝2，则·＝________.‎ 解析　法一　如图，建立平面直角坐标系.‎ 由题意知：A(3，0)，B(0，3)，‎ 设M(x，y)，由＝2，‎ 得解得 即M点坐标为(2，1)，‎ 所以·＝(2，1)·(0，3)＝3.‎ 法二　·＝(＋)·＝2＋×＝2＋·(－)＝2＝3.‎ 答案　3‎ ‎14.已知A，B，C是平面上不共线的三点，若动点P满足＝＋λ，λ∈(0，＋∞)，则动点P的轨迹一定通过△ABC的________(填重心、垂心、内心或外心).‎ ‎15.已知向量a＝，b＝，且x∈.‎ ‎(1)求a·b及|a＋b|；‎ ‎(2)若f(x)＝a·b－2λ|a＋b|的最小值是－，求λ的值.‎ 解　(1)a·b＝cos cos －sin sin ＝cos 2x，‎ ‎|a＋b|＝ ‎＝＝2，‎ 因为x∈，所以cos x≥0，‎ 所以|a＋b|＝2cos x.‎ ‎(2)由(1)，可得f(x)＝a·b－2λ|a＋b|＝cos 2x－4λcos x，‎ 即f(x)＝2(cos x－λ)2－1－2λ2.‎ 因为x∈，所以0≤cos x≤1.‎ ‎①当λ＜0时，当且仅当cos x＝0时，f(x)取得最小值－1，这与已知矛盾；‎ ‎②当0≤λ≤1时，当且仅当cos x＝λ时，f(x)取得最小值－1－2λ2，由已知得－1－2λ2＝－，解得λ＝；‎ ‎③当λ＞1时，当且仅当cos x＝1时，f(x)取得最小值1－4λ，由已知得1－4λ＝－，解得λ＝，这与λ＞1相矛盾；综上所述λ＝.‎ ‎ 16．设复数z=a+i（i是虚数单位，a∈R，a＞0），且|z|=．‎ ‎（Ⅰ）求复数z；‎ ‎（Ⅱ）在复平面内，若复数+（m∈R）对应的点在第四象限，求实数m取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】（Ⅰ）， ，即，解得，又，‎ ‎，；‎ ‎（Ⅱ）则，，‎ 又复数 对应的点在第四象限，得，. ‎ ‎17．已知平面上三个向量，其中．‎ ‎（1）若，且，求的坐标；‎ ‎（2）若，且，求与夹角的余弦值．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎（1）因为，所以设，，，所以或．‎ ‎（2）因为，所以，，所以．‎ ‎18．已知椭圆的离心率为，直线l：y=x+2与以原点O为圆心，椭圆的短轴长为直径的圆O相切．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）求椭圆C与直线y=kx（k＞0）在第一象限的交点为A．‎ ‎①设，且，求k的值；‎ ‎②若A与D关于x的轴对称，求△AOD的面积的最大值．‎ ‎【答案】（1）（2）①②‎ ‎【解析】‎ 解：（1）由题设可知，圆O的方程为x2+y2=b2，‎ 因为直线l：x﹣y+2=0与圆O相切，故有，‎ 所以． ‎ 因为，所以有a2=3c2=3（a2﹣b2），即a2=3．‎ 所以椭圆C的方程为． ‎ ‎（2）设点A（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），则y0=kx0．‎ 由解得，‎ ‎①∵，∴（k=0舍去）． ‎ ‎②∵，‎ ‎（当且仅当时取等号），‎ ‎∴S△AOD的最大值为．‎ ‎ 19．(1)向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，求|a＋b|和a＋b 与c的夹角；‎ ‎(2)设O为△ABC的外心，已知AB＝3，AC＝4，非零实数x，y满足＝x＋y，且x＋2y＝1，求cos ∠BAC的值．‎ ‎ ‎ ‎(2)设AC的中点为D，连接OD(图略)，‎ ‎∵＝x＋y＝x＋2y，‎ 又x＋2y＝1，∴O，B，D三点共线．‎ 由O为△ABC外心，知OD⊥AC，BD⊥AC，‎ 在Rt△ADB中，AB＝3，AD＝AC＝2，所以cos ∠BAC＝＝.‎ ‎20．已知向量a＝(1，sin ωx)，b＝(cos2 ωx－1，cos ωx)(ω>0)，设函数f(x)＝a·b的最小正周期为π.‎ ‎(1)求ω的值；‎ ‎(2)求函数f(x)在上的单调区间．‎ ‎20．已知△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，向量m＝(cos B，cos C)，n＝(2a＋c，b)，且m⊥n.‎ ‎(1)求角B的大小；‎ ‎(2)若b＝，求a＋c的取值范围．‎ ‎ ‎ ‎(2)由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos 120°＝a2＋c2＋ac＝(a＋c)2－ac≥(a＋c)2－2＝(a＋c)2，当且仅当a＝c时取等号，‎ ‎∴(a＋c)2≤4，∴a＋c≤2，‎ 又a＋c>b＝，∴a＋c∈(，2]．‎ ‎ ‎